高中数学2.3 三角函数的叠加及其应用练习

【精挑】2.3 三角函数的叠加及其应用-2作业练习

一．填空题

1．在中，的最大值为：____________.

2．已知，则____________．

3．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为__________.

4．已知都是锐角，，则=_____

5．设,,,则,,的大小关系是______.

6．tan22°+tan23°+tan22°tan23°=_______

7．在△ABC中，∠ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝_____．

8．已知是关于的实系数方程的两个根，则的最小值为__________.

9．已知，则__________．

10．已知，则__________．

11．已知，，则________.

12．已知，为第一象限角，则_______，_______.

13．已知，,则________.

14．如果，那么等于_______.

15．求值:______.

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】根据积化和差公式得,再化成辅助角的形式可解得最大值.

【详解】

由积化和差公式可得,

,当且仅当时,等号成立,

所以

,

令,,则,取,

所以 ,

当,时,等号成立.

故答案为:2

【点睛】

本题考查了积化和差公式,两角和的正弦的逆用公式,属于难题.

2．【答案】

【解析】，

则：，

.

3．【答案】

【解析】由题意先求出的正弦值．余弦值，再根据条件得到，再根据两角和的正弦．余弦公式求出的正弦值．余弦值，然后求出点的坐标．

【详解】

解：∵点在单位圆上，

∴，，

∵点沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，

∴点逆时针转动了，则，

∴，

，

∴点的坐标为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查三角函数的定义以及两角和的正余弦公式，属于基础题．

4．【答案】

【解析】由已知求出，再由两角差的正弦公式计算．

【详解】

∵都是锐角，∴，

又，

∴，，

∴

．

故答案为．

【点睛】

本题考查两角和与差的正弦公式．考查同角间的三角函数关系．解题关键是角的变换，即．这在三角函数恒等变换中很重要，即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系，根据这个关系选用相应的公式计算．

5．【答案】

【解析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系．

【详解】

，

，，

所以，．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．

6．【答案】1

【解析】解：因为tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan(22°+23°)(1- tan22°tan23°)+ tan22°tan23°=tan45°=1

7．【答案】

【解析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出．的值，再利用两角差的正切公式求得，从而求出的值．

【详解】

解：设，，则为锐角，

∴，，

∴，

依题意，若对于给定的，是唯一的确定的，

可得，

解得，即的值为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．

8．【答案】

【解析】由题意，根的判别式且，求出的范围，再根据韦达定理，用表示出和，然后用两角和的正切公式表示出，借助一次函数的单调性即可求出最小值．

【详解】

解：由题意有，且，

∴，且，

∵是关于的实系数方程的两个根，

由韦达定理，和，

∴，

∵，且，

∴，且，

∴的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式得应用，考查韦达定理的应用，属于中档题．

9．【答案】-1

【解析】注意观察角x．的关系可发现x．均能用已知角和特殊角表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果．

【详解】

故答案为：-1.

【点睛】

三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

10．【答案】

【解析】先将已知等式中分离出来，然后利用诱导公式以及两角和的余弦公式进行化简，由此求得的值.

【详解】

由题可得 .

【点睛】

本小题主要考查方程的思想，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

11．【答案】

【解析】先由，根据二倍角公式，得到，再由两角差的正切公式，即可得出结果.

【详解】

因为，所以且，所以；

又，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正切公式即可，属于常考题型.

12．【答案】     

【解析】第一空先求出，再通过，利用两角和的正弦公式展开计算；

第二空利用公式将都用表示出来，再带值计算即可.

【详解】

第一空：由题意，为第一象限角，

则还是第一象限角，

，

于是；

第二空：由诱导公式，得.

由倍角公式，得.

所以.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查两角和与差的正弦公式，倍角公式的应用，对公式的理解及灵活应用是关键，是中档题.

13．【答案】

【解析】由，再结合两角差的正切公式求解即可.

【详解】

解：因为，,

又，

所以=，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.

14．【答案】

【解析】由可得，从而可得结果.

【详解】

因为，，

所以，故答案为.

【点睛】

三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

15．【答案】1

【解析】利用两角和的正弦公式，即可求出结果.

【详解】

.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查两角和的正弦公式，属于基础题.