高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数同步达标检测题

专题3.3 幂函数

1 幂函数的定义

一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数．

注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数；

2正数的正分数指数幂的意义

(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：

巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母)

(2)正数的正分数指数幂的意义：

(3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.

3幂函数图像及其性质

(1) 幂函数的图象．

(2) 幂函数的性质

(3)性质

① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；

② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数．

特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸.

③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

一、单选题

1．幂函数在上单调递减，则实数m的值为（       ）

A． B．3 C．或3 D．

【答案】A

【解析】因为是幂函数，

故，解得或，

又因为幂函数在上单调递减，所以需要，则故选：A

2．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据幂函数的性质，

在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，

所以由图像得：，故选：D

3．已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

【答案】B

【解析】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因为，所以，因为，可得.故选：B

4．已知幂函数在上单调递减，设，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【来源】广东省梅州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

【答案】C 根据幂函数的定义可得，解得或，

当时，，此时满足在上单调递增，不合题意，

当时，，此时在上单调递减，

所以.因为，

又，所以，

因为在上单调递减，所以，

又因为为偶函数，所以，

所以.故选：C

5．设，，，，则这四个数的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【来源】广东省湛江市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】B

【解析】：∵，∴，

又，∴，

故.故选：B.

6．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】广东省广雅中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

【答案】B

【解析】是增函数，

，

是减函数，在上是增函数，

故选：B

7．已知函数，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．  C． D．

【答案】A

【解析】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．

故选：A.

8．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（       ）

A．恒大于0 B．恒小于0

C．等于0 D．无法判断

【来源】青海省西宁市大通回族土族自治县2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

【答案】A

【解析】由函数是幂函数，可得，解得或．

当时，；当时，．

因为函数在上是单调递增函数，故．

又，所以，

所以，则．

故选：A．

9．已知函数是减函数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数是减函数，

所以幂函数为减函数，一次函数为减函数，

所以，解得：，

所以实数a的取值范围是

故选：B

10．设,若,则

A．2 B．4 C．6 D．8

【来源】第13讲 函数的表示方法-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

【答案】C

【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.

11．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

【来源】江西省丰城中学2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题

【答案】C

【解析】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．

12．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，则的值（        ）

A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断

【答案】A

【解析】由已知函数是幂函数，

可得，解得或，当时，，当时，，

对任意的，且，满足，

函数是单调增函数，所以，此时，

又，可知异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，

则恒大于，故选A.

13．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

【来源】宁夏石嘴山市平罗中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

【答案】C

【解析】：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

14．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设幂函数，

因为函数的图象过点，

所以，所以，故，

所以.

令，所以，

则，

所以当时，. 故选：C.

二、填空题

15．已知幂函数在上单调递减，则______．

【来源】河北省安新中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

【答案】##

【解析】：由题意得且，则，，故．

故答案为：

16．已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】幂函数在上是减函数，

，解得，

，或．当时，为偶函数满足条件，

当时，为奇函数不满足条件，

则不等式等价为，即，

在R上为增函数，，解得：.故答案为：.

17．写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．

①；②；③任取，，且．

【答案】（答案不唯一）

【解析】取，函数为幂函数，满足①；，则函数为偶函数，满足②；③表示函数在上单调递增，由幂函数的性质可知满足③.

故答案为：（答案不唯一）

18．已知是奇函数，当时，，则______．

【来源】山东省济宁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

【答案】-4

【解析】因为是奇函数，当时，，

所以，得，

所以，，

因为是奇函数

所以，

故答案为：

19．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.

【答案】

【解析】幂函数在上单调递减，故，解得.

，故，，.

当时 ，不关于轴对称，舍去；

当时 ，关于轴对称，满足；

当时 ，不关于轴对称，舍去；

故，，函数在和上单调递减，

故或或，解得或.

故答案为：

20．若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______

【来源】重庆市巫山县官渡中学等两校2021-2022学年高一上学期期末数学试题

【答案】

【解析】由题意，不妨设，

因为幂函数过点，则，解得，

故为定义在上的奇函数，且为增函数，

因为，则，

故，解得，

从而实数的取值范围是.

故答案为：.