北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程课时训练

【精挑】1.1 椭圆及其标准方程-1课堂练习

一．填空题

1．椭圆的焦距长为__________．

2．如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．

3．椭圆的两个焦点为F1．F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________.

4．已知椭圆C：的右焦点为F，点P在椭圆C上，O是坐标原点，若，则 的面积是______________．

5．青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，如图是一个陶艺青花瓷罐，其底座以上部分的轴截面曲线可以看成是椭圆的一部分，若该青花瓷罐的最大截面圆的直径为，罐口圆的直径为，且罐口圆的圆心与最大截面圆的圆心距离为，则该椭圆的离心率为______．

6．已知椭圆的左．右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则的标准方程为____________.

7．椭圆的左焦点的坐标为___________．

8．若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的半径为，则椭圆的离心率为______.

9．已知椭圆的左．右焦点分别是，是椭圆上顶点，过点作，垂足为，若，则椭圆的离心率为______.

10．已知，是椭圆的左？右焦点，点P在C上，则的周长为___________.

11．已知椭圆的离心率，则的值等于______．

12．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.

13．在椭圆中，为长轴的一个顶点，为短轴的一个顶点，分别为左，右焦点，且满足，则离心率__________．

14．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______．

15．已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为______.

16．已知椭圆（）的左焦点为，右顶点为，上顶点为，现过点作直线的垂线，垂足为，若直线（为坐标原点）的斜率为，则该椭圆的离心率为______．

17．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______.

18．设，为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是______.(从以下选择.椭圆.直线.圆.线段)

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】因为椭圆中，，所以，

所以焦距为.

故答案为2

2．【答案】

【解析】分析：根据平行投影计算出椭圆C的短半轴长b，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C的长轴长2a而得解.

详解：连接，则，因为，如图：

所以，所以

在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R，即，

过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：

椭圆的长轴长是，过A向做垂线，垂足是B，则，

由题意得：，又，

则，，即，

所以椭圆的离心率为.

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：由点为椭圆的短轴的一个端点，所以，根据是等腰三角形，得到短轴的平分，进而利用，即可求解.

详解：由题意，因为为椭圆的短轴的一个端点，所以，

所以是等腰三角形，所以短轴的平分，

顶角的一半是，所以，

所以椭圆的离心率为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟练应用椭圆的对称性，以及离心率的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

4．【答案】

【解析】分析：根据方程求得右焦点的坐标，根据题意列出方程组，求得的纵坐标的绝对值，计算三角形面积即可.

详解：解：由椭圆的方程可得：,

,如图所示，设,

因为在椭圆上，并且,点 P的坐标满足，

消去得 ，所以,

所以 的面积,

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆的方程与性质，属基础题，关键是联立方程组求得点的纵坐标的绝对值，得到的边上高.

5．【答案】

【解析】分析：设椭圆的方程为，由题意可得椭圆过点，，然后求出即可.

详解：设椭圆的方程为（），

由题意可知椭圆过点，，易知，

把点的坐标代入椭圆方程为，解得，

所以，

所以离心率为

故答案为：．

6．【答案】

【解析】分析：连接，根据，，得到四边形是矩形，设，由求解.

详解：如图所示：

连接，

因为，

所以四边形是平行四边形，

所以，

又因为，

所以平行四边形是矩形，

设，

由题意得，

解得，

则，

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：由椭圆方程，求得，进而求得的值，即可求解.

详解：由题意，椭圆，可得，

又由，可得，所以左焦点的坐标为．

故答案为：

8．【答案】

【解析】当两切线分别为和时，满足条件，

则，解得，，.

9．【答案】

【解析】在中，若，则.

故.

又显然，所以是等边三角形，

故，即.故，

即椭圆的离心率为.故答案为：.

10．【答案】10

【解析】分析：根据椭圆的定义计算．

详解：由椭圆方程知，，在椭圆上，

所以．

故答案为：10.

11．【答案】或

【解析】分析：分焦点的位置进行分类求解即可得出答案.

详解：当焦点在轴上时，，，解得，

当焦点在轴上，

解得或，

故答案为: 或.

【点睛】

本题考查根据椭圆的离心率求参数的值，注意焦点的位置的讨论,属于基础题.

12．【答案】     

【解析】分析：不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．

详解：

如图所示：不妨假设，设切点为，

，

所以, 由，所以，，

于是，即，所以．

故答案为：；．

13．【答案】

【解析】分析：利用向量的坐标运算化简已知条件，求得的值，也即求得椭圆的离心率.

详解：不妨设，

，

，

，

.

故答案为：

14．【答案】（答案不唯一）

【解析】分析：不妨设椭圆的焦点在轴上，标准方程为，进而根据题意得，再令即可得到一个满足条件的椭圆方程.

详解：不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为

因为长轴长等于离心率8倍，故，即

不妨令，则，

所以满足条件的一个椭圆方程为.

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】

本题解题的关键在于再求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解.

15．【答案】4.

【解析】分析：过点作垂直直线，垂足为，由椭圆的性质可得（椭圆的第二定义），数形结合即可得解.

详解：由题意，椭圆的右焦点，

设点，则，

则，

过点作垂直直线，垂足为，如图，

则，

所以当三点共线（在线段上）时，

.

故答案为：4.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用椭圆的第二定义转化，运算即可得解.

16．【答案】

【解析】分析：由已知先求出直线与直线的方程，联立得到T的坐标，再利用，，建立a，b，c的方程即可得到答案.

详解：由题意，得，，，直线的方程为：

又，所以直线的方程为：

由，得，所以，

又，所以，即

化简，得，

所以，

故答案为：

【点睛】

关键点睛，本题解题关键是先联立直线与直线的方程得到T的坐标，再利用得到从而使问题获解.

17．【答案】

【解析】分析：由方程表示椭圆，得到不等式组，即可求解，得到答案．

详解：由题意，方程表示椭圆，

则满足，解得且，

即实数的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程及其应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于较易题．

18．【答案】椭圆

【解析】分析：直接由椭圆的定义可得解.

详解：动点M满足，

所以点M的轨迹是以，为焦点的椭圆.

故答案为：椭圆.