高中北师大版 (2019)2.3 三角函数的叠加及其应用学案

这是一份高中北师大版 (2019)2.3 三角函数的叠加及其应用学案，共11页。
3.2.3　三角函数的叠加及其应用3.2.4　积化和差与和差化积公式新课程标准学业水平要求1.初步掌握两角和与差的三角函数公式和公式的由来以及公式的正用和逆用．2．理解辅助角公式的结构形式，并利用公式进行化简．3．能运用积化和差与和差化积公式进行简单的恒等变换1.理解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的结构形式以及公式的推导．(数学抽象、逻辑推理)2．理解辅助角公式的由来以及特点，并应用公式进行三角函数式的有关运算．(数学运算)3．熟练应用公式进行三角函数式的化简、求值以及有关运算．(数学运算、逻辑推理)4．能通过和差角公式推出积化和差公式，能通过积化和差公式推出和差化积公式．(逻辑推理)5．了解积化和差与和差化积公式的结构形式，并能利用公式解决简单的求值问题．(数学运算)6．进一步掌握三角恒等变换的公式，并能利用公式解决化简、求值及证明问题．(逻辑推理、数学运算) 课前篇·自主学习预案知识点1　辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)(或asin x＋bcos x＝·cos(x－φ))，其中sin φ＝，cos φ＝.知识点2　积化和差公式与和差化积公式(1)积化和差公式sin αcos β＝________；cos αsin β＝________；cos αcos β＝________；sin αsin β＝________.(2)和差化积公式sin α＋sin β＝2sincos；sin α－sin β＝2cossin；cos α＋cos β＝2coscos；cos α－cos β＝－2sinsin.答案：[sin(α＋β)＋sin(α－β)][sin(α＋β)－sin(α－β)][cos(α＋β)＋cos(α－β)][cos(α＋β)－cos(α－β)]．课堂篇·研习讨论导案研习1  辅助角公式[典例1]　将下列各式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式：(1)y＝3sin x－cos x；(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)；(3)y＝sin＋sin.[思路分析]利用三角函数公式将函数解析式化为asin ωx＋bcos ωx的形式，再利用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式．[自主记][解]　(1)y＝3sin x－cos x＝2＝2＝2sin.(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)＝sin 2xcos 2x＋cos22x＝sin 4x＋＝sin 4x＋cos 4x＋＝＋＝＋＝sin＋.(3)y＝sin＋sin ＝sin cos ＋cos sin ＋sin ＝sin ＋cos ＝＝sin.[巧归纳]　将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤(1)将sin xcos x运用二倍角公式化为sin 2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．(2)将(1)中得到的式子利用asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式.[练习1]　化简下列三角函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)的形式：(1)y＝cos4x－2sin xcos x－sin4x；(2)y＝sin x(cos x－sin x)＋.解：(1)y＝cos4x－2sin xcos x－sin4x＝(cos4x－sin4x)－2sin xcos x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sin xcos x＝cos 2x－sin 2x＝＝＝sin.(2)y＝sin x(cos x－sin x)＋＝sin xcos x－sin2x＋＝sin 2x－＋＝sin 2x＋cos 2x－＋＝＝sin.研习2  与三角函数性质有关的问题[典例2]　已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．[自主记][解]　因为f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.[巧归纳]　应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质.[练习2]　(2019·北京朝阳期末)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1.所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x－∈，sin∈，sin＋1∈[0，＋1]．当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.所以当x∈时，f(x)≥0.[练习3]　已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为.(1)求a，ω的值；(2)若f(α)＝，求sin的值．解：(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋φ)，其中tan φ＝.由题意知＝2，a>0，则a＝1.由题意知f(x)的最小正周期为π，则＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.由f(α)＝知，2sin＝，即sin＝.∴sin＝sin＝－cos＝－1＋2sin2＝－1＋2×2＝－.研习3  积化和差[典例3]　求下列各式的值．(1)sin 37.5°cos 7.5°；(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.[自主记][解]　(1)sin 37.5°cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝.(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.[巧归纳]　在运用积化和差公式时，如果形式为混合函数积时，化得的结果应为sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差.[练习3]　化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)．解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ＝sin θ＋2sin θcos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ)＝sin 3θ.研习4  和差化积[典例4]　已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值．[自主记][解]　因为cos α－cos β＝，所以－2sinsin＝.①又因为sin α－sin β＝－，所以2cossin＝－.②因为sin≠0，所以由①②得－tan＝－，即tan＝.所以sin(α＋β)＝＝＝＝.[巧归纳]　和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式.[练习4]　＝________.答案：　解析：原式＝＝＝.研习5  和差化积公式、积化和差公式的应用[典例5]　若sin(α＋β)sin(β－α)＝m，则cos2α－cos2β等于________．[思路分析]根据题目条件中为两角和与差的关系式，而求解的结果为单角的关系式的特征，可以考虑用积化和差公式加以应用．[自主记][答案]　m[解析]　由积化和差公式得sin(α＋β)sin(β－α)＝－(cos 2β－cos 2α)＝－(2cos2β－1－2cos2α＋1)＝－(2cos2β－2cos2α)＝cos2α－cos2β＝m，故答案为m.[巧归纳]　对于一些比较复杂的含有积或和(差)形式的三角函数式，往往可以利用和差化积公式或积化和差公式加以处理与解决，关键是正确掌握相应的公式并会应用.[练习5]　cos2x＋cos2(120°＋x)＋cos2(240°＋x)＝________.答案：　解析：原式＝＋＋＝＋[cos 2x＋cos(240°＋2)＋cos(480°＋2x)]＝＋[cos 2x＋2cos(360°＋2x)cos 120°]＝＋(cos 2x－cos 2x)＝.达标篇·课堂速测演习1.函数y＝sincos x的最大值为(　　)A.  B.  C．1  D.答案：B　解析：利用积化和差公式得y＝sin(x－)cos x＝＝sin－，则其最大值为－＝.2.直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为________．答案：　解析：因为A＋B＝，sin Asin B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝cos(A－B)．又－<A－B<，即0<cos(A－B)≤1，所以sin Asin B最大值为.3.函数f(x)＝2sinsin的最大值等于________．答案：2sin2　解析：f(x)＝2sinsin＝－[cos α－cos(x－α)]＝cos(x－α)－cos α.当cos(x－α)＝1时，f(x)取得最大值1－cos α＝2sin2.4.求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．解：解法一：原式＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋sin 20°·cos 50°＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋(sin 70°－sin 30°)＝－sin 70°·sin 30°＋sin 70°＝.解法二：原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50°＝(2sin 30°·cos 10°)2－(sin 70°－sin 30°)＝cos210°－cos 20°＋＝－cos 20°＋＝.