高中数学3.1 函数的概念及其表示课时作业

专题3.1 函数概念及其表示

【知识储备】

1．函数的概念

一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

4．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

必备技巧  函数的概念

(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．

(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.

一、单选题

1．若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故错误；

C中图象不表示函数关系，因为存在一个对应两个，不满足函数定义；

D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.

只有中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.

2．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有(       )个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解析】由函数的定义知，①不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]；②不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]；

③不能表示集合到的函数关系，因为对于一个x，可能有两个y值与之对应；

④能表示集合到的函数关系.

故满足题意的有④，共1个.

故选：A.

3．函数＋的定义域为（       ）

A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)

C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)

【来源】黑龙江省绥化市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

【答案】C

【解析】要使函数＋有意义，则

所以，解得且，

所以函数＋的定义域为∪(3，＋∞).故选：C.

4．下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【解析】A中，的定义域为，的定义域为R，故A错误；

B中，，B正确；

C中，的定义域为R，的定义域为，故C错误；

D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误.

故选：B

5．已知函数与x的值对应如下表，

那么函数的定义域为（     ）

A． B． C． D．

【来源】广西普通高中2021-2022学年高二6月学业水平考试 数学试题

【答案】A

【解析】由题意知：函数的定义域为.

故选：A.

6．下列关于函数与区间的说法正确的是（       ）

A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集

B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了

C．数集都能用区间表示

D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应

【答案】D

【解析】对于A，函数的定义域和值域均为非空数集，A错误；

对于B，若函数的定义域和值域均为，对应法则可以是，也可以是，B错误；对于C，自然数集无法用区间表示，C错误；

对于D，由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应，D正确.

故选：D.

7．已知函数，则的值是（       ）．

A． B．0 C．1 D．20

【来源】广西十八校2021-2022学年高一10月联考数学试题

【答案】B

【解析】，

则

故选：B

8．已知函数，则等于（       ）

A． B． C． D．0

【来源】安徽省皖北县中联盟2021-2022学年高一上学期12月联考数学试题

【答案】D

【解析】由题意，函数，令，解得，

令，可得.

故选：D.

9．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（       ）

A．3 B．8 C．9 D．16

【来源】陕西省西安市阎良区2021-2022学年高二下学期期末数学试题

【答案】C

【解析】根据题意设，则，

因为，

所以，解得，

所以，

所以，

故选：C

10．已知，函数，若，则（       ）

A．0 B．2 C．5 D．6

【来源】吉林省吉林市2022届高三第四次调研测试数学（理）试题

【答案】B

【解析】因为，所以，

故选：B

11．函数的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【来源】专题06 函数的图像（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

【答案】C由题意，函数，

因为，即函数的图象过点，可排除A、B项；

又因为，可排除D项，

故选：C.

12．设函数，则的值为（       ）

A． B． C． D．18

【答案】B

【解析】，故选：B

13．某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用和表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数，使得这些点都在的图象上，若，则下列叙述正确的是（       ）

A．该月12日是星期二，有五天是星期二 B．该月12日是星期一，有四天是星期二

C．该月23日是星期六，有五天是星期六 D．该月23日是星期二，有四天是星期二

【来源】安徽省阜阳市2021-2022学年高三上学期期末教学质量统测文科数学试题

【答案】C

【解析】由题意及可知，7月4日是星期一，列表如下：

可知选项C正确.

故选：C.

14．设函数，若，则实数a的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，，则

1°时，，则无解．

2°时，，∴，∴

时，，则；时，无解

综上：.

故选：B．

15．已知函数，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为函数，且，

当时，，即，

解得或，

当时，，无解，

综上：，

所以，

故选：A

16．设函数，若是函数的最小值，则实数a的取值范围是(       )

A．[﹣1，2] B． C． D．[0，2]

【答案】D

【解析】由题意，不妨设，，

①当时，由一元二次函数的性质可知，在上单调递增，

故对于，，这与是函数的最小值矛盾；

②当时，，，

由一元二次函数的性质可知，在单调递减，

故对于，，

当时，在时取得最小值2，

从而当时，满足是函数的最小值；

③当时，由一元二次函数性质，在上单调递减，

故对于，，

当时，在时取得最小值，

若使是函数的最小值，只需且，解得，.

综上所述，实数a的取值范围是.

故选：D.

17．已知函数在上有最大值，那么实数的取值范围为（       ）

A．（0，1） B．（1，2） C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知在区间上是增函数，在区间上是减函数，

且最大值在处取得则∴.故选：D

18．定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则（       ）

A．336 B．338 C．337 D．339

【来源】江西省宜春市奉新县第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题

【答案】B

【解析】：因为当时，，所以，（1），（2），

又因为，所以函数的周期为6，（6），

当时，，所以（3），（4），（5），

所以（1）（2）（3）（4）（5）（6），

故（1）（2）（3）（1）．故选：B．

19．设函数，则的表达式为（       ）

A．  B．

C． D．

【来源】安徽省六安市第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题

【答案】B

【解析】令，则可得

所以，所以故选：B

20．已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出，在上的图象如下图所示：

因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方（可以部分点重合），

且，令，所以，所以，

根据图象可知：当经过点时，有最小值，，

当经过点时，有最大值，，

综上可知的取值范围是，故选：C.

二、填空题

21．已知函数对于任意的正实数x，y满足，且，则=______．

【来源】黑龙江省哈尔滨第九中学校2022届高三下学期第四次模拟考试文科数学试题

【答案】4

【解析】由题可知，．

故答案为：4.

22．函数，则=_______．

【来源】甘肃省兰州市教育局第四片区2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题

【答案】##2011.5

【解析】∵，且

∴

故答案为：．

23．已知函数．若，则m=______．

【来源】山东省德州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题

【答案】3

【解析】由已知．

，，

故答案为：3．

24．设函数，若，则实数的值为_____．

【来源】2.4.2 函数的表示（培优讲义）-2022年初升高数学无忧衔接

【答案】

【解析】由题意知，；

当时，有，解得(舍去)；

当时，有，解得(舍去)或．

所以实数的值是：．

故答案为：.

25．已知函数，则_____.

【来源】湖南省永州市第二中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题

【答案】#1.125

【解析】∵，，

因此，.故答案为：.

26．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.

【来源】辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题

【答案】

【解析】函数的定义域为，即，所以，

所以，即，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

27．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】的定义域是R，则恒成立，

时，恒成立，

时，则，解得，

综上，．

故答案为：．

28．函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________．

【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题

【答案】

【解析】当时，，

当且仅当即时取等号，

函数，若恒成立，则，即，解得，

故答案为：.

29．若方程，若方程无解，则实数t的取值范围是______．

【来源】上海市民办南模中学2022届高三下学期3月月考数学试题

【答案】

【解析】当时，时，，当时，方程，方程无解,

当时，时，，方程有解,不符合题意.

当时，时，,无解，当时，方程时，方程有解, 不符合题意.

当时，时，,无解，当时，方程时，方程无解.

综上，方程无解，则实数t的取值范围是.

故答案为：

30．设，，若恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

作出函数的图像，向右平移一个单位得到的图像，如图所示.

要使恒成立，必有，即，

又，所以.

故答案为：