数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课时练习

课时跟踪检测 （二十四） 平面

层级(一)　“四基”落实练

1．下列空间图形画法错误的是          (　　)

解析：选D　遮挡部分应画成虚线，D错．故选D.

2．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是      (　　)

①A∈a，a⊄α⇒A∉α；　②A∈a，a∈α⇒A∈α；

③A∉a，a⊂α⇒A∉α；　④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.

A．0　　　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：

选A　①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③

不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．故选A.

3．下列有关平面的说法正确的是        (　　)

A．平行四边形是一个平面

B．任何一个平面图形都是一个平面

C．平静的太平洋面就是一个平面

D．圆和平行四边形都可以表示平面

解析：选D　我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，D项正确．故选D.

4．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中      (　　)

A．必有三点共线   B．必有三点不共线

C．至少有三点共线   D．不可能有三点共线

解析：选B　如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确．故选B.

5．(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是    (　　)

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合

解析：选ABD　对于A，由基本事实2可知，a⊂β，A正确；对于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事实2可知，直线MN⊂α.同理MN⊂β，∴α∩β＝MN，B正确；对于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.故α∩β＝A的写法错误；对于D，∵A，B，M不共线，由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合．故选A、B、D.

6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.

解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.

答案：∈

7．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是_______．

解析：在①②③中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故④不正确．

答案：④

8．看图填空：

(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；

(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.

答案：(1)A1B1　(2)AC

9.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P.

求证：点P在直线DE上．

证明：因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.

又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.

层级(二)　能力提升练

1.如图，平面α∩平面β＝l，P∈β且P∉l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M， N，P三点确定的平面记为γ，则β∩γ是                                                                          (　　)

A．直线MP   B．直线NP

C．直线PR   D．直线MR

解析：选C　因为MN⊂γ，R∈MN，所以R∈γ.又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β.又P∈β，P∈γ，所以P，R均为平面γ与β的公共点，所以β∩γ＝PR.故选C.

2．平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

解析：①当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；②当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点．

答案：1或4

3．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．

解析：

如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，

则α∩β＝CD.

∵l∩α＝O，∴O∈α.

又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，

∴O，C，D三点共线．

答案：O，C，D三点共线

4.已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图所示．求证：直线AD，BD，CD共       面．

证明：因为D∉l，所以l与D可以确定平面α.

因为A∈l，所以A∈α.

又D∈α，所以AD⊂α.同理BD⊂α，CD⊂α.

所以AD，BD，CD在同一平面α内，

即直线AD，BD，CD共面．

5.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧， AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．

证明：因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，所以AB∩CD＝P.

所以AB，CD可确定一个平面，设为β.

因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，

所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.

所以AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．

因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，

所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．

所以P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．

层级(三)　素养培优练

如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点．

(1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；

(2)画出平面PA1C与平面ABCD的交线．

解：(1)平面PAC与平面ABCD的交线为直线AC，如图①.

(2)延长A1P，AB交于点E，连接CE，则直线CE为平面PA1C与平面    ABCD的交线，如图②.