人教A版（2019）必修第二册【同步精选练习题】第六章平面向量及其应用小节复习参考题

人教A版（2019） 必修第二册  逆袭之路  第六章   平面向量及其应用 小节 复习参考题  6

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）.

（1）.(        )

（2）.(        )

（3）.(        )

（4）.(        )

二、单选题

2．，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是.

A．若，满足，且与同向，则

B．

C．

D．

4．在四边形中，，则一定有（    ）

A．四边形是矩形 B．四边形是菱形

C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形

5．设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是(　　)

A．与的方向相反 B．

C．与的方向相同 D．

6．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于

A． B． C． D．

7．下列各组平面向量中，可以作为基底的是

A．

B．

C．

D．

8．已知，则（    ）

A．三点共线 B．三点共线

C．三点共线 D．三点共线

9．已知正方形ABCD的边长为1，，则.

A．0 B．3 C． D．

10．已知，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ）

A． B． C． D．

11．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

12．已知等边三角形ABC的边长为1，，那么.

A．3 B．-3 C． D．

13．若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ）

A．2 B．5 C．2或5 D．或

三、解答题

14．已知六边形ABCDEF为正六边形，且，分别用，表示.

15．已知点.

(1)求的坐标及;

(2)若＝＋，＝－，求及的坐标;

(3)求·.

16．已知点.若，则点D的坐标是什么？

17．已知向量，求满足的和的值.

18．已知的顶点坐标分别为，求的值.

19．已知向量.当为何值时，与垂直？

20．已知向量与的夹角为30°，.求的值.

21．如图，支座A受两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为100N，求以及与的夹角β的余弦值.

22．在中,，解此三角形（角度精确到，边长精确到）：

23．在中, ，解此三角形（角度精确到，边长精确到）：

24．在中, ，解此三角形（角度精确到，边长精确到）：

25．在中, ，解此三角形（角度精确到，边长精确到）：

26．海中有一座小岛，周围内有暗礁.一般海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东；海轮航行以后，望见该岛在北偏东.如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？

27．已知为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义.

（1）；

（2）若，则.

28．已知向量，，满足，，求证：为等边三角形．

29．如图，已知，任意点 M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，用表示向量 （本题可以运用信息技术发现规律）

30．一个人骑自行车由A地出发向东骑行了9km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30°骑行了16km到达D地，求这个人由A地到D地的位移（角度精确到1°）

31．设计一种借助两个观察点C，D（其中C，D之间的距离是d）测量航船的航向与速度的方法.

32．如图，平行四边形中，点在线段上，与交于点，设，用向量的方法探究：在线段上是否存在点，使得点恰好为的一个三等分点，若有，求出满足条件的所有点的位置；若没有，说明理由.

参考答案：

1．     √     √     ×     ×

【解析】根据相反向量的定义可判断（1）；根据向量加法的三角形法则可判断（2）；根据向量减法法则可判断（3）；根据向量的数乘运算可判断（4）；

【详解】（1）与是相反向量，它们的和为零向量，故正确。

（2）当第一个向量的终点是第二个向量的起点时，

这两个向量的和等于第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量，故正确。

（3）当两个向量有共同的起点时，那么这两个向量的差

等于减向量的终点指向被减向量的终点的向量，故不正确。

（4）实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0，故不正确。

答案： （1）√（2）√（3）×（4）×

【点睛】本题考查了向量的基本知识，需掌握向量中的基本概念，属于基础题.

2．D

【解析】A．分析方向；B．分析夹角；C．根据数量积计算结果进行判断；D．根据模长运算进行判断.

【详解】A．可能方向不同，故错误；

B．，两向量夹角未知，故错误；

C．，所以，故错误；

D．由C知，故正确，

故选：D.

【点睛】本题考查向量的模长和数量积运算以及向量相等的概念，主要考查学生对向量的综合理解，难度较易.

3．B

【解析】利用向量的概念、向量的加法以及向量的数量积即可一一判断.

【详解】A项错误，向量不能比较大小；

B项正确，利用向量加法的运算法则可判断；

C项错误，；

D项错误，.

故选：B.

【点睛】本题考查了向量的概念、向量加法的三角形法则、向量的数量积，考查了基本知识，属于基础题.

4．D

【分析】根据向量的线性运算可得，进而可得且即可求解.

【详解】因为，所以，

即且，

所以四边形的一组对边平行且相等，

所以四边形是平行四边形，

故选：D.

5．C

【详解】由于,所以,因此与方向相同.选C

6．D

【详解】试题分析：由已知得，

而所以，选D.

考点：平面向量的线性运算，相反向量.

7．B

【详解】试题分析：因为A，C，D选项中的两个向量均存在实数使得，所以两向量均共线，故不可作为基底．因为B选项中的两个向量不存在实数使得，所以两向量不共线，所以可以作为一组基底．故B正确．

考点：平面向量中基底的定义．

8．C

【分析】根据向量共线定理，考查选项中两个向量之间是否有倍数关系即可判断.

【详解】对于A:不存在实数 ，使得，故 三点不共线；

对于B: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；

对于C: ,故 ，所以三点共线；

对于D: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；

故选：C

9．D

【解析】利用向量的加法以及向量的模即可求解.

【详解】因为，所以.

因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查了向量的加法以及求向量的模，属于基本知识的考查.

10．B

【分析】根据平行四边形的性质，可知，再用减法表示向量，即可判断选项.

【详解】由四边形ABCD为平行四边形，所以，即，故.

故选：B.

11．C

【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

故

，

，

，

故 ，

由于 ，故，

故选：C

12．D

【解析】利用向量的数量积即可求解.

【详解】解析：.

故选：D

【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.

13．C

【分析】分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.

【详解】当两两的夹角均为0°时，显然；当两两的夹角均为120°时，，

故选：C.

14．,

，

【解析】根据正六边形的特征求出,，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解.

【详解】如图，设

因为六边形ABCDEF为正六边形，

所以，

且.

又是等腰三角形，

所以，

从而可有，

则，

所以,同理有.

所以

，

，

综上，,

，

【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及向量的减法，属于基础题.

15．(1), ;(2)，;(3).

【分析】（1）先求得的坐标，然后求得它的模.（2）利用加法和减法的坐标表示求得及的坐标.（3）根据数量积的坐标表示求得

【详解】（1）依题意，所以.

（2）＝＋，＝－.

（3）.

【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标表示，考查向量加法、减法和数量积的坐标表示，考查平面向量模的坐标表示，属于基础题.

16．

【解析】设，由向量的坐标表示以及向量相等得出，解方程即可.

【详解】设，由知，

由，则有，解得

所以点D的坐标为，

【点睛】本题考查了向量的坐标表示以及向量相等，属于基础题.

17．

【解析】利用向量的线性坐标运算即可求解.

【详解】

由，得.

即，解得，即.

【点睛】本题考查了向量线性坐标运算，需掌握向量数乘的坐标运算法则，属于基础题.

18．

【解析】依题意，可求得的三边的长，从而可判断三角形是以为直角的直角三角形，从而可得的值.

【详解】的顶点坐标分别为，

，，，，

同理可得：，满足，

是以为直角的直角三角形，

,，，

.

【点睛】本题考查了向量的坐标表示、向量的模，属于基础题.

19．

【解析】首先利用向量的坐标运算求出的坐标，再利用向量垂直数量积等于零解方程即可求解.

【详解】.

又与垂直，.

.即.

【点睛】本题考查了向量数乘的坐标运算以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.

20．，

【解析】首先利用向量的数量积求出，然后再利用向量的模的求法求模即可.

【详解】.

，

.

【点睛】本题考查了向量的数量积的运算、向量模的计算，需熟记向量的数量积公式以及向量模的求法，属于基础题.

21．，

【解析】利用向量的平行四边形法则表示出，两边同时平方可求出，再由，两边同时平方可求得β的余弦值.

【详解】

即.

，解得.

又，

，即，

，解得.

【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则以及向量的数量积求夹角，属于基本知识的考查.

22．

【解析】运用正弦定理可得，进一步求得，再由余弦定理可得.

【详解】在中，根据正弦定理，则，

由，解得，

由余弦定理，则

【点睛】本题考查了正、余弦定理解三角形，需熟记定理，属于基础题.

23．当时，；

当时，.

【解析】运用正弦定理以及可得，进一步求得，再由余弦定理可得.

【详解】在中，根据正弦定理，，得，

因为，所以或；

当时，，由，解得；

同理，当时，.

【点睛】本题考查了正、余弦定理解三角形，需熟记定理，注意三角形的性质“大边对大角”，属于基础题.

24．，

【解析】利用余弦定理、正弦定理即可求解.

【详解】在中，根据余弦定理，，可得，

根据正弦定理，，解得.

【点睛】本题考查了正、余弦定理解三角形，需熟记定理，属于基础题.

25．，

【解析】利用余弦定理的推论即可求解.

【详解】在中，根据余弦定理的推论，

由，可得.即，

同理可得.

【点睛】本题考查了余弦定理的推论解三角形，需熟记余弦定理的推论，属于基础题.

26．没有

【解析】根据题意作出图形，在三角形中即可求解.

【详解】设海轮在B处望见小岛A在北偏东75°，在C处望见小岛A在北偏东55°，从小岛A向海轮的航线BC作垂线，垂足为D.

设垂线段AD的长度为，CD为（如图），

则，即

则，解得.

所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险.

【点睛】本题考查了解三角形在生活中的应用，把实际问题抽象成数学模型是关键，属于基础题.

27．（1）证明见解析，几何意义是矩形的两条对角线相等，（2）证明见解析，几何意义是菱形的对角线互相垂直

【解析】（1）利用向量模的求法求出，，再利用向量的数量积即可证出

；然后由，两边平方即可证出.

（2）先利用数量积可证出，然后，可证出.

【详解】证明：（1）先证

因为，所以，于是

再证.

由，两边平方得，

所以，于是.

几何意义是矩形的两条对角线相等。

（2）先证.

又，所以.

所以.

再证，

由得。

即，

所以，

几何意义是菱形的对角线互相垂直，如图所示.

【点睛】本题考查了向量的数量积以及向量的模证明等式，属于基础题.

28．证明见解析

【分析】根据和，结合平面向量的数量积运算得出，再利用余弦定理求得，同理得，即可证出△是正三角形.

【详解】解：由题可知，，

，

，则，

，

又，

，

，

即，

即与夹角为，

在中，由余弦定理得：

，

即，

则，

同理得，

∴为等边三角形.

【点睛】本题考查根据平面向量判断三角形的形状，考查利用平面向量的数量积运算求夹角，还涉及余弦定理的应用，考查转化思想和化简计算能力.

29．

【解析】连接AB，由对称性可知，AB是的中位线，利用向量共线以及向量的减法即可求解.

【详解】连接AB，由对称性可知，

AB是的中位线，.

【点睛】本题考查了共线向量以及向量的减法，考查了向量的基本运算，属于基础题.

30．沿北偏东约67°方向前进了.

【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出，进而求出 ，再由即可求解.

【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图由题意可得

.

∴这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了.

【点睛】本题考查了向量在生活中的应用，考查了向量模的坐标运算，属于基础题.

31．见解析

【解析】建立模型，C.D是两个观察点，C到D的距离是d，测出和，和，在中，利用正弦定理即可求解.

【详解】方案如下：

如图，C.D是两个观察点，C到D的距离是d，

航船在时刻在A处，以从A到B的航向航行，

此时测出和在时刻航船航行到B处，此时，测出和.

根据正弦定理，在中，可以计算出BC的长，

在中，可以计算出AC的长，在中，AC，BC已经算出，，解.求出AB的长，即航船航行的距高，算出，这样就可以算出航船的方向和速度.

【点睛】本题考查了正弦定理在生活中的应用，解题的关键是建立数学模型，考查了学生解决问题的能力，属于基础题.

32．存在；是线段的中点.

【解析】根据的位置结合向量共线进行分类讨论，联立方程组求解.

【详解】若, ，

，

又，且与是共线向量，则,

，

是不共线的向量，

，解得，

此时满足，故满足条件的点是存在的，它是线段的中点.

【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，需熟记共线定理的内容，属于中档题.