高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课后练习题，共48页。试卷主要包含了单选题，解答题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
余弦定理、正弦定理应用举例
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．
2．在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（    ）

A． B． C． D．
4．杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（    ）

A． B． C． D．
5．如图，一栋建筑物AB的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M（B、D、M三点共线）处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高（单位：米）为（    ）

A． B．30 C． D．60
6．平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位．一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新．游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光．某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则平凉大明宝塔的高度是（    ）

A．25米 B．米 C．30米 D．米
7．如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（    ）

A．北偏东； B．北偏东；
C．北偏东； D．北偏东；
8．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（    ）
A． B． C． D．
9．一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ）

A． B． C． D．

二、解答题
10．如图，是直角三角形斜边上一点，.

(1)若，求角的大小；
(2)若，且，求的长.
11．如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．

(1)求的值；
(2)求的值．
12．在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________，

(1)求角A的值；
(2)求的值．
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求B；
(2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC．
14．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.

(1)求AC；
(2)求.
15．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．

(1)求BE的长；
(2)若，求五边形ABCDE的周长．
16．如图，在梯形中，已知，，，，．

(1)求；
(2)求的长；
(3)求的面积．
17．在中，角所对的边分别为，.

(1)判断的形状，并加以证明；
(2)如图，外存在一点D，使得且，求.
18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
若，，点D是BC边上的一点，且______.
求线段AD的长.
①AD是的高；②AD是的中线；③AD是的角平分线.
19．在中，角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)若，，求角
(2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．
20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
(1)求B；
(2)若的周长为，求BC边上中线的长．
22．在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
(1)求A；
(2)若，，AD是的中线，求AD的长.
23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A的大小；
(2)请根据（1）中的结论，从条件①、条件②、条件③中再选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上高线的长．
条件①：，b＝1；
条件②：a＝3，；
条件③：b＝3，．（注：若重复选择，按第一个解答给分）
24．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)若，且，求△ABC的面积；
(2)求的最大值．
25．已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
26．已知中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，且满足．
(1)求角A；
(2)求的取值范围．
27．设的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的最大值.
28．在锐角中，内角所对的边分别为，已知，
(1)求角的大小；
(2)求取值范围．
29．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
30．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围.
31．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
32．在中，.
(1)求；
(2)D在边BC上，，，求面积的最大值.
33．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
34．已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
35．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
36．已知向量，向量，函数．
(1)求函数的最小正周期，以及在上的单调区间；
(2)已知分别为内角、、的对边，且为锐角，，， 恰是在上的最大值，求的面积．
37．已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
38．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.

（1）将、用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
39．如图，在中，，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点F在点E的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设．

(1)写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式；
(2)求面积S的最小值．

三、多选题
40．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有（    ）
A． B．
C． D．△ABC的面积为
41．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（    ）

A．
B．A、D之间的距离为海里
C．A、B两处岛屿间的距离为海里
D．B、D之间的距离为海里
42．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（    ）
A． B．
C．或 D．

四、填空题
43．甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________．
44．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为______海里.

45．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A，B两点间的距离），现取与A，B两点在同一平面内的两点C，D，测得C，D间的距离为1500米，，，，则A，B两点的距离为______米．

46．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为______．

47．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高______．

48．揭阳楼位于市区东入口，是我市的标志性建筑．如图，在揭阳楼旁地面上共线的三点A，B，C处测得楼檐上某点的仰角分别为，，，且米，点在地面的投影为，则________米．


参考答案：
1．D
【分析】根据题中条件，在中先由余弦定理求出，利用同角三角函数关系求出，利用正弦定理可求出，然后在中利用正弦定理求解
【详解】解：设，则，
在中，由余弦定理可得，，
所以 ，
在中，由正弦定理得，，
则 ，
所以，
在中，由正弦定理得，，则
，
故选：D
【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题.
2．A
【分析】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解
【详解】由正弦定理可得



又因为三角形是锐角三角形，
所以，即，也即,
所以，
所以，，，
，
所以的取值范围是，
故选：A
3．B
【分析】根据给定条件，在和中分别求出AE，CE，再利用余弦定理计算作答.
【详解】在中，，，则，
在中，，，则，
在，由余弦定理得：，
即，解得，
所以两山顶A，C之间的距离为．
故选：B
4．D
【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得天文台的高度.
【详解】在直角三角形ABM中，
在△ACM中，，
故
由正弦定理，，
故
在直角三角形CDM中，
，
∵

∴.
故选：D
5．C
【分析】根据给定的几何图形，利用直角三角形的边角关系、正弦定理求解作答.
【详解】依题意，，
在中，，在中，，
，由正弦定理得：，
在中，（米），
所以通信塔CD的高为米.
故选：C
6．C
【分析】用分别表示，在中，利用余弦定理可得答案.
【详解】在中，，，
在中，，，
在中，由余弦定理得，
即，解得米.
故选：C.

7．C
【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解长度.
【详解】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.
故选：C
8．B
【分析】首先设在点处相遇，设，则，再利用正弦定理求解即可.
【详解】如图所示：设在点处相遇，设，则，

由题知：，
由正弦定理得：，解得.
因为，所以，即.
故选：B
9．A
【分析】由题意可知的值，利用正弦定理即可求解.
【详解】解：由题意可知，，海里，
由正弦定理可得=，代入数据得.
故选：C.
10．(1)
(2)

【分析】（1）先由正弦定理求出，结合得到，从而得到；（2）求出，进而得到角C的余弦值，再使用余弦定理求出的长.
【详解】（1）在中，由正弦定理得 ，
所以，
又
所以，.
（2）由，且知：
所以，直角三角形中，
在中，由余弦定理得

所以，.
11．(1)；
(2).

【分析】（1）同角三角函数关系可得，再应用差角正弦公式求、，进而求.
（2）应用正余弦定理分别求出BC、AC即可得结果.
【详解】（1）∵，
∴，
则
．
所以，
所以．
（2）在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，
在中，由余弦定理得，即AC＝7，
所以．
12．(1)
(2)

【分析】（1）选①：用余弦定理可得；选②：由内角和定理化简，再由二倍角公式可得；选③：由正弦定理边化角可得；
（2）由已知结合（1）可求，再由正弦定理可得b、c比值，利用余弦定理可表示出a，然后由已知和余弦定理可解.
【详解】（1）选①：由题知；
选②：，因为，，
所以；
选③：由正弦定理边化角可得：，同②可得.
因为，所以
（2）因为，，
所以由解得
所以
所以
记
则，即
因为，所以
所以，得
所以
因为，所以，所以
13．(1)
(2)

【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得，进而得，从而得到；
（2）连接BD，由已知得，，可得，利用正弦定理可得，最后利用余弦定理求得．
【详解】（1）由，
得，
即，
由正弦定理，得，
整理，得，
∴，
又，∴，∴，
又，∴；
（2）连接BD，因为，，，
所以，，
所以，所以．
又，所以，
在中，由正弦定理可得，即，
所以．
在中，由余弦定理可得
，
所以．

14．(1)
(2)

【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
【详解】（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
15．(1)；
(2).

【分析】（1）由题设易得，，再在直角△中应用勾股定理求BE的长；
（2）利用正弦定理求得且，结合差角正弦公式及同角平方关系求，即可求五边形ABCDE的周长．
【详解】（1）由，，可得：，，
而，故，
在直角△中，则.
（2）由（1）知：，则，
，
由且，则，
所以.
所以五边形ABCDE的周长.
16．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的余弦值和正弦值，然后利用两角和的正弦公式可求得结果；
（2）在中，利用正弦定理可求得的长；
（3）求出的值，利用余弦定理可得出关于的方程，求出的长，利用三角形的面积公式可求得的面积．
【详解】（1）解：因为，则为钝角，
由，可得，．

.
（2）解：在中，由正弦定理得，即，
解得.
（3）解：因为，则，
所以，，
，
在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍）．
.
17．(1)直角三角形，证明见解析
(2)5

【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；
（2）根据正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，结合中垂线性质即可得解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得
又，所以
化简得：，，
所以，，

所以，是直角三角形
方法二：
在中，由余弦定理得
整理得，
所以， 是直角三角形
（2）方法一：
在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题（1）知，.
在中，由余弦定理得
.
所以.
方法二：

作 ，垂足为 ， ，垂足为,则，
在中
所以，为的中垂线
所以
18．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得；
（2）选①：由根据等面积法求解即可；
选②：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；
选③：根据，结合面积公式可得.
【详解】（1）在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且
，可得，
 由余弦定理可得
，

（2）选①：AD是的高，
由余弦定理得，
所以
所以根据等面积法得，
；
选②：是的中线，
，
，
，，，

；
选③：AD是的角平分线.
由于，
所以，

解得
19．(1)
(2)

【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度.
（2）利用角平分线性质及面积公式得到，再利用基本不等式得出最值.
【详解】（1）解：因为，
依据正弦定理，
所以，
即，
由余弦定理变形知，
因为，所以．
因为，，
则在中，由正弦定理得：
又，
因为，所以．
（2）法一：因为，
是的角平分线，
而，
所以，
即，
所以，
因为，，，且，故AD
当且仅当取等，
所以最大值为．
答：当时，最大值为．
法二：因为,
设，，
在，中由正弦定理知：
①，
②，
因为，所以①②得，

，
令，，
由于，
所以，易得此函数在为单调递增函数，
所以当时，最大值为．
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．
20．(1)；
(2)

【分析】（1）先由正弦定理得，化简整理得，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）先由面积求得，再由角平分线得，结合平面向量得，平方整理求得，再由（1）中即可求出c的值.
【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，
化简得，由余弦定理得，又，则；
（2）
由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，
即，则，
所以，即，
整理得，又，解得，则，
由（1）知，则.
21．(1)
(2)．

【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得，再由正弦定理求.
（2）由（1）求出角，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC边上中线的长．
【详解】（1）由，有，
又，所以，即，
由余弦定理，得．
又，所以，
由及正弦定理，得，所以，
由，得，所以，解得.
（2）由（1）可知，，所以，
所以，由，得．
因为的周长为，
所以，解得．
设BC的中点为D，则，如图所示:

在中由余弦定理，得：
，
所以BC边上中线的长为．
22．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.
（2）由可得，根据以及余弦定理即可求出.
【详解】（1），
所以，
由正弦定理得：，
，，
，，
得，即，
.
（2）,
,得，
由余弦定理得：，
，

所以，
即AD的长为.
23．(1)
(2)条件①：；条件③：

【分析】（1）利用正弦定理进行边化角得，再结合两角和公式展开整理；（2）根据三角形全等可知：条件①、③满足题意，条件②利用余弦定理计算可得或不合题意，条件①：根据，结合等面积运算处理；条件③：利用余弦定理结合等面积运算处理．
【详解】（1）∵，则
即，整理得
∵，则
（2）设BC边上高线的长为
条件①：，则
，根据三角形全等（角角边）可知△ABC存在且唯一确定
∴
则，解得
即BC边上高线的长为
条件②：，即
，则或
此时满足条件△ABC的三角形有两个，条件②不合题意
条件③：根据三角形全等（边角边）可知△ABC存在且唯一确定
，即，解得：
则，解得
即BC边上高线的长为
24．(1)；
(2).

【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可.
（2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值.
【详解】（1）由，故，而，
所以，故.
（2）由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，则或（舍），
所以，则，即，
，而，
所以，当时有最大值为.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值.
25．(1)
(2)

【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.
【详解】（1）及，
，化简得，
，又，.
（2）由（1）可得



为锐角三角形，
且，，
.
，，
故的取值范围为.
26．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式计算可得；
（2）根据数量积的定义及正弦定理得到，再根据，将两角的三角函数化为一角的三角函数，再利用两角和差的正弦公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，又因为，所以；
（2）解：








又因为，所以，所以
所以.
27．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由余弦定理、基本不等式计算可得.
【详解】（1）解：由正弦定理及，得.
所以由余弦定理得，
又，所以.
（2）解：因为，，由余弦定理得，
则，所以，当且仅当时取等号，
即，解得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
28．(1)
(2)

【分析】（1）根据已知结合和的余弦公式和二倍角公式化简可得即可求出；
（2）利用正弦定理化边为角，由正弦函数的性质即可求出.
【详解】（1）由可得
，
化简可得，
即，又因为三角形为锐角三角形，所以．
（2）根据正弦定理，可得
，
故，
又因为，所以．
29．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案.
（2）由正弦定理可得，根据的范围求出的值域，即可求出周长的取值范围.
【详解】（1）∵，∴，
由正弦定理，得．
又，∴，
由于，∴．
（2）∵，，
由正弦定理，得，．
．
∵，∴，则．
∴．
∴，则．
故周长的取值范围为．
30．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换化简，即可得出答案；
（2）利用余弦定理结合，平方，将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合三角函数得性质即可得出答案.
【详解】（1）解：因为
所以，
则，
即，
所以，
又，则，
所以，即，
由，得，
所以，
所以；
（2）解：因为，
所以，
因为D为AC的中点，
所以，
则，
因为，
所以，
，
则
，
因为，所以，
所以，
则，所以，
所以.
31．(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理实现边角互化，结合余弦定理即可求解;（2）根据余弦定理边的关系以及均值不等式即可得到，进而根据面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，
所以，又因为
故．
（2）方法1：由余弦定理得，当时等号成立
又，所以△ABC面积的最大值为．
方法2：由正弦定理，得，
所以，，
，
又，所以，
所以
，
当时，△ABC的面积最大，最大值为．
32．(1)；
(2).

【分析】（1）将已知条件两边平方得到，结合三角形内角性质求得，进而可求.
（2）由，根据已知模长及向量数量积的运算律可得，结合基本不等式求得，进而求面积最大值，注意等号(最大值)成立条件.
【详解】（1）由题设，
所以，又，故，
所以，故.
（2）
，
所以，
则，故，
所以面积，当且仅当时等号成立，
故面积的最大值为.
33．(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理将边化角或根据余弦定理将角化边.
（2）根据正弦定理和面积公式求解即可.
【详解】（1）(解法一)因为，
所以
则，
即
因为，所以，
因为所以.
(解法二)由全弦定理，
得
整理得.
所以，
因为所以.
（2）因为，所以，.
所以


因为△ABC为锐角三角形，所以解得.
所以，
所以.
34．（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（Ⅱ）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（Ⅱ）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可得，所以，
所以.
35．(1)
(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.
【详解】（1）
令，则
所以，单调减区间是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
36．(1)的最小正周期.在上递增，在上单减.
(2)或.

【分析】（1）先求出，即可求出最小正周期和单调区间；
（2）先求出角A，再利用正弦定理求出角C，即可求出B，进而求出的面积．
【详解】（1）因为向量，向量，函数，
所以




所以函数的最小正周期.
令，因为，所以.
因为在上递增，在上单减，
所以在上递增，在上单减.
（2）由题意及（1）中的单调性，可得：.
在中，，，由正弦定理得：，解得：.
所以或.
当时，,所以的面积;
当时，,所以的面积.
故的面积为或.
37．（1），；（2）.
【分析】（1）化简得出，由可求解；
（2）由可得，由正弦定理化简得出，根据的范围即可求出.
【详解】（1）由条件可得：，
∴，
所以函数零点满足，
则，得，；
（2）由正弦定理得，
由（1），而，得，
∴，，又，得，
∴代入上式化简得：
，
又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.
∴.
38．（1），；
（2）当时，取最大值.
【分析】（1）本题可通过正弦定理得出、；
（2）本题首先可根据题意得出，然后通过余弦定理得出，通过转化得出，最后通过以及正弦函数的性质即可求出最值.
【详解】（1）因为，，，
所以，，.
（2）因为，，所以，
在中，由余弦定理易知，
即

，
因为，所以，，
当，即时，
取最大值，取最大值，
此时，
，
故当时，取最大值.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.
39．(1)，，.
(2).

【分析】（1）依据直角三角形直接写出的范围，然后根据正弦定理可得，关于的函数关系式.
（2）根据（1）的条件可得，并结合辅助角公式，简单计算以及判断即可.
【详解】（1）由题意知，

．
（2）
．
当且仅当时，取“”．
40．ACD
【分析】根据正弦定理，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由
，
因为，所以，因此，
因为，所以，因此选项A正确，选项B不正确；
因为是中线，所以由
，或舍去，
因此，所以选项C正确；
△ABC的面积为，所以选项D正确，
故选：ACD
41．BC
【分析】根据三角形的内角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角三角形性质求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C.
【详解】解：由题意可知，，，，，
所以，故A错误；
，
在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确；
在中，因为，，所以(海里)，故D错误；
在中，由余弦定理得，
(海里)，故C正确.
故选：BC.
42．ABD
【分析】先根据题意画出平面图，再根据正、余弦定理解三角形即可得答案.
【详解】解：如图：在中，，
由正弦定理有， ，故A正确.

在中，由余弦定理得，
因为， 所以，故B正确
由正弦定理得，
所以，故或者，
因为，故为锐角，所以，故C不正确，D正确.
故选：ABD.
43．30
【分析】依题意画出图形，求出、、，再由正弦定理计算可得.
【详解】解：如图，由题意得，，所以，
由正弦定理，得．

故答案为：
44．
【分析】分别在和中利用正弦定理计算，，再在中利用余弦定理计算．
【详解】连接，
由题意可知，，，，，
，，
在中，由正弦定理得，，
在中，
，，．
在中，由余弦定理得．
故答案为：
45．
【分析】在，中分别求出边AD，BD，再在中利用余弦定理求解作答.
【详解】如图，在中，，而，则，

因此，，在中，，则，
由正弦定理得：，
在中，由余弦定理得，
所以A，B两点的距离为（米）.
故答案为：
46．20
【分析】这是解三角形的应用问题，利用正弦定理解三角形即可.
【详解】在中，，，
所以，又，
在中，由正弦定理有：
，解得BC=
在直角中，因为，所以
.  
故答案为：20.
47．
【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．
【详解】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
48．
【分析】设，由边角关系可得，，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.
【详解】设，因为，，则，又， ，所以，.在中，，即①，在中，，即②，因为，所以由①②两式相加可得：，解得：，则，
故答案为：.