数学1.1 椭圆及其标准方程授课课件ppt

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1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.
通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、椭圆的定义1.思考　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
2.思考　在上述过程中，如果细绳的长度等于线段|F1F2|的长，再移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？细绳的长度能小于|F1F2|的长度吗？提示　线段F1F2；细绳的长度不能小于线段F1F2的长度.
3.填空　平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于________________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这____________________叫作椭圆的焦点，______________________________叫作椭圆的焦距.温馨提醒　(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
常数(大于|F1F2|)
两个焦点间的距离|F1F2|
4.做一做　(1)判断正误①已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆.( )②已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆.( )提示　因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2.③已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆.( )提示　因为|PF1|＋|PF2|＜|F1F2|，所以点P的轨迹不存在.
(2)平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析　当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆.
二、椭圆的标准方程1.思考　根据椭圆的定义，你能否判断椭圆关于直线F1F2对称，椭圆关于线段F1F2的垂直平分线对称和关于线段F1F2的中点对称，如何判断？提示　如图.
如图(1)，P为椭圆上任一点，则|PF1|＋|PF2|＝2a(a>0的常数)，则P关于直线F1F2的对称点为P1，则|P1F1|＋|P1F2|＝2a，则P1在椭圆上，所以直线F1F2为椭圆的对称轴.如图(2)，同样说明椭圆关于MN对称，如图(3)说明椭圆关于线段F1F2的中点对称.
2.思考　根据椭圆的对称性，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆的方程形式简单？提示　可以以线段F1F2所在的直线和线段F1F2的垂直平分线为坐标轴，建立平面直角坐标系.
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
温馨提醒　(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
4.做一做　(1)已知两定点F1(0，2)，F2(0，－2)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8， 则点P的轨迹方程是_______________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
解　如图，连接QA.由已知，得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|.根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.
训练1 两个定圆⊙C1与⊙C2内切，且半径分别为r1＝1，r2＝3，动圆M与⊙C1外切且与⊙C2内切，那么动圆圆心M的轨迹是什么？并说明理由.解　动圆圆心M的轨迹是椭圆.理由如下：∵⊙C1和⊙C2内切，∴|C1C2|＝r2－r1＝2，又∵动圆⊙M与⊙C1外切且与⊙C2内切，∴|MC1|＝R＋1，|MC2|＝3－R(R为动圆⊙M的半径)，∴|MC1|＋|MC2|＝4>2＝|C1C2|，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点，焦距长为2的椭圆(去掉⊙C1与⊙C2的切点).
例2 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
因为2a＝10，所以a＝5.又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).
解　因为椭圆的焦点在y轴上，
(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：①先确定焦点位置；②设出方程；③寻找a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程.(2)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).因为它包括焦点在x轴上(mn)两种情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算.
(2)当焦点在y轴上时，
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
法二　设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
从而|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
迁移 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6.在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
椭圆定义的应用技巧(1)涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，利用椭圆的定义进行转化.(2)椭圆上一点P(与焦点同轴的两顶点除外)与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解相关问题.
依题意得16－m＝7或m－16＝7，解得m＝9或m＝23.
故由椭圆定义有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝20.
1.牢记两个知识点：(1)椭圆的定义；(2)椭圆的标准方程.2.掌握两个思想方法：(1)待定系数法；(2)转化的思想方法.3.辨清两个易错点：(1)混淆椭圆定义中a2＝b2＋c2；(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
解析　由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).
2.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)A.当a＝2时，点P的轨迹不存在B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆解析　当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在 ，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
3.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
所以|PF1|＋|PF2|＝8，
又因为0°≤∠F1PF2<180°，所以∠F1PF2＝60°.
解析　由椭圆的标准方程知，a2＝169，b2＝25，∴c2＝a2－b2＝169－25＝144，又由椭圆的标准方程知椭圆的焦点在y轴上，∴焦点坐标为(0，－12)和(0，12).
(0，－12)，(0，12)
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，
解析　由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2，
9.已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，0)，a＝3b，求椭圆的标准方程.
所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10，0)，F2(10，0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|
(2)sin∠PF1F2的值.
|F1F2|＝2c＝20，
12.在直角坐标系xOy中，经过点A(2，0)，且关于y轴对称的曲线的方程是______________________.(填上正确的一个方程即可，不必考虑所有的情形)
解　如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.在Rt△ABC中，
解　设椭圆C的焦距为2c，
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|×|PF2|cs 120°
解　设点P的坐标为(m，n)(m>0)，