北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程授课ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
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知识点1　椭圆的定义1.定义平面内到两个定点F1,F2的距离之　　等于　　　　(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆. 这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距.2.定义的集合语言表述集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.
名师点睛在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.
过关自诊(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是(　　)A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
解析 当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.
知识点2　椭圆的标准方程
标准方程一定是分式且分母大的在前
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
名师点睛1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.
2.两种椭圆 (a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
3.给出椭圆方程 (m>0,n>0,m≠n),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.
过关自诊1.[人教B版教材习题]设椭圆 +y2=1的两个焦点分别为F1,F2,且P为椭圆上一点,求|PF1|+|PF2|的值.
2.[人教B版教材习题]分别根据下列条件,求椭圆的标准方程.(1)a= ,b=1,焦点在x轴上;(2)b=3,经过点(0,-4),焦点在y轴上.
探究点一　　求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
规律方法　求椭圆标准方程的方法(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定系数即可.即“先定位,后定量”.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.(3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.
变式训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 );
探究点二　　椭圆定义的应用
【例2】 如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解 设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,其轨迹方程为
规律方法　利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
变式训练2如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与点C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
解 如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>2c=2.又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,
探究点三　　椭圆中的焦点三角形问题
【例3】 已知P为椭圆 上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
变式探究若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.
规律方法　1.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.2.焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2.
(3)设P(xP,yP),焦点三角形的面积
变式训练3设点P为椭圆C: 上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为(　　)A.24B.12C.8D.6
1.知识清单:(1)椭圆的定义及其应用.(2)椭圆的标准方程.2.方法归纳:待定系数法,定义法.3.常见误区:(1)忽视椭圆定义中a,b,c的关系.(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
1.[2023山东菏泽高二统考期末]已知F1,F2是椭圆C: 的两个焦点,点M在椭圆C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)A.36B.25C.20D.16
2.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是(　　)
3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(　　)A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)
4.[2023新疆乌鲁木齐第十九中学高二期末]已知方程x2+m+ =1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.