数学选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程教课内容ppt课件

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一、椭圆的定义1.平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 常数 (大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作 椭圆 .这两个定点F1,F2叫作椭圆的 焦点 ,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距 .
2.下列命题是真命题的有　　　　(将所有真命题的序号都填上). ①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|= 的点P的轨迹为椭圆;②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆;④若点P到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和等于点M(5,3)到定点F1(-4,0), F2(4,0)的距离的和,则点P的轨迹为椭圆.解析:①因为 <2,所以点P的轨迹不存在;②因为|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴);④因为点M(5,3)到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和为 >8,所以点P的轨迹为椭圆.故填②④.答案:②④
2.已知两个焦点坐标分别为(2,0)和(-2,0),且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为(　　).答案:C
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-3,0),(3,0),并且椭圆上一点P与两个焦点的距离的和等于10;(2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),且经过点(4,3 );
求椭圆标准方程的步骤(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两条坐标轴上都有可能.(2)设方程:②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).(3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组.(4)得方程:解方程组,代入所设方程即为所求.其主要步骤可归纳为“先定型,再定量”.
【例2】 已知一动圆M与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程.解:由已知,得两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),R1=1,Q2(3,0),R2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R.由题设有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.由椭圆的定义,知点M在以Q1,Q2为左、右焦点的椭圆上,且a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心M的轨迹方程为
1.先根据动点满足的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是不是一个常数,且该常数(定值)是不是大于两定点间的距离.2.若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.
1.若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠F1PF2=90°”,求△F1PF2的面积.
2.若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.
1.椭圆的定义具有双向作用,即若|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),则点P的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.2.椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.
因考虑不全面而致误【典例】 已知椭圆经过点P(3,0),a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长,a=3b,求椭圆的标准方程.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述解法的错误在于忘记本题没有说明焦点在哪条坐标轴上,解题时易主观地认为焦点在x轴上,应考虑焦点在x轴、y轴上两种情形,这是初学者易犯的错误.