高中人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行测试题

第八章 立体几何初步

8.5.2  直线与平面平行

一、基础巩固

1.如果直线平面，那么直线与平面内的（      ）

A．一条直线不相交 B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交

【答案】D

【详解】

根据线面平行的定义，直线平面，则线面无公共点，

对于C，要注意“无数”并不代表所有.

2．如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则　　

A． B． C． D．以上均有可能

【答案】B

【详解】

四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，

平面，平面平面，

由直线与平面平行的性质定理可得：．

3.已知正方体的棱上存在一点（不与端点重合），使得平面，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

如图，设， 可得面面，

∵平面，根据线面平行的性质可得，

∵为的中点，∴为中点，∴．

4.如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为　　

A． B．截面

C． D．异面直线与所成的角为

【答案】C

【详解】

因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，

则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，

所以PQ∥AC，QM∥BD，

由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；

由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；

异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；

5.如果直线直线n，且平面，那么n与的位置关系是

A．相交 B． C． D．或

【答案】D

【详解】

直线直线 ,且平面，

当不在平面内时，平面内存在直线，

符合线面平行的判定定理可得平面，

当在平面内时，也符合条件，

与的位置关系是或，

6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是（    ）

A．CE B．CF C．CG D．CC1

【答案】B

【详解】

如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，

在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，由于，

又OC＝AC，可得：，即四边形A1OCF为平行四边形，

可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面A1BD，CF⊄平面A1BD，

可得CF∥平面A1BD，

7.在正方体中，下面四条直线中与平面平行的直线是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

如图所示，易知且，

∴四边形是平行四边形，

，

又平面，平面，

平面.

8.①；②平面；③平面；④平面；⑤平面.其中正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

矩形的对角线与交于点O，所以O为的中点，在中，M是的中点，所以是中位线，

故.又平面，平面，

所以平面，且平面.

因为点M在上，所以与平面、平面相交，所以④⑤错误.

故正确的结论为①②③，共有3个.

9.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（  ）

A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或重合

【答案】C

【详解】

设α∩β＝l，a∥α，a∥β，

过直线a作与α、β都相交的平面γ，

记α∩γ＝b，β∩γ＝c，

则a∥b且a∥c，由线面平行的性质定理可得b∥c．

又∵b⊂α，c⊄α，

∴c∥α．又∵c⊂β，α∩β＝l，

∴c∥l．

∴a∥l．

10．如图，在长方体中，、分别是棱和的中点，过的平面分别交和于点、，则与的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面

【答案】A

【详解】

在长方体中，，、分别为、的中点，，

四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，

又，，

11.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【详解】

解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，

∴AB∥平面MNP，故A成立；

对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，

∴AB与面MNP不平行，故B不成立；

对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，

则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，

∴AB与面MNP不平行，故C不成立；

对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.

12.在正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ）

A．

B．平面

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍

【答案】BCD

【详解】

由于，而与不垂直，因此异面直线与不能垂直，则A错误；

取的中点，连接，，

由条件可知：，，所以平面，平面，

又，，所以平面平面，

又因为平面，所以平面，则B正确；

异面直线与所成的角为或其补角，

设正方体的棱长为2，则，，

由余弦定理知，则C正确；

对于D，连接，与交于(也是与平面的交点)，

连接，设点与点到平面的距离分别为，，

则，

所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则D正确.

二、拓展提升

13．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点E是棱PC的中点，平面与棱PD交于点F．

(1)求证: 平面；

(2) 求证：；

【答案】（1）证明见解析；(2) 证明见解析.

【详解】

(1)因为底面是菱形，所以，

因为面，面，所以面．

(2)由(1)可知面，

因为四点共面，且平面平面，

所以．

14.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）证明：，平面，平面，

 平面.

（2）取中点，连接，，则.

又平面底面，

平面，

就是直线与平面所成的角.

由勾股定理可求得，，，

.

直线与平面所成角的正弦值为.

15．如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取的中点，连接、，由已知结合三角形中位线定理可得且，得四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定可得平面；（Ⅱ）利用等积法可得：，代入棱锥体积公式可得点到平面的距离．

试题解析：（Ⅰ）证明：取点是的中点，连接，，则，且，

∵且，

∴且，

∴四边形为平行四边形，

∴，∴平面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．

利用等体积法：，即，，

∵，，∴，∴．