第二章 一元二次函数与不等式（综合检测培优卷）-【满分计划】高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数与不等式

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当时，不等式为，对恒成立，所以满足条件

当时，不等式为，解集为，不满足题意

当时，对应的二次函数开口向上，的解集一定不是R，不满足题意

当，时，若不等式的解集为R，则，解得：，综上，

故选：B

2．不等式的解集是，则的解集是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】：因为不等式的解集是，

所以方程的两根为，

所以由韦达定理得，，即，

所以，解不等式得解集为

故选：C

3．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，，，即 ，

故问题转化为在上有解，

设，则，，

对于 ，当且仅当时取等号，

则，

故 ，

故选：A

4．若实数，，满足，以下选项中正确的有（       ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】D

【解析】实数，，，

整理得，当且仅当时取，故选项A错误；

(，

当且仅当时取，故选项B错误；

，，

，当且仅当时取，

但已知,故不等式中的等号取不到，

，故选项C错误；

，

，

，当且仅当时取，故选项D正确，

故选：D

5．设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论的序号为（       ）

A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③

【答案】B

【解析】

【分析】因为，故，故①正确；

不妨取 ，满足，但，故②错误；

由，可得，故③错误；

由于，则，而，

故，即，故④正确，

故选：B

6．已知，，，则下列结论正确的是（       ）

A．的最大值为9 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】D

【解析】对于A，因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故A错误；

对于B，，

当时（此时）取得最小值，故B错误；

对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以，即的最大值为，故C错误；

对于D，，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，故D正确.

故选：D.

7．已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】不等式可化为（*）．

当时，（*）式即．

即．

又（当时取等号）

（当时取等号）．

所以，

当时，（*）式为，．

又（当时取等号），

（当时取等号），所以．

综上，．

故选：B．

8．已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】：显然当时，，不满足条件；

当时，易知，当时，，于是，

而由，可得，即，所以也不满足条件，

当时，函数，

因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方，

如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方，

只要即可，即，

化简可得，解得，

所以的取值范围为.

综上，的取值范围为.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（       ）

A．，，，

B．

C．

D．

【答案】ACD

【解析】解：对于A：由知，与同号．

若，则，这时，

所以，

此时与矛盾，

所以，．

同理可证，故A正确；

对于B：根据题意可知，

，，，解得．

同理，，

即，故B不正确，D正确；

对于C：由A知，，，，是整数，所以，．

由韦达定理有，

所以，故C正确；

故选：ACD．

10．已知关于x的不等式的解集为则（       ）

A．

B．不等式的解集为

C．

D．不等式的解集为

【答案】BC

【解析】因为关于x的不等式的解集为

所以，是方程，

所以A错误，，则，

对于B，由，得，因为，所以，所以不等式的解集为，所以B正确，

对于C，因为，，所以，所以C正确，

对于D，不等式可化为，因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，所以D错误，

故选：BC

11．下列说法正确的是（       ）

A．不等式的解集为

B．若实数a，b，c满足，则

C．若，则函数的最小值为2

D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是

【答案】AB对A，由解得或，所以A正确；

对B，由于，所以可以对两边同除，得到，所以B正确；

对C，由于，所以当且仅当，即时取等号，显然不成立，所以C错误；

对D，①当时，不等式为，恒成立；

②当时，若要使不等式恒成立，则，解得，

所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，所以D错误.

故选：AB．

12．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】由题设，的解集为，

∴，则，

∴，，则A、D正确；

原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，

∴由图知：，，故B错误，C正确.

故选：ACD.

三  填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若实数满足，则的最小值为__________.

【答案】4

【解析】，设，则，，

，

，

等号在，即，或时成立.

所以的最小值为4.

故答案为：4

14．已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．

【答案】

【解析】：因为正实数，，满足，

则，

因为，，，

所以，当且仅当时取等号，

令，，

则原式

，

当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，

故答案为：.

15．若对任意， 恒成立，则的最大值为_________．

【答案】##

【解析】解：令，则，故，

对任意，，则恒成立，

∴

∴，此时，

∴，当时取等号，

此时成立，

∴的最大值为．

故答案为：．

16．已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．

【答案】

【解析】由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；

②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即

，解得；

③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即

，解得；

由①②③可知，实数a的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17 （10分）

已知二次函数（为实数）

(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；

(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；

(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．

【答案】(1)(2)1(3)

【解析】（1）依题意知，，且方程的两根为1，2由根与系数间的关系得，则．故不等式解得：，即原不等式的解集为．

（2）因为时，恒成立，故得，那，即，所以（当且仅当时等号成立）

（3）令，则，所以．对任意，恒成立，所以恒成立．所以且所以，此时，因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）验证，成立故ab的最大值为．

18 （12分）

求实数的范围，使关于的方程

(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；

(2)有两个实根，且满足；

(3)至少有一个正根.

【答案】(1)(2)

(3)

【解析】

(1)设．

依题意有，即，得．

(2)设．

依题意有，解得．

(3)．

方程至少有一个正根，则有三种可能：

①有两个正根，此时可得，即

②有一个正根，一个负根，此时可得，得．

③有一个正根，另一根为，此时可得

综上所述，得．

19 （12分）已知关于的一元二次函数

(1)若的解集为或，求实数、的值．

(2)若实数、满足，求关于的不等式的解集．

【答案】(1)(2)详见解析

(1)的解集为或，

与是一元二次方程的两个实数根，

，解得．

(2)，关于的不等式化为：，

因式分解为：，

当时，化为，则；

当时，，解得，不等式的解集为；

时，，解得不等式的解集为；

时，，不等式化为：，解得或，不等式的解集为或．

20（12分）

已知函数．

(1)当时，求函数在区间上的值域；

(2)当时，求函数在区间上的最大值；

(3)求在上的最大值与最小值．

【答案】(1)(2)

(3)答案见解析

(1)当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

，

函数在区间上的值域是；

(2)当时，，

，函数在区间上的最大值；

，函数在区间上的最大值；

函数在区间上的最大值；

(3)函数 的对称轴为，

①当，即时，函数在上是增函数，

当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．

②当，即时，

当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．

③当，即时，

a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．

④当，即时，函数在上是减函数，

故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为．

综上，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为

21（12分）

某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元（）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是2万.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元.（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用）

(1)将y表示为x的函数；

(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？

【答案】(1)，.

(2)月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元.

【解析】(1)由题意知当时，，代入

则，解得，.

利润，

又因为，

所以，.

(2)由（1）知，

因为时，，

因为，当且仅当时等号成立.

所以，

故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元.

22（12分）

已知是二次函数，的解集是，且在区间上的最大值是12.

(1)求的解析式；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)(2)详见解析.

【解析】(1)解：因为是二次函数，不等式的解集是，

所以，

又在区间上的最大值是12，

所以，

解得，

所以；

(2)由（1）知不等式为，

即，

因为，即为，

当时，，所以或，

当时，则；

当时，，所以或，

综上：当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集是.