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    【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--第二章直线和圆的方程(单元测试卷)(解析版)
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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品单元测试课堂检测

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品单元测试课堂检测,文件包含高中数学人教A版2019选择性必修第一册第二章直线和圆的方程单元测试卷原卷版docx、高中数学人教A版2019选择性必修第一册第二章直线和圆的方程单元测试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共21页, 欢迎下载使用。

    第二章 直线和圆的方程(单元测试卷)
    一、 单选题(本大题8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.(2022·全国·高二课时练习)已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数,在y轴上的截距为2,则直线l的方程为(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【分析】求得直线斜率,由斜截式得直线方程.
    【详解】直线的斜率是,因此直线的斜率是,又在y轴上的截距为2,
    所以直线方程为,
    故选:C.
    2.(2022·全国·高二课时练习)已知,,则在y轴上的截距是-3,且经过线段AB的中点的直线方程为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】根据中点坐标公式可得直线在轴截距,根据截距式即可求解直线的截距式方程.
    【详解】由中点坐标公式可得线段AB的中点为,故可知轴上的截距为4,故直线的方程为.
    故选:B
    3.(2022·全国·高二课时练习)已知两直线与,则与间的距离为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
    【详解】直线的方程可化为(使用两条平行直线间的距离公式时,x,y的系数要对应相等),显然,所以与间的距离为.
    故选:D.
    4.(2022·全国·高二课时练习)已知圆的面积被直线平分,圆,则圆与圆的位置关系是(       )
    A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
    【答案】B
    【分析】由圆的面积被直线平分,可得圆心在直线上,求出,进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系.
    【详解】因为圆的面积被直线平分,所以圆的圆心在直线上,
    所以,解得,所以圆的圆心为,半径为.
    因为圆的圆心为,半径为,所以,
    故,所以圆与圆的位置关系是相交.
    故选:B.
    5.(2022·福建省福州第二中学高二期末)已知直线平分圆:,则的最大值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】由题意知直线过圆的圆心得到,求的最大值可转化为的最小值的倒数,利用基本不等式的妙用求最值即可.
    【详解】圆:,圆心,
    直线平分圆:,
    直线过圆心,即,


    当且仅当,即,的最大值为.
    故选:B
    6.(2022·全国·高二课时练习)若直线与曲线有两个交点,则实数的取值范围是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形,数形结合分析即可.
    【详解】由题意,直线的方程可化为,所以直线恒过定点,,可化为其表示以为圆心,半径为2的圆的一部分,如图.

    当与该曲线相切时,点到直线的距离,解得.
    设,则.由图可得,若要使直线与曲线有两个交点,则.
    故选:C.
    7.(2022·河南·修武一中高二开学考试(理))已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,则当最小时,(       )
    A.4 B. C.8 D.
    【答案】D
    【分析】首先求出直线过定点,即可求出弦的最小值,求出直线的倾斜角的倾斜角,再利用锐角三角函数计算可得.
    【详解】解:直线过定点,最小时,,
    圆心到直线的距离,,
    因为,所以此时,所以直线的倾斜角为,
    过点作交于点,则,
    在中,所以.

    故选:D
    8.(2023·全国·高三专题练习)已知 与为单位向量,且⊥,向量满足,则||的可能取值有(       )
    A.6 B.5 C.4 D.3
    【答案】D
    【分析】建立平面直角坐标系,由向量的坐标计算公式可得,进而由向量模的计算公式可得,分析可得在以为圆心,半径为2的圆上,结合点与圆的位置关系分析可得答案.
    【详解】根据题意,设,,,
    以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴的正方向建立坐标系,
    则,,设,则,
    若,则有,
    则在以为圆心,半径为2的圆上,
    设为点,则,则有,
    即,
    则的取值范围为;
    故选:D.
    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
    9.(2022·湖南·长沙一中高一期末)下列说法正确的是(       )
    A.直线在y轴上的截距为2
    B.直线,过定点
    C.过点且与直线平行的直线方程是
    D.过点且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程为
    【答案】BC
    【分析】求出直线在y轴上的截距,可判断A;求得直线,过的定点的坐标,判断B;利用直线的平行关系可求出过点且与直线平行的直线方程,判断C;分两种情况求出过点且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程,判断D,即可得答案.
    【详解】对于A,对于直线,令x=0得,
    所以直线在y轴上的截距为:故A不正确;
    对于B,直线,,故该直线过定点,故B正确;
    对于C,因为所求直线与直线平行,
    因此,可设所求直线为,又所求直线过点,
    所以,解得,故所求直线方程为,故C正确;
    对于D,过点且在两坐标轴上的截距相等的直线,
    当在两坐标轴上的截距为0时,直线方程为;
    当在两坐标轴上的截距不为0时,设为,则,解得,
    则直线方程为,故D不正确;
    故选:BC.
    10.(2022·山东青岛·二模)已知,则下述正确的是(       )
    A.圆C的半径 B.点在圆C的内部
    C.直线与圆C相切 D.圆与圆C相交
    【答案】ACD
    【分析】先将圆方程化为标准方程,求出圆心和半径,然后逐个分析判断即可
    【详解】由,得,则圆心,半径,
    所以A正确,
    对于B,因为点到圆心的距离为,所以点在圆C的外部,所以B错误,
    对于C,因为圆心到直线的距离为,
    所以直线与圆C相切,所以C正确,
    对于D,圆的圆心为,半径,
    因为,,
    所以圆与圆C相交,所以D正确,
    故选:ACD
    11.(2022·重庆南开中学高一期末)已知圆,过点的直线交圆于A,B两点,下列说法正确的是(       )
    A.当时,的最小值是
    B.当时,的取值范围是
    C.当时,为定值
    D.当,且时,
    【答案】ABCD
    【分析】根据圆的几何性质判断A,由圆上点与圆内点的距离最值分别为过该点直径端点判断B,根据直线与圆相交,根与系数的关系,向量运算判断C,根据圆的几何性质及线段中点求解判断D.
    【详解】当时,,则,点在圆内,当为直线AB的中垂线时,
    ,故A正确;
    当时,,则,点在圆内,
    由圆的性质知,,,故的取值范围是,故B正确;
    当时,在圆外,当直线斜率存在时,设直线为,
    设,联立方程可得,当时,
    ,,

    当直线斜率不存在时,直线为,则,
    ,综上为定值,
    故C正确;
    当时, ,在圆外,设且交点为,则,由知,设,
    则,解得,所以在直角三角形中,故,所以,故D正确.
    故选:ABCD
    12.(2023·河北·高三阶段练习)已知圆上两点A、B满足,点满足:,则下列结论中正确的是(       )
    A.当时,
    B.当时,过M点的圆C的最短弦长是
    C.线段的中点纵坐标最小值是
    D.过M点作图C的切线且切点为A,B,则的取值范围是
    【答案】CD
    【分析】根据给定条件可得点在线段的垂直平分线上,对于A,利用弦长公式求得线段的长,由线段的垂直平分线平行于轴,即可判断出A;对于B,当 时,点在圆内,结合弦长和半径即可判断出结果;对于C,令线段的中点,根据勾股定理结合放缩法即可求得结果;对于D,利用切线长定理即可求得的取值范围,即可判断出D.
    【详解】解:圆的圆心,半径,令圆心到直线距离为,
    对于A,令直线,即,显然有,
    线段的垂直平分线平行于轴,此时点不存在,即不存在,A不正确;
    对于B,当 时,点在圆内,而圆的直径长为2,则过 点的圆的最短弦长小于2,而,B不正确;
    对于C,令线段的中点,则,
    则,即,解得,当且仅当时取等号,
    所以,C正确;
    对于D,依题意及切线长定理得:,
    解得或,
    所以的取值范围是,D正确.
    故选:CD.

    三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.
    13.(2022·全国·高二专题练习)直线经过点,,,则直线倾斜角的取值范围是_____.
    【答案】
    【分析】根据两点间斜率公式可得斜率,再结合参数范围可得斜率取值范围,进而可得倾斜角范围.
    【详解】直线经过点,,



    设直线的倾斜角为,则,
    得,
    故答案为:.
    14.(2022·内蒙古包头·高一期末)直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点,则直线l的方程为______.
    【答案】
    【分析】设交点坐标分别为和,根据题意得到,求得的值,进而求得直线的方程.
    【详解】设直线与和,分别交于点和,
    因为所截得的线段中点恰为坐标原点,可得,解得,
    所以和,则,
    可得直线的方程为,即.
    故答案为:.
    15.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知圆.若圆与圆有三条公切线,则的值为___________.
    【答案】
    【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系,结合两点间的距离公式即可求解.
    【详解】由,得,
    所以圆的圆心为,半径为,
    因为圆,所以圆的圆心为,半径为,
    因为圆与圆有三条公切线,所以圆与圆相外切,
    即,解得,
    所以的值为.
    故答案为:.
    16.(2022·全国·高二课时练习)已知点P(m,n)在圆上运动,则的最大值为______.
    【答案】64
    【分析】表示圆C上的点P到点的距离的平方,利用数形结合分析即得解.
    【详解】解:由题得圆心C(2,2),半径r=3.
    表示圆C上的点P到点的距离的平方,
    因为,所以,即的最大值为64.
    故答案为:64

    四、解答题:本大题共5小题,17题共10分,其余各题每题12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(2022·全国·高二专题练习)根据所给条件求直线方程.
    (1)直线过点,倾斜角的正弦值为;
    (2)直线过点,且在两坐标轴上的截距之和为;
    (3)直线过点,.
    【答案】(1)或
    (2)或
    (3)

    【分析】(1)利用点斜式方程可得答案;
    (2)利用截距式方程可得答案;
    (3)先求出斜率再用点斜式方程可得答案.
    (1)
    ,,
    则直线方程为,
    即或.
    (2)
    依题意得,直线的横截距、纵截距均不为,
    可设直线方程为,
    代入点,可得,解得或,
    所以所求直线方程为或,
    即所求直线方程为或.
    (3)
    直线斜率,
    则所求直线方程为,整理得.
    18.(2022·全国·高二课时练习)已知圆.
    (1)若直线过定点,且与圆C相切,求直线的方程;
    (2)若圆D的半径为3,圆心在直线上,且与圆C相切,求圆D的方程.
    【答案】(1)或;
    (2)或或或.

    【分析】(1)设的直线方程为(可以避开斜率为0和不存在情况),再用圆心到直线距离等于半径找出关系即可;
    (2)讨论圆D与圆内切还是外切,分别计算出两种情况时的圆心坐标即可.
    (1)
    圆的圆心,半径,
    因为直线过定点,所以可设直线的方程为,
    因为直线与圆C相切,所以,整理得,则或,
    当时,直线的方程为;
    当时,直线的方程为.所以直线的方程为或.
    (2)
    因为圆D的圆心在直线上,所以可设,则.
    当圆D与圆C外切时,,
    即,解得或,所以圆D的方程为或.
    当圆D与圆C内切时,,即,解得或,所以圆D的方程为或.
    综上,圆D的方程为或或或.
    19.(2022·全国·高二课时练习)已知三角形ABC,,,,以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD.
    (1)求点D的坐标:
    (2)过点A的直线l交线段BC于点E.若,求直线l的方程.
    【答案】(1)
    (2)x=1

    【分析】(1)根据平行四边形得到,列出方程组,求出D点的横纵坐标;
    (2)根据面积的倍数关系得到,设出E点坐标,从而列出方程组,求出E点的横纵坐标,从而得到直线l的方程.
    (1)
    由题可知,以BA,BC为邻边的平行四边形ABCD满足,
    所以,所以.
    (2)
    要使,点E在线段BC上,则,
    设,
    则,
    又直线l过,故直线l的方程为:x=1.
    20.(2022·全国·高二单元测试)从①与直线4x-3y+5=0垂直,②过点(5,-5),③与直线3x+4y+2=0平行这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
    问题:已知直线l过点,且______.
    (1)求直线l的一般式方程;
    (2)若直线l与圆相交于点P,Q,求弦PQ的长.
    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    【答案】(1)3x+4y+5=0
    (2)4

    【分析】(1)根据直线方程的表达式,代入条件计算即可.(2)根据直线与圆相交,结合弦长公式即可求解.
    (1)
    方案一:选条件①.
    (1)因为直线4x-3y+5=0的斜率为,且与直线l垂直,所以直线l的斜率为,
    依题意,直线l的方程为,即3x+4y+5=0.
    方案二:选条件②.
    (1)因为直线l过点(5,-5)及(1,-2),
    所以直线l的方程为,即.
    方案三:选条件③.
    (1)因为直线3x+4y+2=0的斜率为,直线l与直线3x+4y+2=0平行,
    所以直线l的斜率为.
    依题意,直线l的方程为,即3x+4y+5=0.
    (2)
    方案一:选条件①.
    (2)圆的圆心(0,0)到直线3x+4y+5=0的距离为.
    又圆的半径为,所以.
    方案二:选条件②.
    (2)解析同方案一中(2).
    方案三:选条件③.
    (2)解析同方案一中(2).
    21.(2022·全国·高二单元测试)已知点,圆,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.
    (1)求的轨迹方程;
    (2)当时,求l的方程及的面积
    【答案】(1);
    (2),.

    【分析】(1)利用圆的性质可得,进而即得;
    (2)由题可知点O在线段PM的垂直平分线上,然后利用点斜式方程及点到直线的距离公式结合条件即得.
    (1)
    由圆,可化为,
    所以圆心为,半径为4,
    设,则,,
    由题设知,故,
    即.
    由于点P在圆C的内部,
    所以M的轨迹方程是.
    (2)
    由上可知M的轨迹是以点为圆心,为半径的圆,
    由于,
    故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,
    从而,
    因为ON的斜率为3,所以的斜率为,
    故的方程为,即,
    又,
    O到的距离为,,
    所以的面积为.
    22.(2022·重庆南开中学高一期末)平面直角坐标系中,圆M经过点,,.
    (1)求圆M的标准方程;
    (2)设,过点D作直线,交圆M于PQ两点,PQ不在y轴上.
    (i)过点D作与直线垂直的直线,交圆M于EF两点,记四边形EPFQ的面积为S,求S的最大值;
    (ii)设直线OP,BQ相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.
    【答案】(1)
    (2)(i)7;(ii)在定直线上

    【分析】(1)设圆M的方程为,利用待定系数法求出,即可得解;
    (2)(i)设直线的方程为,分和两种情况讨论,利用圆的弦长公式分别求出,再根据即可得出答案;
    (ii)设,联立,利用韦达定理求得,求出直线OP,BQ的方程,联立求出交点坐标即可得出结论.
    (1)
    解:设圆M的方程为,
    则,解得,
    所以圆M的标准方程为;
    (2)
    解:设直线的方程为,即,
    则圆心到直线的距离,
    所以,
    (i)若,则直线斜率不存在,
    则,,
    则,
    若,则直线得方程为,即,
    则圆心到直线的距离,
    所以,


    当且仅当,即时,取等号,
    综上所述,因为,
    所以S的最大值为7;
    (ii)设,
    联立,消得,
    则,
    直线的方程为,
    直线的方程为,
    联立,解得,


    所以,
    所以点N在定直线上.
    【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程,考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题,还考查了圆中的定直线问题,有一定的计算量.

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