高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程同步测试题

【精挑】1.1 椭圆及其标准方程-2练习

一．填空题

1．已知椭圆的右焦点，点B是椭圆C的上顶点，且直线的斜率为，则椭圆C的方程为_________．

2．椭圆（）的两个焦点为．，且，弦过点，则△的周长是_______．

3．椭圆的左右焦点分别为，点为其上的动点，当为钝角时，点的纵坐标的取值范围是____________.

4．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_____．

5．设椭圆的左右焦点分别为右顶点为A，上顶点为B，已知，椭圆的离心率为____.

6．已知椭圆的方程为，，分别是椭圆的左．右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值是___________.

7．平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，右准线与x轴的交点为A，若在椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为_______________．

8．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________.

9．椭圆的焦点．，为椭圆上的一点，当时，△的面积是_______．

10．如图，椭圆的上．下顶点分别为，，左．右顶点分别为，，若线段的垂直平分线恰好经过，则椭圆的离心率是__________.

11．在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M．N是椭圆上的两个动点，动点P满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点．，使得为定值，则该定值为_______________.

12．若椭圆的一个焦点坐标为，则的长轴长为__.

13．已知椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是________．

14．椭圆的左．右焦点分别是，，点是椭圆上一点，，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率是_________.

15．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为，最大值为，则该椭圆的短轴长为________．

16．已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则等于________.

17．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________.

18．椭圆的焦距是2，则的值是_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据椭圆方程，得出，再由直线的斜率，求出，由焦点得出，进而可求出，即可得出椭圆方程.

详解：因为椭圆的右焦点，点B是椭圆C的上顶点，

所以，，

又直线的斜率为，所以，解得，因此

所以椭圆C的方程为.

故答案为：.

2．【答案】20

【解析】分析：由题意可得，利用，求出a，再运用椭圆定义得△的周长为即可.

详解：如图所示，由，得，即，椭圆（），

∴，得，弦过点，根据椭圆定义得△的周长为.

故答案为：20.

【点睛】

结论点睛：在椭圆中，弦过椭圆的一焦点与椭圆相交于A，B，与另一焦点形成的三角形的周长为.

3．【答案】

【解析】分析：首先根据为钝角得到，再结合在椭圆上，即可得到点的纵坐标的取值范围.

详解：设，焦点，.

因为为钝角，所以，

即.

整理得：.

因为点在椭圆上，

代入解得或.

又因为，所以点纵坐标的取值范围.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

4．【答案】

【解析】分析：由已知条件可得，从而可求出实数m的取值范围

详解：解：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，

所以，解得，

所以实数m的取值范围为，

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：由题意可得，，再结合，化简可得，从而求得．

详解：由题意知，，，

，，

即，

即，

故.

故答案为：．

6．【答案】

【解析】分析：本题先根据已知求出．，再求．，最后转化即可解题.

详解：解：∵椭圆的方程为，∴，，则，，

∵，，∴，

∵，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值．椭圆的标准方程求，，，是中档题.

7．【答案】

【解析】分析：依题意在线段的垂直平分线上，所以的横坐标为，再根据在椭圆上，所以，即可得到齐次式，从而求出离心率的取值范围；

详解：解：椭圆的右焦点，右准线为，因为，

所以在线段的垂直平分线上，所以的横坐标为，因为在椭圆上，所以，即，同除得，，解得或，因为，所以，即

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的准线方程的运用，椭圆上一点到焦点的距离的最值，属于中档题．

8．【答案】

【解析】分析：根据焦点在轴上的椭圆的方程的特征列出不等关系，求解不等关系可得结果.

详解：由题意得，解可得或；

解可得或；

综上可得的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

方程表示椭圆则有：；方程表示双曲线则有：.

9．【答案】9

【解析】分析：根据椭圆定义有，再由勾股定理得，进而可得，即可得到面积.

详解：根据椭圆的定义，  ①，

，由勾股定理得，

  ②，

①2-②得：，

.

故答案为：9.

10．【答案】

【解析】分析：根据线段的垂直平分线恰好经过可得，即，即可求出椭圆的离心率.

详解：因为线段的垂直平分线恰好经过，所以，即，

所以，即，又，

所以，即，所以，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题.

11．【答案】

【解析】分析：先设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用坐标表示求动点P轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果.

详解：设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），

即x=2x1-x2，y=2y1-y2，

∵点M，N在椭圆上，所以，，

故2x2+y2=（8x12+2x22-8x1x2）+（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2+y1y2），

设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=-2，

∴y1y2+2 x1x2=0，

∴2x2+y2=20，

所以P在椭圆2x2+y2=20上；

设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，

由椭圆的定义可推断出为定值，该定值为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了椭圆定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．

12．【答案】

【解析】分析：由椭圆的焦点坐标判断焦点位置和值，根据方程写，，再由，，之间的关系求参数，再得长轴长即可.

详解：解：由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，所以，且，，解得，

所以椭圆的标准方程为：，所以，即，所以长轴长，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了椭圆的定义及性质，注意椭圆标准形式的分母都为正值，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分析：先由题意，得到不是水平直线，设直线的方程为，点，的坐标分别为，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，得到，再由，得出，由此列出不等式，即可求出结果.

详解：因为存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，显然不是水平直线，设直线的方程为，点，的坐标分别为，．

由消去，整理得，

由韦达定理，

，

因为，所以，即，

所以，而，则，

即，整理得，

所以，即，

解得，即，

即，所以

又椭圆的离心率满足，所以.

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：

求解椭圆离心率问题的关键在于求出之间关系，本题中利用向量数量积的坐标表示，通过联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，得出，即可求解.

14．【答案】

【解析】分析：设，由，得，利用勾股定理结合椭圆的定义，可得离心率．

详解：设，由，得，由，得，所以，又，即，化简得，即，根据，得，又，所以，所以椭圆的离心率.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，属于中档题．

15．【答案】

【解析】分析：由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆的短轴长度.

详解：不妨设椭圆方程为：，由题意可得，

解得，则椭圆的短轴长度为：.

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查椭圆的几何性质，方程的数学思想，椭圆短轴的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．【答案】8

【解析】分析：由椭圆的标准方程及焦点在y轴上且，结合椭圆参数的关系即可求.

详解：由题意知：，得，又，焦点在轴上

∴，解得.

故答案为：8

17．【答案】

【解析】分析：由题可得，解出即可.

详解：根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆，

∴，

解得或.

故的取值范围是.

故答案为：.

18．【答案】

【解析】分析：直观根据焦距为2，得到，再根据，计算可得；

详解：解：因为椭圆的焦距是2，所以，即，因为，所以，解得

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.