高中数学2.3 直线与圆的位置关系测试题

【基础】2.3 直线与圆的位置关系-3优选练习

一．填空题

1．已知圆：直线：，过直线上的点作圆的切线，，切点分别为，，若存在点使得，则实数的取值范围是______.

2．已知圆.动点在直线上，过点引圆的切线，切点分别为，则直线过定点______.

3．圆上恰有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是______.

4．已知直线曲线当直线和曲线有两个公共点时，的取值范围是________.

5．已知圆的圆心在轴上，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___.

6．在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,A,B为椭圆的长轴端点，C,D为椭圆的短轴端点，动点P满足，△PAB面积最大值为 ,△PCD面积最小值为，则椭圆离心率为______。

7．已知直线与圆交于两点（两点在轴同侧），分别过点作的垂线，交轴于两点.若，则________.

8．若圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：x2+y2+ax+by﹣7＝0（a，b，r为常数），关于直线x﹣y+2＝0对称，则a的值为_____，r的值为_____．

9．已知方程为的圆关于直线对称，则圆的半径______.若过点作该圆的切线，切点为，则线段长度为______.

10．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.

11．点为圆：上一动点，为圆：上一动点，为坐标原点，则的最小值为______.

12．直线与圆相切，则b的值是______；

13．过三个点，，的圆交直线与．两点，则____.

14．已知两点，，若以线段MN为直径的圆与直线有公共点，则实数a的取值范围是___________.

15．已知实数x．y满足（x﹣2）2+（y+3）2＝1，则|3x+4y﹣4|的最小值为_____．

16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为．过点存在直线l被圆C截得的弦长为，则实数的取值范围是___________．

17．设直线与圆相交于A，B两点，若，则________

18．已知直线与函数的图象有两个交点.则实数m的取值范围是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】取中点，则三点共线，且，由已知可得，即，利用，求出，要使得点存在，坐标原点到直线的距离不大于的值，建立的不等量关系，求解即可.

详解：连，直线，是圆的切线，

切点分别为，，，

三点共线，，

，

，

，

要使在直线上存在点使得，

则点到直线的距离，，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系以及切线性质的应用，注意平面几何知识和向量知识的合理利用，考查数形结合思想，属于中档题.

2．【答案】

【解析】根据题意，设的坐标为，由圆的切线的性质分析可得则．在以为直径的圆上，进而可得该圆的方程，进而分析可得直线为两圆的公共弦所在直线的方程，由圆与圆的位置关系分析可得直线的方程，据此分析可得答案．

【详解】

根据题意，动点在直线上，设的坐标为，

圆，圆心为，

过点引圆的切线，切点分别为，，则，，

则．在以为直径的圆上，该圆的方程为，

变形可得：，

又由．在圆上，即直线为两圆的公共弦所在直线的方程，

则有，

则直线的方程为，

则有，解可得：；

故直线恒过定点，；

故答案为：，．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系．公共弦方程求法．直线过定点问题，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两圆相减可得公共弦直线方程的应用.

3．【答案】

【解析】由与直线的距离为的两条平行线一条与圆相交，一条与圆相离可得．

详解：圆标准方程为，圆心为，半径为，

圆心到已知直线的距离为，

由题意，解得或．

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是常用方法．

4．【答案】

【解析】作出函数的图象，数形结合即可求出的取值范围．

【详解】

如图所示，作出函数的图象，

当直线位于图示的两条直线之间时，直线和曲线有两个公共点．

当直线与圆相切时，，解得或(舍去)．

根据直线在轴上的截距，可知．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题．

5．【答案】

【解析】设出圆心的坐标，判断出在直线上，将的坐标代入直线方程，求得的值为.根据圆心和切点的连线与直线垂直列方程，由此求得的值，利用两点间的距离公式求得圆的半径，进而求得圆的标准方程.

【详解】

设圆的圆心坐标为.直线与圆相切于点，显然点在该直线上，即，解得.又圆心和切点的连线与直线垂直，所以，解得.根据两点间的距离公式，可得圆的半径.故圆的标准方程为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆的标准方程的求法，考查圆的几何性质，属于基础题.

6．【答案】

【解析】利用两点间的距离公式求得点的轨迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得的值及离心率的值.

【详解】

依题意，设，依题意的,，两边平方化简得，故圆心为，半径.所以的最大面积为，解得，的最小面积为，解得.故椭圆离心率为.

【点睛】

本小题主要考查阿波罗斯圆轨迹方程的求法，考查三角形的面积公式，考查椭圆的离心率以及圆的标准方程，考查了化归与转化的数学思想方法.要求一个动点的轨迹方程，可以先设出动点的坐标，然后代入题目所给的方程，如本题中比值为这个方程，化简后可求得动点的轨迹方程.

7．【答案】

【解析】设是的中点，则，因此有，由平面几何知识可得．

【详解】

设的中点为，则，因此有，则四边形是梯形，所以

所以.

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线与圆相交问题，对于圆的弦，弦心距是重要的一个知识点，

8．【答案】4     

【解析】利用圆关于直线对称的性质列出方程即可得解.

【详解】

易知圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，由题意得解得.

故答案为：，.

【点睛】

本题考查了圆的对称问题，考查了计算能力，属于基础题.

9．【答案】3     

【解析】将圆方程整理成标准形式得到圆心与半径,由圆关于直线对称,得到直线过圆心,从而解出,求出半径,再根据,利用勾股定理求解即可.

【详解】

圆的标准方程为:,

因为圆关于直线对称,

所以圆心在直线上,

所以,圆半径,

设圆心为,则,所以,

所以,

故答案为:3;.

【点睛】

本题考查圆的标准方程,利用其求半径,切线长等,属于基础题.此类题一般会利用圆的一些基本性质,例如:过圆心的直线平分圆,切点与圆心的连线与该切点处的切线垂直等,要求学生对圆的知识掌握熟练.

10．【答案】

【解析】根据判断出四边形为平行四边形，由此求得圆的方程以及的长，进而判断出点在圆上，根据圆与圆的位置关系，求得的取值范围.

详解：四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，

所以圆的方程为，

且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，

故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，

故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，

由，解得，

故a的取值范围为(，4).

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

11．【答案】9

【解析】取点，则，将的最小值转化为距离，即可得到所求.

【详解】

为圆：上一动点，为圆：上一动点，

为坐标原点，

取，则，

故答案为：9

【点睛】

本题考查距离最短问题，将距离转化，利用两点间线段最短，求解最短距离.

12．【答案】2或12

【解析】先将圆的方程化为标准方程：，得到圆心和半径，因为直线与圆相切，再利用圆心到直线的距离等于半径求解.

【详解】

圆的方程

化为标准方程：

所以圆心为，半径为1

因为直线与圆相切

所以

解得或

故答案为：2或12

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

13．【答案】.

【解析】根据题意，设圆的方程为

，代入三个点的坐标，求出，，，即可得圆的方程，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案.

【详解】

根据题意，设圆的方程为

，

圆过三个点，，，，，，则有，

解可得：，，，即圆的方程为，

变形可得：，

其圆心为，，半径为；

圆心到直线的距离

，则，

故答案为：.

【点睛】

本题考查待定系数法确定圆的一般方程，考查了几何法求解直线与圆相交弦长问题，属于基础题.

14．【答案】

【解析】先求出的长度和线段的中点，从而得到以线段为直径的圆的方程，再由圆心到直线的距离小于等于半径，得到的不等式，解出的范围.

【详解】

因为两点，，

所以，中点坐标，

故以为直径的圆的方程为，

要使直线与圆有公共点，

则，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查求以两点为直径的圆的方程，根据圆与直线的关系求参数的范围，属于简单题.

15．【答案】5

【解析】把问题转化成直线与圆相切即可得解.

【详解】

易知圆的圆心为，半径为.

令则直线方程为，

当直线与圆相切时满足解得或，

所以即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用直线与圆的位置关系求最值，考查了转化化归思想，属于基础题.

16．【答案】

【解析】根据圆的性质知，圆心与点P的距离不小于圆心到P点所在直线的距离，列出不等式求解即可.

详解：因为过点）存在直线l被圆C截得的弦长为，

所以圆心C与点P的连线段的长要大于等于

即，解得或．

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了圆的弦长，弦心距，半径之间的关系，圆的平面几何性质，属于中档题.

17．【答案】

【解析】求出圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式解方程，即可得解.

【详解】

直线，即，

圆的标准方程为，

圆心，半径，

相交于A，B两点，，

圆心到直线的距离，

根据圆的弦长公式可得：，

即，，

解得.

故答案为：

【点睛】

此题考查根据直线与圆形成的弦长，求解参数的值，关键在于熟练掌握弦长公式，结合圆心到直线的距离，准确求解.

18．【答案】

【解析】根据函数图象，结合直线的定点，数形结合讨论两个交点时斜率的取值范围即可得解.

【详解】

由题：直线过定点，直线的斜率为，

作出函数的图象，

当直线过时，此时两个交点，，

当直线过时，此时两个交点，，

结合图象可得，要使直线与函数图象有两个交点，

则.

故答案为：

【点睛】

此题考查根据直线与函数图象交点的个数求解参数范围问题，关键在于准确作出图象，数形结合求解.