综合素养评价（二） 指数函数的图象与性质 试卷

综合素养评价（二） 指数函数的图象与性质

1．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)　　　　　　　 B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)   D．(0,1)

解析：选D　∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，又f(x)＝a－x＝x，∴－2＞－3，∴＞1，∴0＜a＜1.

2．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]   B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)   D．(－∞，－2]

解析：选B　∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝，∴a＝，a＝－(舍去)．∴f(x)＝|2x－4|.∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞)．

3．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则(　　)

A．f(－1)＞f(－2)   B．f(1)＞f(2)

C．f(2)＜f(3)   D．f(－3)＞f(－2)

解析：选CD　由f(2)＝4得a－2＝4，又∵a＞0，∴a＝，f(x)＝2|x|，∴函数f(x)为偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选C、D.

4．已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有(　　)

A．1个　　　   B．2个　　　  C．3个　　  　D．4个

解析：选B　在同一平面直角坐标系中作出y＝2 019x与y＝2 020x的图象如图所示．

设2 020b＝2019a＝t，

当t>1时，0<b<a，①正确；

当t＝1时，a＝b＝0，⑤正确；

当0<t<1时，a<b<0，②正确，③④不成立．故选B.

5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)

A．6　　　　  B．1　　　　  C．3　　　　  D.

解析：选C　函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.

6．(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]和f(x)的叙述中正确的是(　　)

A．g(x)是偶函数

B．f(x)是奇函数

C．f(x)在R上是增函数

D．g(x)的值域是{－1,0,1}

解析：选BC　根据题意知f(x)＝－＝－，定义域为R.∵g(1)＝[f(1)]＝＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知f(x)＝－在R上是增函数，C正确；∵ex>0，∴1＋ex>1，∴－<f(x)<，∴g(x)＝[f(x)]的值域是{－1,0}，D错误．故选B、C.

7．若函数f(x)＝在区间(－∞，1]内有意义，则实数a的取值范围是________．

解析：依题意得1＋a·3x≥0在区间(－∞，1]上恒成立，即a≥－在区间(－∞，1]上恒成立，由－在区间(－∞，1]上的最大值为－，得a≥－.

答案：

8．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．

解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系式为y＝2x.当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．

答案：19

9．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．

解析：设t＝2x，∵x∈(－∞，1]，∴0<t≤2.则原函数有意义等价于1＋t＋at2≥0在t∈(0,2]上恒成立，∴a≥－，设f(t)＝－，则f(t)＝－＝－2＋.∵0<t≤2，∴∈，

∴f(t)≤f＝－，∴a≥－.即实数a的取值范围为.

答案：

10．判断下列函数的单调性：

(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；

(2)y＝2|x－1|.

解：(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，

∴a>1时，y＝a－x2＋3x＋2在上是增函数，在上是减函数．

(2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2x－1，∵t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，∴y＝2x－1为增函数；当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，∴y＝21－x为减函数．故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

11．设函数f(x)＝10－ax，a是不为零的常数．

(1)若f(3)＝，求使f(x)≥4的x的取值范围；

(2)当x∈[－1,2]时，f(x)的最大值是16，求a的值．

解：(1)由f(3)＝得a＝3，不等式f(x)≥4可化为23x－10≥22，∴x≥4，故x的取值范围是[4，＋∞)．

(2)当a＞0时，f(x)＝2ax－10是增函数，则22a－10＝16，所以a＝7；当a＜0时，f(x)＝2ax－10是减函数，则2－a－10＝16，所以a＝－14.综上，a＝－14或a＝7.

12．已知f(x)＝x.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)求证：f(x)>0.

解：(1)由题意可得2x－1≠0，即x≠0，

所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．

(2)f(x)为偶函数．理由如下：

f(x)＝x＝·，f(－x)＝－·＝·＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

(3)证明：由(2)知，f(x)＝·，当x>0时，2x－1>0，>0,2x＋1>0，则f(x)>0；当x<0时，2x－1<0，<0,2x＋1>0，则f(x)>0.综上，f(x)>0.