北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式练习

【优编】2.1 等差数列-2作业练习

一．填空题

1．设为等差数列的前项和．若，，则________．

2．已知等差数列的前n项和为，，，则__________．

3．已知等差数列的前项和为，且，则_________.

4．在等差数列中，为其前项和，若，，则______．

5．在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充．如数列，，扩充一次后得到，，，扩充两次后得到，，，，，以此类推．设数列，，（为常数），扩充次后所得所有项的和记为，则______________．

6．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则_______．

7．在等差数列中，，则_______.

8．数列是等差数列，若，，则使前项和成立的最大自然数是________．

9．已知等差数列的前项和为，，，则______.

10．设等差数列的前项和为，若，则___________.

11．在数列中，，(n∈N+)，则_________

12．已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是_____.

13．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为2，则___________.

14．已知数列的前项的和为，并且满足，则的值为______.

15．数列的前项的和，则此数列的通项公式= _______

16．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则___________.

17．若数列为等差数列，为其前n项和，且，则_________．

18．在中，若A，B，C成等差数列，且，则_______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据等差数列的求和公式建立方程可求得公差，由此可得数列的通项．

详解：设数列的公差为，由可知，

，解之得．所以．

故答案为：．

2．【答案】

【解析】分析：利用通项公式和前n项和公式可得答案.

详解：设等差数列的公差为，由已知得

①，

②，

由①②得，，所以.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：根据等差数列的求和公式求解即可.

详解：.

故答案为：2.

【点睛】

等差数列中，利用等差中项的性质化简式子，可以达到简化计算的目的，经常会用到，需记忆.

4．【答案】

【解析】分析：利用等差数列的通项公式与求和公式即可求解.

详解：解：设等差数列的公差为，

∵，，

∴，，解得，，

∴，

故答案为：．

5．【答案】

【解析】分析：根据等差中项的定义，结合题中操作的性质．等差数列的性质进行求解即可.

详解：扩充次后所得数列为，

因此从到是等差数列，项数为，且中间项为；

从到也是等差数列，项数为，且中间项为；

根据等差数列的性质可得.

故答案为：

【点睛】

关键点睛：掌握如果等差数列的项数为，它的前项和是项数与中间项的乘积这一性质是解题的关键.

6．【答案】

【解析】分析：根据等差中项以及等差数列的求和公式可求得结果.

详解：.

故答案为：.

7．【答案】21

【解析】由题意，根据等差数列通项公式的性质，可得，

所以，故正确答案为21.

8．【答案】

【解析】分析：分析得出，，判断出．．的符号，由此可得出结论.

详解：由于数列是等差数列，且，.

若，则数列为单调递减数列，从而，矛盾！

若，则，数列为单调递减数列，合乎题意.

，，

，

因此，使得成立的最大自然数为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列前项和的应用，解题的关键在于分析出正负项的分隔项，结合等差数列的基本性质求解.

9．【答案】7

【解析】分析：根据等差数列前项和公式,通项公式列方程，解方程得，，进而求得答案.

详解：设等差数列的公差为，因为，，

所以，解得：，，

所以.

故答案为：

10．【答案】

【解析】分析：由等差数列下标和性质求得，根据等差数列求和公式可求得结果.

详解：由等差数列性质知：，解得：，.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】先整理递推关系得是等差数列，求其通项公式，再计算结果即可.

详解：数列中，，，则，

故是首项为，公差为的等差数列.，

故，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用递推关系求通项公式，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：根据已知，利用作差法求易判断为等差数列，写出通项公式即可.

详解：∵，

∴，

又，则，

∴数列是首项为，公差为1的等差数列，

∴.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：应用作差的方法求，判断数列的性质，进而求通项.

13．【答案】121

【解析】分析：根据等比数列和等差数列的性质列出方程方程组，解出数列的首项和公比，结合公式法求和即可.

详解：设等比数列的首项为，公比为，

由题意得，解得，

所以，

故答案为：121

14．【答案】

【解析】分析：由，，，能求出．

详解：数列的前项的和为，且满足，

，

，

．

故答案为：．

15．【答案】

【解析】分析：当时可求得；当时，由可求得，验证知不满足，从而得到分段数列的通项公式.

详解：当时，；

当时，，；

经检验：不满足，.

故答案为：

16．【答案】

【解析】分析：根据数列，是等差数列，且，设，再利用数列通项与前n项和关系求解.

详解：因为数列，是等差数列，且，

所以设，

所以，

故答案为：

17．【答案】

【解析】分析：由已知结合等差数列的性质及求和公式即可直接求解．

详解：解：因为数列为等差数列，，

则．

故答案为：．

18．【答案】

【解析】分析：根据等差中项和三角形内角和定理求出，再根据正弦定理可求得结果.

详解：因为A，B，C成等差数列，所以，

又因为，所以，所以，

由正弦定理可得，即，

又，所以，所以.

故答案为：.