第02练 复数的几何意义 -高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第2练 复数的几何意义

一、单选题

1．已知复数，则=（　　）

A． B． C．2 D．4

【解析】∵，

∴，

故选：C

2．在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是（     ）

A．线段 B．圆 C．直线 D．圆环

【解析】设，

则，

因为，所以，

整理可得：，

所以所对应的点的集合构成的图形是圆，

故选：B.

3．复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（       ）

A． B． C． D．

【解析】复数在复平面内对应的点为，因为，则，

将点绕着原点逆时针旋转，得到的点与点关于轴对称，即点，

因此，所求复数为.

故选：C.

4．已知方程在复数范围内有一根为，则复数在复平面上对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解析】因为方程在复数范围内有一根为，所以，

整理得，所以，

所以，所以复数在复平面上对应的点在第四象限，

故选：D.

5．已知求的最大值（     ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【解析】因为，，

所以，

即的最大值为7．

故选：B．

6．瑞士著名数学家欧拉发现了公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解析】根据欧拉公式，

得，

即它在复平面内对应的点为，

故位于第二象限.

故选：B.

7．已知复数z满足且，则复数z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【解析】设复数，

因为，可得，即，

又由，可得，即，

两式相减可得，解得，

即复数z的虚部为.

故选：D

8．复数（，，为虚数单位），若，则（       ）

A． B． C．3 D．

【解析】，，解得，

，.

故选：D.

9．若，则在复平面内复数对应的点（       ）

A．在第一、三象限 B．在第二、四象限 C．在虚轴上 D．在实轴上

【解析】设，

因为，所以，则，

所以，在复平面内复数对应的点的坐标为，在虚轴上，

所以在复平面内复数对应的点在虚轴上.

故选：C.

10．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为（       ）

A． B．2 C． D．

【解析】设复数z对应的点为(x，y)，

则，，

∴复数z对应的点为(1，-)，∴，

故选D．

11．已知，若在复平面内复数与对应的两点之间的距离为4，则（       ）．

A．4 B．5 C．6 D．8

【解析】由题意，复数与，

可得，

即，解得.

故选：B.

12．若复数是纯虚数，则等于（       ）

A．0 B．2 C．0或2 D．

【解析】因为复数是纯虚数，则需要，解得，所以，∴．

故选：B

13．复数（其中为数单位），则在复平面上对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【解析】复数（其中为数单位），则在复平面上对应的点为，在第一象限.

故选：A.

14．复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线上，则（       ）

A． B．2 C． D．10

【解析】复数()在复平面内所对应的点的坐标是，则有，解得，即，所以.故选：A

15．已知，复数（是虚数单位），则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为，所以，

又因为，所以.

故选：A

16．若复数为纯虚数，则（       ）

A． B．13 C．10 D．

【解析】复数为纯虚数，故需要

故选：A

17．已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（       ）

A． B．复数在复平面内对应的点在第一象限

C． D．

【解析】对于A，因为为纯虚数，所以，所以，故A错误；

对于B，当时，，复数在复平面内对应的点在第二象限，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，，故D错误．

故选：C．

18．在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（       ）

A． B． C． D．

【解析】由题知，，，，设.

则，.

因为为平行四边形，所以.

由，解得，

所以点对应的复数为.

故选：A.

19．已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为在复平面内对应的点在第三象限，所以

，则实数的取值范围是，

故选：B.

二、多选题

20．在复平面内，复数的对应点分别为A，B.已知，则等于（       ）

A．4＋5i B．5＋4i C．3＋4i D．＋i

【解析】设，

因为，可得，

解得或，

所以或.

故选：BD.

21．若复数z1、z2在复平面内的对应点分别在一、二象限，则z1+z2在复平面内的对应点可能在（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【解析】在复平面内，设复数z1、z2对应点的坐标分别为，则有且，

于是得z1+z2对应点的坐标为，此时恒有，而有值不确定，

即z1+z2在复平面内的对应点必在x轴上方，可能在第一象限，第二象限或者在y轴正半轴上，

所以选项C，D不可能，A，B有可能.

故选：AB

22．实数，满足，设，则下列说法正确的是（       ）

A．z在复平面内对应的点在第四象限 B．

C．z的虚部是i D．z的实部是1

【解析】因为，

所以，解得，所以，

所以z在复平面内对应的点为，在第一象限，故A错误；

所以，故B正确；

所以z的虚部和实部均是1，故C错误，D正确.

故选：BD.

三、填空题

23．向量对应的复数是________．

【解析】由复数的几何意义得向量对应的复数是

故答案为：

24．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于__________象限.

【解析】由欧拉公式，可得，

可得复数再复平面内表示的点的坐标为位于第一象限.

故答案为：第一

25．已知复数在复平面内的对应点在第三象限，则实数的取值范围是____.

【解析】由已知得：，解得：，即实数的取值范围为.

故答案为：.

26．已知复数z满足（是虚数单位），则的取值范围是___________．

【解析】且，故，即.

故答案为：.

27．已知复数的实部为1，，则______．

【解析】由题可设，又，

∴，解得，

∴.

故答案为：.

28．已知复数的对应点在复平面的第二象限，则||的取值范围是________．

【解析】由题意，复数在复平面内对应的点，

因为该点位于第二象限，所以，解得，

所以.

故答案为：.

29．已知为纯虚数，若在复平面内对应的点在直线上，则________．

【解析】设，则．

因为对应的点为，所以，

解得，故．

故答案为：.

30．在复平面内表示复数的点在直线上，则实数的值为___________．

【解析】因为对应的点的坐标为，

因为复数表示的点在直线上，

所以，解之得：．

故答案为：.

31．已知复数，则__________.

【解析】因为，所以，

所以.

故答案为：

32．若复数z满足，则__________．

【解析】设，

所以，

所以，解得，

所以．

故答案为：1

四、解答题

33．在中，点A，B，C分别对应复数，，，求点D对应的复数．

【解析】由题意，设，

因为是平行四边形，所以，解得，即，

所以点对应复数为．

34．已知复数．

（1）若，求m的值；

（2）若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．

【解析】（1）因为，所以

解得或

又因为，所以．

（2）因为z在复平面内对应的点在第二象限，

所以

解得，则m的取值范围为

35．已知复数，.

（1）当为何值时，为纯虚数？

（2）当为何值时，对应点在第三象限？

【解析】复数，

（1）由题意，，解得，

所以当时，为纯虚数；

（2）若所对应点在第三象限，则，解得，

所以当时，对应点在第三象限.

36．m为何实数时，复数满足下列要求：

（1）是纯虚数；

（2）在复平面内对应的点在第二象限；

【解析】

．

由z是纯虚数，可得，解得，

即时，z是纯虚数．

由，得，

即时，z在复平面内对应的点在第二象限．

37．若复数对应的点在第三象限内，求实数的取值范围．

【解析】由于复数对应的点在第三象限，

所以，解得.

38．已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，.

（1）求表示的复数；

（2）求表示的复数；

（3）求点所对应的复数；

（4）求对角线，的交点对应的复数.

【解析】依题意，

（1）由于，所以对应复数为.

（2）由于，所以对应复数为.

（3）由于，所以点对应的复数为.

（4）根据中点坐标公式可知，即，对应复数为.

39．已知复数．

（1）若为纯虚数，求实数的值；

（2）若在复平面内对应的点在直线上，求．

【解析】复数，

实部为，虚部为.

（1）若为纯虚数，则，解得.

（2）由题意可得，

解得.

所以，所以.

40．在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

已知复数：.

（1）若_______，求实数的值；

（2）若复数的模为，求的值.

【解析】（1）选择①，则，

解得.

选择②为虚数，则，

解得.

选择③z为纯虚数，则，，

解得或.

（2）由可知

复数.

依题意，

解得.因此.

41．已知是虚数单位，复数．

（1）当z时纯虚数时，求m的值；

（2）若复平面内表示z的点在第四象限，求m的取值范围；

（3）若复平面内表示z的点在直线y＝x上，求m的值．

【解析】复数,

（1）当z时纯虚数时，，解得；

（2）若复平面内表示z的点在第四象限，则，

解得：；

（3）若复平面内表示z的点在直线y＝x上，

则，解得.