数学必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用学案设计

2．3　三角函数的叠加及其应用

[教材要点]

要点一　Cα＋β，Cα－β，Sα＋β，Sα－β的逆用

cos αcos β＋sin αsin β＝________

cos αcos β－sin αsin β＝________

sin αcos β＋cos αsin β＝________

sin αcos β－cos αsin β＝________

要点二　辅助公式

asin α＋bcos α＝______________(a，b不同时为0)，其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ＝和cos φ＝的值确定，也就是由tan φ＝来确定．

[教材答疑]

[教材P149思考交流]

(1)f(x)＝sin x＋cos x＝sin，最大值是，最小值是－，周期是2π.

(2)f(x)＝asin x＋bcos x(a，b不同时为0)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，最大值是，最小值是－，周期是2π.

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)sin x＋cos x＝2sin.(　　)

(2)cos x－sin x＝cos.(　　)

(3)函数y＝sin 2x－cos 2x的最小正周期为π.(　　)

(4)函数y＝sin x－cos x的最大值为1.(　　)

2．函数y＝3sin x＋4cos x的最大值为(　　)

A．3　　　　　　　 　 　B．4

C．5  D．6

3．函数y＝|sin x＋cos x|的最小正周期为(　　)

A.  B.

C．π  D．2π

4．函数f(x)＝sin－cos的单调递增区间为________．

题型一　利用两角和与差的正、余弦公式、辅助公式化简——自主完成

化简下列各式：

1．sincos＋cossin.

2．3sin 2x－cos 2x.

3．2sin＋cos.

方法归纳

对化简的式子提系数，利用两角和与差公式的逆用或辅助公式化为形Asin(ωx＋φ)或Acos(ωx＋φ)的形式．

题型二　两角和与差的正、余弦公式与三角函数的综合运用——师生共研

例1　已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin 2x＋a的最大值为1.

(1)求实数a的值；

(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．

跟踪训练1　[多选题]已知函数f(x)＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是(　　)

A．直线x＝π是函数f(x)的图象的一条对称轴

B．函数f(x)在上单调递减

C．函数f(x)的图象向右平移个单位可得到y＝cos 2x的图象

D．函数f(x)在上的最小值为－1

例2　已知函数f(x)＝sin 2x＋mcos 2x＋n(m>0)

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)设x∈，f(x)的最小值是1－，最大值是3，求实数m，n的值．

跟踪训练2　已知定义在R上的函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(ω>0)．若f(x)的最小正周期为π，且对一切x∈R，都有f(x)≤f＝4，求函数f(x)的表达式．

2．3　三角函数的叠加及其应用

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

cos(α－β)　cos(α＋β)　sin(α＋β)　sin(α－β)

要点二

　 sin(α＋φ)[基础自测]

1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．解析：由辅助公式得y＝3sin x＋4cos x＝sin(x＋φ)＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝，所以最大值为5.

答案：C

3．解析：y＝|sin x＋cos x|＝2，所以它的最小正周期为π.故选C.

答案：C

4．解析：f(x)＝sin＝sin

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z

得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以函数的单调增区间为：

，(k∈Z)．

答案：，(k∈Z)

题型探究·课堂解透

题型一

1．解析：原式＝sin＝sin x.

2．解析：原式＝2＝2sin.

3．解析：原式＝sin＝3sin，其中tan φ＝.

题型二

例1　解析：(1)f(x)＝sin＋sin 2x＋a

＝cos 2x＋sin 2x＋a

＝2sin＋a，

∴2＋a＝1，∴a＝－1.

(2)将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，

∴g(x)＝f＝2sin－1

＝2sin－1.

∵x∈，

∴2x＋∈

∴当2x＋＝时，sin＝，

g(x)取最大值－1.

当2x＋＝时，sin＝－1，

g(x)取最小值－3.

跟踪训练1　解析：∵f(x)＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ＝cos(2x＋φ)的图象的一个对称中心为，

∴cos＝0，则＋φ＝＋kπ，

∴φ＝＋kπ，k∈Z.

∵0<φ<，

∴φ＝.

则f(x)＝cos.

∵f＝cos＝cos π＝－1，

∴直线x＝π是函数f(x)的图象的一条对称轴，故A正确；

当x∈时，2x＋∈，

∴函数f(x)在上单调递减，故B正确；

函数f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝cos＝cos的图象，故C项错误；

当x∈时，2x＋∈，

∴函数f(x)在上的最小值为cos π＝－1，故D正确．

故选A、B、D.

答案：ABD

例2　解析：(1)f(x)＝sin 2x＋mcos 2x＋n

＝m＋n

＝msin＋n.

∵m>0，

∴由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

故函数f(x)的单调递减区间为，(k∈Z)．

(2)当x∈时，2x＋∈，

则sin∈，

由题意知 解得m＝2，n＝1.

跟踪训练2　解析：利用辅助角公式，可得f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中tan φ＝)．又最小正周期T＝＝π，∴ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．∵对一切x∈R，都有f(x)≤f＝4，∴解得

∴f(x)＝2sin 2x＋2cos x．即f(x)＝4sin.