人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用优秀ppt课件

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1．函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)上的函数y＝f(x)：
2.利用导数判断函数的单调性一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性：
3．函数值变化快慢与导数的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
1．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？提示：f(x)是常数函数．2．在某个区间内f′(x)>0是函数f(x)在此区间内单调递增的什么条件？提示：充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，而f′(x)＝3x2≥0.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　)(2)函数f(x)在某区间上单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　)(4)函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).(　　)
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A．y＝sin x　　　　　　B．y＝xexC．y＝x3－x D．y＝ln x－x
探究点1　导数与函数图象的关系[问题探究]如何从导数的几何意义理解函数的单调性与导数正负的关系？探究感悟：如果f′(x)>0，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数单调递增．如果f′(x)<0，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数单调递减．
已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)
(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x) 的值越大．　
解析：由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(1)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．(2)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准．　
2．设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞).
探究点3　已知函数的单调性求参数[问题探究]“函数y＝f(x)的单调递减区间为(a，b)”与“函数y＝f(x) 在(a，b)上单调递减”是否相同？探究感悟：不相同．前者(a，b)为不等式f′(x)≤0的解集；后者(a，b)为不等式f′(x)≤0的解集的子集．
已知函数单调性求参数的两种方法(1)分离参数法f(x)在(a，b)上单调递增(减)等价于f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，将参数分离后可转化为求其函数的值域问题，注意验证等号是否成立．(2)子集法若能较容易地求出函数的单调区间，则可利用子区间来解决．若f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．　
1．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　)A．(－∞，2) B．(0，3)C．(3，4) D．(2，＋∞)
解析：因为f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0得(x－2)ex>0，所以x>2.所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合．