高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程当堂达标检测题

【精品】1.1 椭圆及其标准方程-1优选练习

一．填空题

1．设，是椭圆的左？右焦点，为椭圆的上顶点，为的中点，若，则该椭圆的离心率为________.

2．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______．

3．如图所示，已知A？B？C是椭圆上的三点，过椭圆的中心O，且.则椭圆的离心率为_______.

4．过椭圆＋＝1的左焦点作一条直线与椭圆交于A．B两点，则的周长为________．

5．设，为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是______.(从以下选择.椭圆.直线.圆.线段)

6．椭圆的左．右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的________倍

7．以O为中心，，为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_______________.

8．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为，则的方程可以为______．

9．已知椭圆，A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，圆，过左焦点F作轴，交圆O于点P，直线AP恰好与圆O相切，则椭圆C的离心率为___________.

10．若椭圆的焦距是，则________

11．椭圆的焦距长为__________．

12．已知椭圆的左．右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的短轴长为_________________________．

13．椭圆的左焦点的坐标为___________．

14．已知是椭圆：的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作的垂线，依次交椭圆的上半部分于，设左焦点为，则______．

15．若椭圆C：的右焦点为F，且与直线l：交于P，Q两点，则的周长为_______________.

16．已知椭圆的一个焦点为，则C的离心率为___________.

17．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为__________．

18．椭圆的焦点坐标是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据题意得为等腰三角形且，即，进而得答案.

详解：解：根据题意得为等腰三角形，且，

所以，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，是基础题.

2．【答案】（答案不唯一）

【解析】分析：不妨设椭圆的焦点在轴上，标准方程为，进而根据题意得，再令即可得到一个满足条件的椭圆方程.

详解：不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为

因为长轴长等于离心率8倍，故，即

不妨令，则，

所以满足条件的一个椭圆方程为.

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】

本题解题的关键在于再求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解.

3．【答案】

【解析】分析：由B．C关于原点的对称性，所以|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，由此可得C点的横坐标，由AC⊥BC可求出C点的纵坐标，再由点C在椭圆上可求得a．b．c的一个关系式，结合椭圆中a2＝b2+c2，即可求出离心率．

详解：由|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，所以C点的横坐标为，设C（，y），

由AC⊥BC，则，又因为点C在椭圆上，代入椭圆方程得：，

所以，所以e，

故答案为：．

【点睛】

本题考查椭圆的离心率的求解，求得点C坐标是关键，考查逻辑推理能力和运算能力．

4．【答案】

【解析】分析：利用椭圆的定义即可求解.

详解：如图：

根据椭圆的定义可得的周长

，

由＋＝1，则，

所以的周长为.

故答案为：

5．【答案】椭圆

【解析】分析：直接由椭圆的定义可得解.

详解：动点M满足，

所以点M的轨迹是以，为焦点的椭圆.

故答案为：椭圆.

6．【答案】5

【解析】分析：求出,即得解.

详解：由题得，

由题得轴，当时，，所以,

所以,

所以是的5倍.

故答案为：5

【点睛】

方法点睛：解答圆锥曲线的问题，看到焦半径时要马上联想到圆锥曲线的定义解题.

7．【答案】

【解析】分析：因为，结合定义，可求出，，，在中，结合余弦定理，可求出的关系，进而求出离心率.

详解：因为，因为，，，因为

所以，

所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆求离心率，考查椭圆定义的应用以及余弦定理解三角形，属于中档题.

8．【答案】

【解析】分析：设椭圆的方程为，由离心率可得，从而可写出正确答案.

详解：解：因为焦点在轴上，所以设椭圆的方程为，

因为离心率为，所以，所以，则，

故答案为: .

9．【答案】

【解析】设椭圆C的焦距为2c.由题意知，，，，

因为轴，，所以，

从而，即，

整理得，解得(负值舍去).

故答案为：

10．【答案】5

【解析】分析：由椭圆的定义可知，故焦点在轴上，即可得答案；

详解：由椭圆的定义可知，

又，故焦点在轴上，

，

，

故答案为：.

11．【答案】2

【解析】因为椭圆中，，所以，

所以焦距为.

故答案为2

12．【答案】

【解析】分析：连接,根据椭圆的对称性可知为矩形，根据已知条件，利用椭圆的定义求得，利用勾股定理，结合已知三角形的面积，求得b的值，进而得解.

详解：连接,根据椭圆的对称性可知为矩形，

由,得,

由,结合，

求得,

∴,

∴椭圆的短轴长为,

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆的性质，属基础题，关键是利用对称性，连接,根据椭圆的对称性可知为矩形，注意熟练掌握椭圆的定义是关键.

13．【答案】

【解析】分析：由椭圆方程，求得，进而求得的值，即可求解.

详解：由题意，椭圆，可得，

又由，可得，所以左焦点的坐标为．

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：由椭圆的定义可得，再利用椭圆的对称性即可求和.

详解：椭圆的长轴，

设右焦点为，由椭圆的定义得，

由题意知点关于y轴对称分布，

所以，，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的定义及简单性质，属于中档题.

15．【答案】

【解析】分析：求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可．

详解：

由题得椭圆的左焦点，

所以直线经过左焦点，

的周长，

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题.

16．【答案】

【解析】分析：由椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到的值，再根据求得的值，最后代入离心率公式计算出结果.

详解：椭圆：的一个焦点为，可得，解得，所以椭圆的离心率为：

故答案为：

17．【答案】

【解析】分析：先根据条件求解出椭圆的长半轴长，再分析出的周长即为，由此可得结果.

详解：设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，

因为短轴长为，离心率，所以，

所以，所以，

又因为的周长为 ，

由椭圆定义可知的周长为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查和椭圆焦点三角形有关的周长计算，涉及椭圆方程中参数的计算，主要考查学生的计算能力，难度一般.椭圆中焦点三角形的周长：（为长轴长，为焦距）.

18．【答案】

【解析】分析：由椭圆的方程得出，然后即可得到答案.

详解：由得，

且焦点在轴上，所以焦点坐标为．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的焦点坐标，考查考生对基础知识的掌握情况，属于基础题目.