人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品练习题，共8页。试卷主要包含了著名数学家华罗庚曾说过等内容，欢迎下载使用。

《第二章 直线和圆的方程》专项拓展训练（一）
专项一　与直线有关的对称问题
类型1　点与直线、直线与直线间的对称问题
1.[2022广东东莞东华高中高二期中]从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的方向射到y轴上,则经y轴反射的光线所在直线的方程为(　　)
A.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0
C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0
2.已知点A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线4x+3y-11=0对称,则实数a,b的值分别为(　　)
A.-1,2 B.4,-2 C.2,4 D.4,2
3.[2022广东深圳南山外国语高二上期中]直线l:x-y+1=0关于点A(2,-3)的对称直线的方程为　　　　. 
4.[2022浙江宁波慈溪中学高二期中]若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点　　　　. 
5.[2022湖北武汉外国语学校高二期中]已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;
(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程;
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.






类型2　利用对称解决最值问题
6.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事非.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,根据上述观点,可得f(x)=x2+4x+20+x2+2x+10的最小值为(　　)
A.5 B.52 C.4 D.8
7.在平面直角坐标系中,点A,B分别是x轴、y轴上的两个动点,M(3,4),则|MA|+|AB|+|BM|的最小值是(　　)
A.10 B.11 C.12 D.13
8.如图所示,m,n,l是三条公路,m与n互相垂直且交于点O,l与m,n的交点分别是M,N,|OM|=4,|ON|=8,工厂A在公路n上,|OA|=2,工厂B到m,n的距离分别为2,4,货车P在公路l上. 

(1)要把工厂A,B的物品装上货车P,问:P在什么位置时,工厂A的搬运工与工厂B的搬运工走的路程之和最少?
(2)P在什么位置时,工厂B的搬运工与工厂A的搬运工走的路程差距最多?(假设货物一次性搬运完.)











专项二 阿波罗尼斯圆
1.[2022江苏盐城滨海县八滩中学高二上期中]已知点A(6,0),B(6,2),圆C:(x-8)2+y2=16,点P在圆C上运动,则2|PA|-|PB|的最大值为(　　)
A.4+2 B.12-210
C.210 D.8
2.(多选)[2022人大附中深圳学校高二上期中]在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是(　　)
A.轨迹C的方程为(x+4)2+y2=9
B.在x轴上存在异于A,B的两点D,E,使得|PD||PE|=12
C.当A,B,P三点不共线时,射线PO是∠APB的角平分线
D.在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|
3.已知P,Q分别是圆C:(x-4)2+y2=8,圆D:x2+(y-4)2=1上的动点,O是坐标原点,则|PQ|+22|PO|的最小值是　　　　　　.
4.在△ABC中,|AB|=2,|AC|=k|BC|(k>1),则当△ABC面积的最大值为22时,k=　　　　　.
5.已知点O(0,0),点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点.
(1)(探求一个定点)x轴上是否存在点A,使得|MO||MA|=12?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)(探求定比和一个定点)在x轴上是否存在不同于点O的定点A,使得|MO||MA|为常数λ?若存在,求出点A的坐标及常数λ;若不存在,请说明理由.













参考答案
专项一　与直线有关的对称问题
1.A　方法一　由题意得射出光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数,射出光线所在直线的斜率为48=12,故反射光线所在直线的斜率为-12,故选A.
方法二　由射出光线所在直线l1与向量a=(8,4)平行,知l1的斜率k=12,所以l1的方程为y-3=12(x-2),其与y轴的交点为(0,2).又点(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在的直线过点(-2,3)与(0,2),所以其方程为y-23-2=x-0-2-0,即x+2y-4=0.
2.D　解析 因为点A,B关于直线4x+3y-11=0对称,所以kAB=34,即b+2-(-b)a+2-(b-a)=34　①.又AB的中点(b+22,1)在直线4x+3y-11=0上,所以2(b+2)+3=11　②.由①②,得a=4b=2.
3.x-y-11=0 　解析 方法一　设对称直线上一点(x,y),则点(x,y)关于A(2,-3)的对称点为(4-x,-6-y),所以点(4-x,-6-y)在直线l上,代入得x-y-11=0.
方法二　易知直线l关于点A的对称直线与直线l平行,故设为x-y+C=0.由点A(2,-3)到这两条直线的距离相等,得|2-(-3)+1|12+(-1)2=|2-(-3)+C|12+(-1)2,解得C=1(舍去)或-11,即所求直线方程为x-y-11=0.
方法三　易知点(-1,0),(0,1)在直线l上,且它们关于点A的对称点分别为(5,-6),(4,-7),则所求直线的方程为y+6-7+6=x-54-5,即x-y-11=0.
4.(0,2)　 解析 由题意得直线l1:y=k(x-4)过定点M(4,0),且点M关于点(2,1)的对称点为N(0,2).因为直线l1与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点N(0,2).
5. 解析 (1)设点P关于直线l的对称点为P'(x',y'),
则y'+52=3×x'+42+3y'-5x'-4×3=-1,解得x'=-2y'=7,
所以P'(-2,7).
(2)由y=3x+3y=x-2,得x=-52y=-92,即直线l与直线y=x-2的交点为(-52,-92).
在直线y=x-2上任取一点M(2,0),设点M关于直线l的对称点为M'(x0,y0),
则y02=3×x0+22+3y0x0-2×3=-1,得x0=-175y0=95,即M'(-175,95).
易知点(-52,-92),M'(-175,95)在所求直线上,所以所求直线的方程为y+9295+92=x+52-175+52,即7x+y+22=0.
(3)方法一　在直线l上取两点E(0,3),F(-1,0),则点E,F关于点A(3,2)的对称点分别为E'(6,1),F'(7,4).
因为点E',F'在所求直线上,
所以所求直线方程为y-14-1=x-67-6,即3x-y-17=0.
6.B　f(x)=x2+4x+20+x2+2x+10=(x+2)2+16+(x+1)2+9表示点P(x,0)到点A(-2,4)和B(-1,3)的距离之和,如图所示,点C(-2,-4)是A(-2,4)关于x轴对称的点,故f(x)的最小值为|BC|=(3+4)2+(-1+2)2=50=52.

7.A　如图,设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(-3,4),关于x轴的对称点为Q(3,-4),则|MB|=|PB|,|MA|=|AQ|.当A与B重合于坐标原点O时,|MA|+|AB|+|BM|=|PQ|=[3-(-3)]2+(-4-4)2=10;当A与B不重合时,|MA|+|AB|+|BM|=|AQ|+|AB|+|PB|>|PQ|=10.综上,当A与B重合于坐标原点O时,|MA|+|AB|+|BM|取得最小值,最小值为10.

8. 解析 (1)以m,n所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.

则A(2,0),B(-2,-4),M(0,4),N(-8,0),故直线l的方程为x-8+y4=1,即x-2y+8=0.
求P在什么位置时,搬运工走的路程之和最少,即求|PA|+|PB|的值最小时P的位置.
设点A关于直线l的对称点A'(m,n),
则n-0m-2=-2m+22-2×n+02+8=0,得m=-2n=8,即A'(-2,8).
又P为直线l上的一点,
则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,
当且仅当B,P,A'三点共线时等号成立,
此时|PA|+|PB|取得最小值|A'B|,点P就是直线A'B与直线l的交点.
易知直线A'B的方程为x=-2,由x-2y+8=0x=-2,得x=-2y=3,所以P(-2,3).
(2)求P在什么位置时,工厂B的搬运工与工厂A的搬运工走的路程差距最多,等价于求点P的位置,使||PB|-|PA||的值最大.
因为A,B两点在直线l的同侧,点P在直线l上,
所以||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时等号成立,此时||PB|-|PA||取得最大值|AB|,点P即直线l与直线AB的交点.
因为A(2,0),B(-2,-4),所以直线AB的方程为y-0-4-0=x-2-2-2,即x-y-2=0.
由x-2y+8=0x-y-2=0,得x=12y=10,
所以P(12,10).
专项二 阿波罗尼斯圆
1.C　方法一(逆用阿氏圆,寻找定点)　设存在定点Q,使|PQ||PA|=2,因为点P的轨迹为圆C,所以A,Q,C三点共线,故设Q(t,0).当点P运动到圆C与x轴的交点时(点A左侧的交点),则P(4,0),此时|PA|=2,|PQ|=4-t,由|PQ|=2|PA|,得t=0,即Q(0,0),所以2|PA|-|PB|=|PQ|-|PB|≤|QB|=210. 
方法二(利用性质(2)找定点)　如图,由点P为圆C:(x-8)2+y2=16上的动点可知,存在点Q,使得|PA||PQ|=12,由阿氏圆的性质(2),可得|PC|2=|AC|·|QC|,即16=2|QC|,即|QC|=8.又点C(8,0),Q,A,C三点共线,所以点Q(0,0),所以2|PA|-|PB|=|PQ|-|PB|≤|QB|=210.

2.BC　在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足|PA||PB|=12,设P(x,y),则(x+2)2+y2(x-4)2+y2=12,化简得(x+4)2+y2=16,所以A错误;假设在x轴上存在异于A,B的两点D,E,使得|PD||PE|=12,设D(m,0),E(n,0),则(x-n)2+y2=2(x-m)2+y2,化简得3x2+3y2-(8m-2n)x+4m2-n2=0,由轨迹C的方程为x2+y2+8x=0,可得8m-2n=-24,4m2-n2=0,解得m=-6,n=-12或m=-2,n=4(舍去),即在x轴上存在异于A,B的两点D,E使|PD||PE|=12,所以B正确;当A,B,P三点不共线时,由|OA||OB|=12=|PA||PB|,可得射线PO是∠APB的角平分线,所以C正确;若在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|,可设M(x,y),则有x2+y2=2(x+2)2+y2,化简得x2+y2+163x+163=0,与x2+y2+8x=0联立,方程组无解,故不存在点M,所以D错误.故选BC.
3. 25-1　 解析 如图,由点P为圆C:(x-4)2+y2=8上的动点可知,存在点A,使得|PA||PO|=22,由阿氏圆的性质(2),可得|PC|2=|AC|·|OC|,即8=4|AC|,即|AC|=2,又O,A,C三点共线,所以点A(2,0),所以|PQ|+22|PO|=|PQ|+|PA|=(|PA|+|PQ|+|QD|)-|QD|≥|AD|-
|QD|=22+42-1=25-1,当且仅当D,Q,P,A四点共线时,等号成立.

4. 2　解析 不妨设A(1,0),B(-1,0),C(x,y),则|AC|=k|BC|可化为(x-1)2+y2=k2[(x+1)2+y2],整理可得(k2-1)x2+(k2-1)y2+2(k2+1)x+k2-1=0,即(x-k2+1k2-1)2+y2=(k2+1k2-1)2-1,圆心(k2+1k2-1,0),r2=(k2+1k2-1)2-1.当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,即当点C到AB的距离d等于半径r时,面积最大,所以△ABC面积的最大值是12×2r=22,解得r=22,故有(k2+1k2-1)2-1=(22)2,解得k2=2或k2=12(舍去),所以k=2.
5. 解析 (1) 方法一　假设存在符合题意的点A(x0,0),设M(x,y),则(x+1)2+y2=4,
所以x2+y2=3-2x.
由|MO||MA|=12,得|MA|2=4|MO|2,
所以(x-x0)2+y2=4(x2+y2),
即3(x2+y2)+2x0x-x02=0,
所以3(3-2x)+2x0x-x02=0,
所以(2x0-6)x-(x02-9)=0,
因为点M(x,y)是圆上任意一点,
所以2x0-6=0x02-9=0,所以x0=3,
所以存在点A(3,0),使得|MO||MA|=12.
方法二　设点A(t,0).
当点M为圆与x轴的左交点(-3,0)时,|MO||MA|=3|-3-t|,
当点M为圆与x轴的右交点(1,0)时,|MO||MA|=
1|1-t|,
令3|-3-t|=1|1-t|=12,得t=3.
下面证明点A(3,0)对圆(x+1)2+y2=4上任意一点M(x0,y0),都有|MO||MA|=12.
因为点M在圆上,所以(x0+1)2+y02=4,
则|MO|2|MA|2=x02+y02(x0-3)2+y02=x02+4-(x0+1)2(x0-3)2+4-(x0+1)2=-2x0+3-8x0+12=14,即|MO||MA|=12.
(2)假设存在定点A(x0,0)(x0≠0),使得|MO||MA|=λ,
设M(x,y),则(x+1)2+y2=4,
所以x2+y2=3-2x,
由|MO||MA|=λ,得|MO|2=λ2|MA|2,
所以x2+y2=λ2[(x-x0)2+y2],
即(λ2-1)(x2+y2)-2λ2x0x+λ2x02=0,
所以(λ2-1)(3-2x)-2λ2x0x+λ2x02=0,
即2(λ2-1+λ2x0)x-3(λ2-1)-λ2x02=0,
因为点M(x,y)是圆上任意一点,
所以2(λ2-1+λ2x0)=0-3(λ2-1)-λ2x02=0,
因为x0≠0,所以x0=3λ=12,
所以存在点A(3,0),使得|MO||MA|=12.