北师大版高中数学选择性必修第一册2-1-1椭圆及其标准方程学案

第二章　圆锥曲线

 §1　椭　　圆

 1.1　椭圆及其标准方程

[笔记教材]

知识点一　椭圆的定义

答案：距离之和等于常数　定点　距离　一半　|MF1|＋|MF2|＝2a

知识点二　椭圆的标准方程

续表

答案：F1(－c,0)，F2(c,0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　c2＝a2－b2

 [重点理解]

1．关于椭圆定义的说明

2.方程＋＝1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是

 [自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(√)

(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．()

2．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　)

A．椭圆  B．直线  C．圆  D．线段

答案：A

3．(2022四川外国语学校月考)已知椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

答案：D

4．(2022陕西安康模拟)已知椭圆C：＋＝1，点A(1,1)，则点A与椭圆C的位置关系是(　　)

A．点A在椭圆C上

B．点A在椭圆C内

C．点A在椭圆C外

D．无法判断

答案：B

5．椭圆＋＝1的焦点在________轴上，焦距是________，椭圆＋＝1的焦点在________轴上，焦点坐标是____________．

答案：x　8　y　(0，)和(0，－)

研习1  与椭圆有关的轨迹问题

[典例1]　已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.

[解]　如图所示，连接AP，

∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|，

∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4＞|AB|＝2，

∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．

∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，

∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.

∴点P的轨迹方程为＋＝1.

[巧归纳]　求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程．

[练习1](2022湖南湘南三校联盟联考)平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|＋|PB|＝8，则|PA|的取值范围是(　　)

A．[1,4]  B．[2,6]

C．[3,5]  D．[3,6]

答案：C

解析：根据题意，|AB|＝2，|PA|＋|PB|＝8>2，

所以动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8,2c＝|AB|＝2.

所以a＝4，c＝1，

因为||PA|－|PB||≤2，

所以3≤|PA|≤5，

所以|PA|的取值范围是 [3,5]，故选C.

研习2  椭圆的焦点三角形

[典例2]　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．

[解]　由已知得a＝2，b＝，

∴c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，

在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，

即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①

由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②

将②代入①解得|PF1|＝，

∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝.

∴所求△PF1F2的面积是.

[巧归纳]　椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求面积，这时可把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．

[练习2](2022海南海口检测)(多选题)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是(　　)

A．AF＋BF为定值

B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]

C．当m＝时，△ABF为直角三角形

D．当m＝1时，△ABF 的面积为

答案：AD

解析：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，

∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；

△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，

因为|AF|＋|BF|为定值6，

∴|AB|的范围是(0,6)，∴△ABF的周长的范围是(6,12)，B错误；

将y＝与椭圆方程联立，可解得A(－，)，B(，)，

又∵F(，0)，∴BA·BF＝(－2，0)·(－，－)＝6－6<0，

∴△ABF不是直角三角形，C不正确；

将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，

∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．

故选AD.

研习3  求椭圆的标准方程

[典例3]　写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．

[解]　(1)焦点在y轴上，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)⇒⇒

⇒

∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

(3)方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

依题意有解得

故所求椭圆的方程为＋＝1.

②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

依题意有得，舍去，

故所求椭圆的方程为＋＝1.

方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．

依题意有解得

故所求椭圆的方程为＋＝1.

[巧归纳]　求椭圆标准方程的一般步骤为：

[练习3](2022山西长治检测)经过两点A(0,2)，B的椭圆的标准方程为________．

答案：x2＋＝1

解析：由于未知椭圆焦点在哪个轴上，所以可设椭圆方程为＋＝1，

将A(0,2)，B 代入方程可得

解得m＝1，n＝2，

所以椭圆方程为x2＋＝1.

故答案为x2＋＝1.

1．下列说法正确的是(　　)

A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆

B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆

C．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆

D．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆

答案：C

解析：椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

A中，|F1F2|＝8，故到F1，F2两点距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.

B中，到F1，F2的两点距离之和为6，小于|F1F2|的距离，故这样的轨迹不存在．

C中，点(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，故轨迹是椭圆．

D中，轨迹是线段F1F2的垂直平分线．

故选C.

2．已知椭圆＋＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点的距离为(　　)

A．4  B．6  C．30  D.

答案：B

解析：由定义|PF1|＋|PF2|＝8，知|PF2|＝6.

3．(2022湖南邵东一中检测)已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝10，弦MN过点F2，则ΔF1MN的周长为(　　)

A．10   B．20 

C．10   D．20

答案：D

解析：∵|F1F2|＝2c＝10，

∴c＝5，∴a＝＝＝5.

由椭圆定义知：|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a＝10，

∴△F1MN的周长为|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝20.

故选D.

4．(2022湖南雅礼中学月考)“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：若方程＋＝1表示椭圆，则解得2<m<6且m≠4，

所以2<m<6是方程＋＝1表示椭圆的必要不充分条件．

故选B.

5．(2022吉林长春希望高中检测)求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程为________．

答案：＋＝1

解析：椭圆9x2＋5y2＝45化成标准方程，得＋＝1，

∴椭圆的焦点在y轴，且c2＝9－5＝4，得c＝2，焦点为(0,2)，(0，－2)．

∵所求椭圆经过点M(2，)且与已知椭圆有共同的焦点，

∴设椭圆方程＋＝1，

将M(2，)代入＋＝1，

解得a2＝12，

∴所求的椭圆方程为＋＝1.

[误区警示]

忽视焦点的具体位置致错

[示例]　求经过点A，B的椭圆的标准方程．

[错解]　当椭圆的焦点在x轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

依题意得

解得

∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1.

同理，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1.

综上所述，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

[正解]　正解一：①当椭圆的焦点在x轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

依题意得

解得

∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1.

②当椭圆的焦点在y轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

依题意得

解得

又∵a>b>0，∴不合题意，应舍去．

正解二：设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，

依题意得

解得

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

[题后总结]　本题错题过程看似正确无误，但是细心的同学会发现点B并不在椭圆＋＝1上．事实上，上述错误的原因有两处：(1)误认为不管题目的条件如何，只要把焦点在x轴上的椭圆的标准方程中的x，y互换，就可得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程；(2)忽视了a>b>0这一条件．