北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用课后作业题

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用课后作业题，共13页。试卷主要包含了3　三角函数的叠加及其应用，2sin θ+2cs θ=，求值等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 利用三角函数的叠加化简
1.2sin θ+2cs θ=( )

A.sinθ+π4B.22sinθ+3π4
C.22sinθ+π4D.2sinθ+π4
2.化简2cs x+6sin x等于( )
A.22csπ6-xB.22csπ3-x
C.22csπ6+xD.22csπ3+x
3.将下列各式化为y=Asin(ωx+φ)的形式:
(1)y=3sin x-3cs x;
(2)y=sinx2+π3+sinx2.
题组二 利用三角函数的叠加求值
4.(2020山东日照高一期末)已知sinπ6+α=14,则cs α+3sin α的值为( )
A.-14B.12C.2D.-1
5.(2020浙江杭州学军中学高一期中)已知csα-π6+sin α=435,则sinα+7π6的值是( )
A.-235B.235C.-45D.45
6.已知sin2π3-x=-33,则cs(-x)+csx+5π3= .
7.(2020河北石家庄高一期末)已知向量a=(sin α,1),b=(3,3cs α-2),若a⊥b,则csα+7π4等于 .
8.(2020湖南师大附中高一期末)求值:(tan 10°-3)·sin 40°.
题组三 三角函数的叠加在函数中的应用
9.若函数f(x)=(1+3tan x)cs x,则fπ12=( )
A.6-22B.-3C.1D.2
10.函数f(x)=sin x+2cs x的最大值为( )
A.5B.5C.3D.1
11.(2020山东师范大学附属中学高一期末)若函数f(x)=3sin ωx-33cs ωx(ω>0)的最小正周期为4π,则ω的值等于( )
A.4B.2C.12D.14
12.函数f(x)=sin x-3cs x,x∈[-π,0]的单调递增区间是( )
A.-π,-5π6B.-5π6,-π6
C.-π3,0D.-π6,0
13.(2020河南郑州高一期末)已知f(x)=sin x+3cs x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ等于( )
A.π6B.π4C.π3D.5π12
14.(2020河南洛阳高一期中)已知csx-π6=m,则cs x+csx-π3=( )
A.mB.33mC.-3mD.3m
15.(2020辽宁大连第二十四中学高一期中)函数f(x)=sin x-csx+π6的值域为( )
A.[-2,2]B.[-3,3]
C.[-1,1]D.-32,32
16.设函数f(x)=sin2x+π4+cs2x+π4,下列说法正确的是( )
A.y=f(x)在0,π2上单调递增,其图象关于直线x=π4对称
B.y=f(x)在0,π2上单调递增,其图象关于直线x=π2对称
C.y=f(x)在0,π2上单调递减,其图象关于直线x=π4对称
D.y=f(x)在0,π2上单调递减,其图象关于直线x=π2对称
17.(2020福建漳州高一期末)若将函数f(x)=sin 2x+cs 2x的图象向右平移φ个单位长度所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 ( )
A.π8B.π4C.3π8D.3π4
18.设a=2cs 66°,b=cs 5°-3sin 5°,c=2(sin 47°sin 66°-sin 24°sin 43°),则a,b,c的大小关系是 .(用“>”连接)
19.(2020重庆育才中学高一期中)已知函数f(x)=3sin x-acs x(x∈R)的图象经过点π3,1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间.
20.已知函数f(x)=sin x-sinx+π3.求:
(1)fπ2的值;
(2)f(x)的单调递增区间.
能力提升练
题组 三角函数叠加的综合应用
1.(2020湖北襄阳高一期末,)若32sin x+12cs x=4-m,则实数m的取值范围是( )

A.3≤m≤5B.-5≤m≤5
C.32.(2020广东汕头高二期末,)下列关于函数y=csx+π2+sinπ3-x的说法正确的是( )
A.最大值为1,图象关于点π6,0对称
B.最大值为3,图象关于点π6,0对称
C.最大值为1,图象关于直线x=π6对称
D.最大值为3,图象关于直线x=π6对称
3.(2020广东揭阳高三模拟,)已知f(x)=sin π3(x+1)-3cs π3(x+1),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)=( )
A.23B.3C.0D.33
4.(2020湖北黄冈高一期末,)已知向量OC=(2,2),CA=(2cs α,2sin α),则OA的模的取值范围是( )
A.[1,3]B.[1,32]
C.[2,3]D.[2,32]
5.(2020山东烟台二中高一期末,)若a=sin 14°-cs 14°,b=sin 16°-cs 16°,c=-22,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c
6.(2020浙江金华高一期中,)当x=θ时,函数f(x)=3sin x+2cs x取得最小值,则cs θ=( )
A.31313B.-31313
C.21313D.-21313
7.(多选)(2020江西南昌二中高一期中,)已知函数f(x)=32sin x+12cs x+12,则f(x)在下列区间上单调递增的是( )
A.4π3,7π3B.-π6,π2
C.0,π6D.-2π3,0
8.(2020辽宁六校高一联考,)已知3sin x+3cs x=23sin(x+φ),φ∈(-π,π),则sin 2φ= .
9.(2020陕西西安高一期末,)函数f(x)=cs x+csx+π3图象的对称轴方程为 .
10.(2020山东青岛二中高一期中,)已知函数f(x)=sinx+7π4+csx-3π4(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)已知cs(β-α)=45,cs(β+α)=-45,0<α<β≤π2,求f(β)的值.
11.(2020浙江宁波效实中学高一期中,)已知函数f(x)=sin 2x+cs2x-π6(x∈R).
(1)求f(x)的最大值;
(2)设g(x)=3sin2x-π4,问:把y=f(x)的图象沿x轴至少向左平移多少个单位,可得到y=g(x)的图象?
答案全解全析
第四章 三角恒等变换
2.3 三角函数的叠加及其应用
基础过关练
1.C2.B4.B5.C9.D
10.B11.C12.D13.A14.D
15.B16.D17.C
1.C 2sin θ+2cs θ=2√2 sin θ•√2/2+cs θ•√2/2 =2√2sin θ+π/4 .
2.B √2cs x+√6sin x
=2√2 (1/2 csx+√3/2 sinx)
=2√2 (cs" " π/3 csx+sin π/3 sinx)
=2√2cs (π/3 "-" x).
3.解析 (1)y=3sin x-√3cs x=2√3 sin x•√3/2-cs x•1/2 =2√3 sin x•csπ/6-cs x•sinπ/6 =2√3sin x-π/6 .
(2)y=sin x/2+π/3 +sinx/2=sinx/2•csπ/3+csx/2sinπ/3+sinx/2=3/2sinx/2+√3/2csx/2
=√3 sinx/2•√3/2+csx/2•1/2
=√3sin(x/2+π/6).
4.B 因为sin(π/6+α)=1/4,所以cs α+√3sin α=2 1/2cs α+√3/2sin α =2sin π/6+α =2×1/4=1/2.
5.C 因为cs(α"-" π/6)+sin α=cs αcsπ/6+sin αsinπ/6+sin α=√3/2cs α+3/2sin α=√3 (1/2 csα+√3/2 sinα)=√3sin(π/6+α)=(4√3)/5,所以sin(π/6+α)=4/5,
故sin(α+7π/6)=sin[π+(α+π/6) ]
=-sin(α+π/6)=-4/5.
6.答案 -1
解析 由sin(2π/3 "-" x)=-√3/3可得sin x+π/3 =-√3/3,所以cs(-x)+cs(x+5π/3)=cs x+cs xcs5π/3-sin xsin5π/3=3/2cs x+√3/2sin x=√3sin x+π/3 =√3× -√3/3 =-1.
7.答案 1/3
解析 由a⊥b得a•b=0,即3sin α+3cs α-√2=0,因此sin α+cs α=√2/3,即√2cs α-π/4 =√2/3,于是cs α-π/4 =1/3,
故cs α+7π/4 =1/3.
8.解析 (tan 10°-√3)sin 40°
= (sin" " 10"°" )/(cs" " 10"°" )-√3 sin 40°
=(sin" " 10"°-" √3 cs" " 10"°" )/(cs" " 10"°" )•sin 40°
=(2sin"(" 10"°-" 60"°)" )/(cs" " 10"°" )•sin 40°
=("-" 2sin" " 50"°" sin" " 40"°" )/(cs" " 10"°" )
=("-(" cs" " 50"°" cs" " 40"°" +sin" " 50"°" sin" " 40"°)" )/(cs" " 10"°" )
=("-" cs"(" 50"°-" 40"°)" )/cs10"°" =-1.
9.D ∵f(x)=(1+√3 "•" sinx/csx)cs x=cs x+√3sin x=2(1/2 csx+√3/2 sinx)=2sin(x+π/6),
∴f(π/12)=2sin(π/12+π/6)=2sinπ/4=√2.
10.B f(x)=sin x+2cs x=√(1^2+2^2 )sin(x+φ)=√5sin(x+φ)(csφ=√5/5 "," sinφ=(2√5)/5),故其最大值为√5.
11.C f(x)=3sin ωx-3√3cs ωx=6(1/2 sinωx"-" √3/2 csωx)=6sin ωx-π/3 ,依题意有最小正周期T=2π/ω=4π,故ω=1/2.
12.D f(x)=2(1/2 sinx"-" √3/2 csx)=2sin(x"-" π/3),令2kπ-π/2≤x-π/3≤2kπ+π/2,k∈Z,得2kπ-π/6≤x≤2kπ+5π/6,k∈Z,又x∈[-π,0],∴x∈ -π/6,0 .
13.A f(x)=sin x+√3cs x=2 1/2sin x+√3/2•cs x =2sin x+π/3 ,因为f(θ)=2,
所以2sin θ+π/3 =2,又θ为锐角,所以θ=π/6.
14.D cs x+cs x-π/3 =cs x+cs xcs π/3+sin xsin π/3=3/2cs x+√3/2sin x=√3cs x-π/6 ,因为cs x-π/6 =m,所以cs x+cs x-π/3 =√3m.
15.B f(x)=sin x-cs(x+π/6)=sin x-cs x•csπ/6+sin xsinπ/6=3/2sin x-√3/2cs x=√3 (√3/2 sinx"-" 1/2 csx)=√3sin(x"-" π/6).∴f(x)的值域为[-√3,√3].
16.D f(x)=sin(2x+π/4)+cs(2x+π/4)
=√2 √2/2sin 2x+π/4 +√2/2cs 2x+π/4 =√2sin 2x+π/4+π/4
=√2sin 2x+π/2 =√2cs 2x,故f(x)在[0"," π/2]上单调递减,其图象关于直线x=π/2对称.
17.C 由题意知f(x)=sin 2x+cs 2x=√2sin(2x+π/4),将其图象向右平移φ个单位长度,得函数y=√2sin 2(x-φ)+π/4 =√2sin(2x"-" 2φ+π/4)的图象,要使图象关于y轴对称,则π/4-2φ=π/2+kπ,k∈Z,解得φ=-π/8-kπ/2,k∈Z,当k=-1时,φ取最小正值3π/8.
18.答案 b>a>c
解析 因为b=2(cs 60°cs 5°-sin 60°•sin 5°)=2cs 65°,c=2(cs 43°cs 24°-sin 24°sin 43°)=2cs 67°,函数y=2cs x(0°a>c.
19.解析 (1)由函数f(x)的图象经过点 π/3,1 ,得√3sinπ/3-acsπ/3=1,解得a=1.因此f(x)=√3sin x-cs x.
(2)f(x)=√3sin x-cs x=2 √3/2sin x-1/2cs x =2sin x-π/6 .
所以函数f(x)的最小正周期T=2π.
令2kπ+π/2≤x-π/6≤2kπ+3π/2(k∈Z),可得2kπ+2π/3≤x≤2kπ+5π/3(k∈Z).
因此函数f(x)的单调递减区间为 2kπ+2π/3,2kπ+5π/3 (k∈Z).
20.解析 f(x)=sin x-sin x+π/3
=sin x-sin xcs π/3-cs xsin π/3
=sin x-1/2sin x-√3/2cs x
=1/2sin x-√3/2cs x
=sin x-π/3 .
(1)f π/2 =sin π/2-π/3 =sin π/6=1/2.
(2)令-π/2+2kπ≤x-π/3≤π/2+2kπ,k∈Z,
得-π/6+2kπ≤x≤5π/6+2kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为 -π/6+2kπ,5π/6+2kπ ,k∈Z.
能力提升练
1.A2.B3.B4.D5.C
6.D7.ACD
1.A 因为√3/2sin x+1/2cs x=cs xcs π/3+sin xsin π/3=cs x-π/3 ,所以cs x-π/3 =4-m,于是|4-m|≤1,解得3≤m≤5.
2.B y=-sin x+√3/2cs x-1/2sin x=-√3 √3/2•sin x-1/2cs x =-√3sin x-π/6 ,所以函数的最大值为√3.令x-π/6=kπ,k∈Z,得x=π/6+kπ,k∈Z,取k=0,得函数图象关于点 π/6,0 对称.令x-π/6=π/2+kπ,k∈Z,得x=2π/3+kπ,k∈Z,故函数图象不关于直线x=π/6对称.
3.B f(x)=sin π/3(x+1)-√3csπ/3(x+1)=2sin π/3x,其最小正周期T=6,且f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=√3+√3+0-√3=√3.
4.D (OA) ⃗=(OC) ⃗+(CA) ⃗=(2+√2cs α,2+√2sin α),所以|(OA) ⃗|=√("(" 2+√2 csα")" ^2+"(" 2+√2 sinα")" ^2 )=√(10+8sin(π/4+α)),
因为-1≤sin π/4+α ≤1,
所以|(OA) ⃗|∈[√2,3√2].
5.C a=sin 14°-cs 14°=√2sin(14°-45°)=-√2sin 31°,b=sin 16°-cs 16°=√2sin(16°-45°)=-√2sin 29°,c=-√2/2=-√2sin 30°,由于y=sin x(0°c>a.
6.D f(x)=3sin x+2cs x=√13 sin x•3/√13+cs x•2/√13 ,令cs φ=3/√13,sin φ=2/√13,则f(x)=√13sin(x+φ),由于当x=θ时,函数取得最小值,所以θ+φ=-π/2+2kπ(k∈Z),于是θ=-π/2-φ+2kπ(k∈Z),故cs θ=cs -π/2-φ+2kπ =-sin φ=-2/√13=-(2√13)/13.
7.ACD f(x)=√3/2sin x+1/2cs x+1/2
=sin x+π/6 +1/2.
令2kπ-π/2≤x+π/6≤2kπ+π/2,k∈Z,
可得2kπ-2π/3≤x≤2kπ+π/3,k∈Z.
当k=0时,函数f(x)在 -2π/3,π/3 上单调递增,
又 -2π/3,0 ⊆ -2π/3,π/3 , 0,π/6 ⊆ -2π/3,π/3 ,所以C,D满足题意;
当k=1时,函数f(x)在 4π/3,7π/3 上单调递增,又 4π/3,7π/3 ⊆ 4π/3,7π/3 ,所以A满足题意.故选ACD.
8.答案 √3/2
解析 √3sin x+3cs x=2√3 sin xcs π/3+cs xsin π/3 =2√3sin x+π/3 .
∵-π<φ<π,∴φ=π/3,
∴sin 2φ=sin 2π/3=√3/2.
9.答案 x=kπ+5π/6(k∈Z)
解析 f(x)=cs x+cs x+π/3 =cs x+cs xcs π/3-sin xsin π/3=3/2cs x-√3/2sin x=√3sin π/3-x =-√3sin x-π/3 ,令x-π/3=kπ+π/2(k∈Z),解得x=kπ+5π/6(k∈Z),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ+5π/6(k∈Z).
10.解析 (1)因为f(x)=sin xcs 7π/4+cs x•sin 7π/4+cs xcs 3π/4+sin xsin 3π/4
=√2sin x-√2cs x=2sin(x"-" π/4),
所以f(x)的最小正周期T=2π/1=2π,最小值为-2.
(2)由已知得cs αcs β+sin αsin β=4/5,cs αcs β-sin αsin β=-4/5,
两式相加得cs αcs β=0,
由于0<α<β≤π/2,
所以cs β=0,即β=π/2,
故f(β)=2sin π/2-π/4 =√2.
11.解析 (1)f(x)=sin 2x+cs 2x-π/6 =sin 2x+ cs 2x•cs π/6+sin 2x•sin π/6 =3/2sin 2x+√3/2cs 2x=√3sin 2x+π/6 ,故f(x)的最大值为√3.
(2)设把y=f(x)的图象向左平移t个单位,得到y=√3sin 2(x+t)+π/6 =√3sin 2x+2t+π/6 的图象,令2x+2t+π/6=2kπ+2x-π/4(k∈Z),得t=kπ-5π/24(k∈Z),
要使t=kπ-5π/24(k∈Z)为最小正数,则取k=1,此时t=19π/24,即把y=f(x)的图象沿x轴至少向左平移19π/24个单位,可得到y=g(x)的图象.