数学必修 第二册第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.3 三角函数的叠加及其应用同步测试题
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一．填空题
1．若点是椭圆上任意一点，点分别为椭圆的上下顶点，若直线．的倾斜角分别为．，则______.
2．已知，且，.则的值是________.
3．____________
4．已知，，，则__________.
5．若，则 ______．
6．已知，且，则的值为______．
7．化简________.
8．已知，，则______.
9．的值为______.
10．已知，且，则=______.
11．已知sin（x）+cos（x），且x∈（π，2π），则_____.
12．已知，则=_______.
13．sin20°+2sin20°cos40°＝_____.
14．已知，则=
15．_________.
参考答案与试题解析
1．【答案】
【解析】首先利用两角和与差的公式以及同角三角函数的关系将化简成，然后设出点，求出直线．斜率，再将椭圆方程代入化简即可求解.
【详解】
由，
设点，由，，直线．的倾斜角分别为．，
所以，，
所以，
又可得，代入上式可得
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的性质．直线的斜率．两角和与差的公式以及同角三角函数的关系，综合性比较强，属于中档题.
2．【答案】2
【解析】【详解】
.
3．【答案】
【解析】因为，
所以，则tan20° +tan40°+tan20°tan40°．
考点：两角和的正切公式的灵活运用．
4．【答案】
【解析】由于，故先求出．，再根据两角和的正弦公式求值即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
又，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查两角和的正弦公式的应用，注意角与角之间的关系，考查整体思想，考查计算能力，属于中档题．
5．【答案】.
【解析】分析：观察条件和问题的角度关系可得：=，故=],然后按正切的和差公式展开即可.
详解：由题可得：=]=
故答案为.
点睛：考查三角函数的计算，能发现=是解题关键，此题值得好好积累，属于中档题.
6．【答案】
【解析】根据同角的三角函数的关系，利用结合两角和的余弦公式即可求出．
【详解】
，
，
，
，
，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查同角的三角函数的关系，两角和的余弦公式，属于中档题.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键．
7．【答案】1
【解析】利用诱导公式，得到，通分整理后，由，利用两角差的正弦公式，展开化简后，得到答案.
【详解】
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查诱导公式进行化简求值，利用两角差的正弦公式进行化简求值，属于中档题.
8．【答案】
【解析】计算得到，化简得到得到答案.
【详解】
，，则，
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角函数化简，意在考查学生的计算能力.
9．【答案】
【解析】根据诱导公式与两角和与差的余弦公式求解即可.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了诱导公式与两角和与差的余弦公式运用,属于基础题型.
10．【答案】
【解析】先求出，再用两角差的正弦公式求出．
【详解】
解：∵，∴，
又，∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查两角差的正弦公式，考查同角的三角函数关系，注意角的范围，考查整体思想，属于基础题．
11．【答案】7
【解析】结合已知和差角公式可求，然后结合同角基本关系即可求解.
【详解】
，∴，
，
，，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的三角公式及同角三角函数基本关系的简单应用，属于中档试题.
12．【答案】
【解析】利用两角和．差的正弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值.
【详解】
因为，所以，
所以，故，
所以.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查两角和．差的正弦，注意根据公式的结构特点把对数的计算归结为的值，这是三角变换中的整体思想，本题为中档题.
13．【答案】.
【解析】利用进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
【点睛】
本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°．40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题.
14．【答案】
【解析】，
，，故
考点：两角和与差的正玹．余弦
15．【答案】
【解析】将化简为，写为，由两角和的正切公式即可求解.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查正切函数的周期，两角和的正切公式，特殊角的三角函数值，属于基础题.
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