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人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步测试题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步测试题，文件包含专题31函数的概念及其表示解析版docx、专题31函数的概念及其表示原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
1．判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2．函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3．构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4．函数的表示方法：函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
（1）解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
（2）列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
（3）图象法：注意定义域对图象的影响.
5．相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
（1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
（2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.
6．常见基本初等函数定义域的要求为：
（1）分式函数中分母不等于零.
（2）偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
（3）一次函数、二次函数的定义域均为R.
（4）y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
（5）y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝csx的定义域均为R.
（6）y＝lgax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
（7）y＝tanx的定义域为.
7．函数的解析式
（1）函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
（2）求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
8．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
（1）一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
（2）反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
（4）y＝sinx的值域为[−1,1]．
9．分段函数的概念
（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
10．求函数解析式常用的方法
（1）换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
（2）配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
（3）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
（4）方程组法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
一、单选题
1．已知函数f（x﹣1）＝x2+2x﹣3，则f（x）＝
A．x2+4xB．x2+4
C．x2+4x﹣6D．x2﹣4x﹣1
【试题来源】重难点题型精讲-2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）
【答案】A
【分析】利用配凑法来求得函数解析式．
【解析】，所以．故选A
2．已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是
A．B．
C．D．
【试题来源】2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）
【答案】B
【分析】利用凑配法求得解析式．
【解析】，且，
所以．故选B
3．设，则f(f（2）)的值为
A．0B．1
C．2D．3
【试题来源】2020-2021学年高一数学单元复习（沪教版2020必修第一册）
【答案】B
【分析】根据分段函数对应定义域，求得，再求即可得解．
【解析】由题得，所以f(f（2）)．故选B
4．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．，B．，
C．，D．，
【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考
【答案】C
【分析】根据同一函数的定义域、对应法则均要相同的原则，判断各选项中的函数是否为同一函数即可．
【解析】A：，显然与的对应法则不同，不是同一函数；
B：的定义域为，显然与的定义域不一致，不是同一函数；
C：与对应法则、定义域均相同，是同一函数；
D：的定义域，显然与的定义域不相同，不是同一函数．故选C
5．已知函数，则=
A．1B．2
C．-1D．3
【试题来源】福建省福州文博中学2021-2022年高一10月月考
【答案】C
【分析】根据自变量所在范围，代入对应解析式计算得结果．
【解析】，，．故选C
6．下列各对函数表示同一函数的是
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与．
A．（1）（2）（4）B．（2）（4）
C．（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【试题来源】福建省福州文博中学2021-2022年高一10月月考
【答案】C
【分析】分别判断与定义域和对应法则是否相同即可，即可判断两者是否表示同一函数．
【解析】（1）定义域为，定义域为，与定义域不同，所以不表示同一函数；
（2）定义域为，定义域为，与解析式不同，所以不表示同一函数；
（3）与，与定义域相同，解析式相同，值域相同，故两者表示同一函数；
（4）与，与定义域相同，解析式相同，值域相同，故两者表示同一函数；故选C
7．函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为
A．[﹣4，﹣3]B．[﹣4，0]
C．[﹣3，0]D．[0，4]
【试题来源】福建省福州市闽侯县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】B
【分析】根据二次函数的单调性求出最大、最小值可得答案．
【解析】因为函数的对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，因为当时，，
当时，，所以，
所以函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为．故选B
8．矩形的周长为定值a（a0），设它的一条边长为x，则矩形面积的函数的定义域是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】D
【分析】根据矩形的性质可得另一条边的长，由矩形面积公式求解析式，利用即可求定义域．
【解析】由题设，另一条边的长，所以，
即．故选D
9．已知函数，则
A．B．0
C．1D．2
【试题来源】山东省济南市章丘区第四中学2021-2022 学年高一上学期第一次质量检测
【答案】B
【分析】根据题中所给的函数解析式，将自变量代入，即得．
【解析】因为，所以．故选B．
10．下列四组函数中，与表示同一函数是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省广州市第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】B
【分析】分别判断和的定义域和对应法则是否一样，便可判断函数是否为相同函数．
【解析】A：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域不相同，所以不是同一函数．A错误；
B：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域相同，且函数，对应关系相同，所以是同一函数．B正确；
C：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域不相同，所以不是同一函数．C错误；
D：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域不相同，所以不是同一函数．D错误；故选B
11．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．与B．与
C．与D．与
【试题来源】江苏省星海中学2021-2022学年高一上学期十月月考
【答案】D
【分析】先判断函数的定义域，若定义域相同，再化简函数，判断化简之后的解析式，解析式相同，则为同一函数．
【解析】A：选项中定义域与解析式均不相同，故不表示同一函数，故A不正确；
B：，定义域为，定义域为，故不是同一函数，B不正确；
C：定义域为，定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C不正确；
D：，与定义域、解析式均相同，是同一函数，D正确；故选D
12．定义在R上的函数满足，，则等于
A．10B．6
C．12D．16
【试题来源】宁夏银川唐徕回民中学2021-2022学年高一10月月考
【答案】C
【分析】根据题目的的等量关系，运用赋值法即可求得答案．
【解析】令得，
令，得．故选C
13．下列函数中，表示同一个函数的是
A．与B．与
C．与D．与
【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】D
【分析】根据函数的定义，只有两个函数的定义域和对应法则相同，这两个函数才相同，由此对选项一一判断，即可得到结果．
【解析】对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；
对于，函数，故对应法则不相同，故选项中的函数不是同一函数；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；
对于，这两个函数的定义域和对应法则都相同，故选项为同一函数．故选．
14．下列函数中，与函数有相同图象的一个是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省东莞市东莞中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】C
【分析】BD选项定义域不同，A选项对应法则不同，C选项符合题意．
【解析】A选项与函数对应法则不同，
B选项定义域为与函数不是相同函数，所以图象不同，
C选项与函数有相同图象，
D选项定义域为与函数不是相同函数，所以图象不同．故选C
15．函数的定义域为
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段考
【答案】B
【分析】解不等式组即得解．
【解析】由题得，解之得且．
所以函数的定义域为．故选B
16．下列对应关系中是到的函数的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】D
【分析】根据函数的定义，结合对应关系，逐项判定，即可求解．
【解析】对于A中，集合中的数0在集合中没有与之对应的数，所以这不是从到的函数；对于B中，集合中所有的小于-1的数在集合中都没有与之对应的数，
所以这不是从到的函数；
对于C中，因为负数不可以开方，所以集合中的负数均不满足对应法则，
所以这不是从到的函数；
对于D中，对于集合中的每一个数，在中都有唯一一个数与之对应，所以这是从到的函数．故选D．
17．函数的定义域是
A．B．
C．D．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】B
【分析】由题意可得，解之即可求出结果．
【解析】由题意可得，解得，
故函数的定义域是，故选B．
18．已知函数的图象经过点（5，4），则实数的值为
A．3B．4
C．5D．6
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第二课时）
【答案】C
【分析】将点坐标代入函数解析式，解方程即可求出结果．
【解析】由题意可得，解得，故选C．
19．函数的定义域为
A．B．
C．D．
【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】B
【分析】根据题意，结合根式与分式有意义的条件，即可求解．
【解析】由题意得，，解得且，
故函数的定义域为．故选B．
20．已知实数，函数，若，则的值为
A．B．
C．D．
【试题来源】2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）
【答案】A
【分析】分别讨论和时，，与的大小关系，进而可得与的表达式，解方程即可求解．
【解析】因为，当时，，
此时等价于，
所以，解得，不满足，舍去；当时，，
此时等价于，
所以，解得，符合题意，综上可得，故选A．
21．下列各组函数是同一函数的是
①与；
②f（x）＝x与；
③f（x）＝x0与；
④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1．
A．①②B．①③
C．③④D．①④
【试题来源】2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）
【答案】C
【分析】函数的三要素是定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．
【解析】①f（x）与y的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②|x|与f（x）＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f（x）＝x0与都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④．故选C
22．函数的值域为
A．B．
C．D．
【试题来源】备战2022年高考数学一轮复习考点一遍过（新高考地区专用）【名师堂】
【答案】B
【分析】令，则，再根据二次函数的性质求出的最大值，进而可得的范围，再计算的范围即可求解．
【解析】令，则且，因为，
所以，所以，即函数的值域为，故选B．
23．已知函数，那么的值为
A．25B．16
C．9D．3
【试题来源】福建省连城县第一中学2021-2022学年高一10月第一次月考
【答案】C
【分析】由分段函数的定义求解即可
【解析】因为，所以，故选C
24．函数的定义域为
A．B．
C．D．
【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考
【答案】D
【分析】由偶次根式和分式的基本要求可构造方程组求得结果．
【解析】由题意得，解得或，
的定义域为．故选D．
25．点在函数的图象上，当时，的取值范围是
A．B．
C．D．
【试题来源】福建省福州市长乐第一中学2021-2022学年高二10月月考
【答案】C
【分析】利用函数的解析式结合反比例型函数的单调性可求得的取值范围．
【解析】因为，则，所以，，
所以，．故选C．
26．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A．B．
C．D．
【试题来源】山东省济南市章丘区第四中学2021-2022 学年高一上学期第一次质量检测
【答案】A
【分析】根据抽象函数定义域的求解方法可得不等式组，解不等式组求得结果．
【解析】定义域为， ，解得，
的定义域为，故选
27．已知函数的定义域为，则函数的定义域是
A．B．
C．D．
【试题来源】辽宁省沈阳市一二〇中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】B
【分析】求出使新函数式有意义的自变量范围即可．
【解析】由题意，解得且．
所以定义域为．故选B．
28．关于函数的定义域为R，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【试题来源】上海市宝山中学2021-2022学年高二上学期10月月考
【答案】D
【分析】根据给定条件分情况讨论，再借助方程没有实数根即可计算作答．
【解析】因函数的定义域为R，则，有成立，
当时，成立，则，
当时，恒成立，即不成立，一元二次方程没有实数根，于是得，解得，
综上得，所以实数的取值范围是．故选D
29．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为
A．B．
C．D．
【试题来源】备战2022年高考数学一轮复习考点一遍过（新高考地区专用）【名师堂】
【答案】B
【分析】根据图象可得的解析式，进而可得的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解．
【解析】由题图可知，，所以直线的方程是，
因为，所以直线的方程为，
所以，所以，
当时，在上单调递增，此时函数的值域为；
当时，，
所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
此时函数的值域为，综上可知，函数的值域为，故选B．
30．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是
A．B．
C．D．
【试题来源】福建省连城县第一中学2021-2022学年高一10月第一次月考
【答案】B
【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解
【解析】函数的定义域为，即不等式的解集为
（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；
综上，的取值范围为故选B
二、多选题
1．下列四个函数中，与表示不是同一函数的是
A．B．
C．D．
【试题来源】吉林省长春市第二中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】ACD
【分析】根据同一函数的意义逐一分析各选项判断即得．
【解析】函数的定义域是R，值域是R，
对于A，函数定义域是，则A不是；
对于B，函数的定义域是R，值域是R，并且有，则B是；
对于C，函数值域是，则C不是；
对于D，函数定义域，则D不是．故选ACD
2．中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是
A．B．
C．D．
【试题来源】浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段性测试
【答案】BD
【分析】根据函数定义逐一判断即可．
【解析】A．，当，但，A不是；
B．，任意，都有，B是；
C．，当，但，C不是；
D．，任意，都有，D是；故选BD．
3．若函数的值域是，则实数的可能取值是
A．6B．7
C．8D．9
【试题来源】河北省正定中学2020-2021学年高一上学期第一次半月考
【答案】CD
【分析】由题意，要使的值域为，只需要的值域包括0即可．
【解析】令，要使值域包括0，即最小值小于等于0．
那么：，解得．故选CD．
4．下列函数，与函数的值域不相同的是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省东莞市东莞高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】AB
【分析】求得函数值域为，再结合选项一一分析值域即可．
【解析】函数值域为，对A项，，故值域为，则A正确；
对B项，由于，所以值域为，则B正确；
对C项，由，得值域为，则C错；
对D项，由得值域为，则D错故选AB
5．已知可用列表法表示如下：
若，则可以取
A．B．
C．D．
【试题来源】黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区齐齐哈尔中学2020-2021学年高一上学期期中
【答案】BCD
【分析】根据所给函数关系一一代入计算可得；
【解析】当时，，故不适合；
当时，适合；当时，适合；
当时，适合，所以或或．故选BCD
6．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
【试题来源】【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）
【答案】AD
【分析】设，代入列方程组求解即可．
【解析】设，由题意可知，
所以，解得或，所以或．故选AD．
7．下列四个函数：①；②；③；④．其中值域为R的函数有
A．①B．②
C．③D．④
【试题来源】福建省厦门松柏中学2021-2022学年高一10月第一次月考
【答案】AD
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质得出值域即可．
【解析】对于①，易知，一次函数的值域为；
对于②，因为，所以，即
对于③，因为，所以
对于④，当时，；当时，，即，故选AD
8．下列四组函数中，与表示同一函数的是
A．，B．，
C．，D．，
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】AD
【分析】根据同一函数的定义即可求解．
【解析】对于选项A：因为与的定义域均为，，
即与的解析式也相同，故与是同一函数，从而A正确；
对于选项B：因为的定义域为，的定义域为，
所以与的定义域不同，故与不是同一函数，从而B错误；
对于选项C：因为，，
所以与的解析式不相同，故与不是同一函数，从而C错误；
对于选项D：因为，，
所以与的解析式相同，且定义域也相同，故与是同一函数，从而D正确．故选AD．
9．下列函数中哪些函数与不是同一个函数
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省广州市真光中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义判断．
【解析】函数的定义域是，值域也是，的定义域是，不是同一函数，的值域是，不是同一函数，的定义域是，不是同一函数，的定义域和值域都是，对应法则为相同，是同一函数．
故选ACD．
10．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省广州市第六十五中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】AC
【分析】利用函数的概念判断．
【解析】A． 因为的定义域为R，的定义域为 ，故不是同一函数；B． 因为，故是同一函数；
C． 因为的定义域为R， 的定义域为，故不是同一函数；
D． 因为，故是同一函数，故选AC
11．下列各组函数是同一个函数的是
A．与B．与
C．与D．与
【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段考
【答案】BD
【分析】当且仅当两个函数的定义域和对应关系相同，两函数是同一个函数，所以分别求各选项中两函数的定义域，若定义域相同，再判断对应关系是否相同即可．
【解析】对于A：与的定义域都是R，对应关系不同，因此不是同一函数；
对于B：与，定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；
对于C：的定义域为R，与的定义域为，
定义域不同，因此不是同一函数；
对于D：与，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数．故选BD．
12．下列函数中，值域是的是
A．B．
C．D．
【试题来源】吉林省长春市第二十九中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】CD
【分析】利用完全平方、常熟分离、绝对值的意义，即可得到结果．
【解析】对于A，，值域为，A不正确；
对于B，，值域为，B不正确；
对于C，，值域为，C正确；
对于D，，值域为，D正确．故选CD．
13．记，定义域为，则下列选项正确的是
A．为中心对称函数
B．的值域为
C．集合为的子集，若，则S可以为
D．，且满足，则
【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2020-2021学年高二下学期第四次月考
【答案】ACD
【分析】利用一次分式函数的性质（图象由反比例函数图象平移可得），计算可得对称点坐标，判断A，可用反解法求得函数值域（也可用特殊值）判断B，计算函数值后可判断C，利用C中计算结果，令代入计算求出判断D．
【解析】，
所以的图象关于点对称．A正确；，因此B错；，，，所以S可以为，C正确；令 ①
令 ②
令 ③
结合①②③可得，D正确．故选ACD．
14．设函数，若，则实数可以为
A．B．
C．D．
【试题来源】河北省张家口市2020-2021学年高一上学期期末
【答案】AB
【分析】分、、三种情况讨论，验证是否成立，综合可得出实数的取值范围，即可得出合适的选项．
【解析】若，则，，成立；
若，则，，成立；
若，则，，不成立．
综上所述，实数的取值范围是．故选AB．
15．下列函数定义域和值域相同的是
A．=5x+1B．=x2+1
C．=D．=
【试题来源】福建省福州市闽侯县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】ACD
【分析】根据解析式直接分析函数的定义域及值域即可求解．
【解析】对A，=5x+1定义域及值域都为R，
对B，=x2+1的定义域为R，值域为，
对C，=的定义域为，值域为，
对于D，=的定义域为，值域为．故选ACD.
三、填空题
1．函数的定义域是__________．
【试题来源】北京师范大学附属中学2021-2022学年高一10月月考
【答案】，，
【分析】根据使函数有意义的原则，构造不等式组，解得答案．
【解析】由得，，，
故函数的定义域为，，，故答案为，，
2．已知且，则的值为__________．
【试题来源】山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】3
【分析】利用换元法求得函数解析式，再根据，即可求出的值．
【解析】由题可知，且，令，则，
，，解得．故答案为3．
3．函数，若，则__________．
【试题来源】江苏省星海中学2021-2022学年高一上学期十月月考
【答案】
【分析】讨论的范围，代入对应解析式求解即可．
【解析】由已知可知当时，无解；当时，，
解得或（舍），所以．故答案为
4．函数的定义域为__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数要非负，分母不能为零即可得到结果．
【解析】要使函数有意义，则自变量必须满足不等式组
解这个不等式组得且．所以函数的定义域为．
故答案为
5．已知函数的值域为，则函数的定义域为__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】
【分析】根据题意，得到，即可求得函数的定义域．
【解析】由函数的值域为，可得，解得，
所以函数的定义域为．故答案为．
6．已知函数，则__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第二课时）
【答案】
【分析】将“”替换为“”，可求得结果
【解析】将“”替换为“”，可得．故答案为
7．函数，则__________．
【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考
【答案】10
【分析】根据分段函数的解析式，直接求值即可．
【解析】因为，
所以．故答案为10
8．函数的值域是__________．
【试题来源】上海市格致中学2022届高三上学期十月月考
【答案】
【分析】求出函数的定义域，再变形函数式借助均值不等式求出最小值即可．
【解析】函数定义域为，
，当且仅当，即时取“=”，因此，当时，，所以函数的值域是．故答案为
9．函数的值域为__________．
【试题来源】浙江省桐乡市茅盾中学20212022学年高一上学期第一次月考
【答案】
【分析】令，则，将原函数转化为关于的二次函数，再由二次函数的性质即可求得值域．
【解析】令，则，所以，
所以当即时，取得最小值，无最大值，
所以函数的值域为，故答案为．
10．若，且，则的取值范围是__________．
【试题来源】上海市大同中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】
【分析】求出的取值范围，结合不等式的基本性质可求得的取值范围．
【解析】，，则，
所以，，所以，．故答案为．
11．函数的定义域为__________．
【试题来源】广东省东莞市东莞中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】且
【分析】根据根式和分式对自变量的限制，列出不等式组，求解即可
【解析】由题意，且，
故函数的定义域为且，故答案为且
12．已知函数，则其定义域为__________．
【试题来源】河南省新郑市2021-2022学年高一上学期第一次阶段性检测
【答案】或，且
【分析】根据函数定义域的求法，列出不等式，通过解不等式即可求出定义域．
【解析】由题意知 且，即且，，
所以或，且，故所求函数的定义域为或，且．
故答案为或，且．
13．已知，，以为定义域，以为值域可以建立__________个不同的函数．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】6
【分析】根据函数的定义，即可求得以为定义域，以为值域的函数可以建立的个数．
【解析】因为，，且集合为定义域，集合为值域
所以根据函数的定义可得集合中的或在集合中就一定有两个元素与之对应．
若在集合中有两个元素与之对应，那就会有，，这三种情况．
同理，若在集合中有两个元素与之对应，也就会有，，这三种情况．
所以函数可以建立的个数为个．故答案为6．
14．己知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【试题来源】湖北省武汉市经济技术开发区第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】
【分析】利用抽象函数的定义域求法求解．
【解析】•定义域为，，中，
解得，所以函数的定定义域为，故答案为
15．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【试题来源】福建省福州市闽侯县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域，利用替换思想求解即可．
【解析】因为的定义域为，所以，所以，
解得，所以函数的定义域为．故答案为．
四、双空题
1．函数．
（1）若，则的值域是__________．；
（2）若，则的值域为__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】
【分析】（1）计算出、、、的值，即可得出函数的值域；
（2）利用一次函数的基本性质可求得函数的值域．
【解析】（1）因为，，则，，，，
故当时，函数的值域为；
（2）当时，，
故当时，函数的值域为．故答案为（1）；（2）．
2．设函数，则__________，__________．
【试题来源】浙江省杭州之江高级中学2020-2021学年高一上学期期中
【答案】2
【分析】根据分段函数的定义域求解．
【解析】因为函数，所以，，
所以，故答案为2；．
3．已知函数，则=__________；不等式的解集为__________．
【试题来源】浙江省舟山中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【分析】根据分段函数进行代入可得即可得解，令，先解，求得或，再求的范围即可得解．
【解析】，令，先解，
当时，成立，当时，，解得，
再解不等式和，先求，易知当时，
当，，所以或，再求，当可得，
当，可得，综上：解得，故答案为，．
4．已知，则的值为__________，的值为__________．
【试题来源】天津市南开中学2021-2022学年高三上学期第一次统练
【答案】98 97
【分析】根据分段函数的定义计算，注意自变量的范围即可．
【解析】由已知得；
记，其中等号右端有个，
则
其中f右上角的数值代表的是f的个数，注意从到这个过程中，的个数减少了2，同样的推理可知
故答案为98，97
5．函数的函数值表示不超过的最大整数，则，的值域为__________；，的值域为__________．
【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段考
【答案】
【分析】根据函数的含义及自变量的范围，分类讨论求解的值域；由函数在的取值先得出函数的表达式，然后分析的值域．
【解析】因为函数， 故函数在上的值域为．函数，故当时，；当时，；当时，；当时，；综上所述，所以函数的值域为．故答案为；．
【名师点睛】本题考查函数值域的求解，解答时，先分类讨论得出函数在每一段上的取值是关键，然后根据的解析式得出的值域．
五、解答题
1．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当时，求的值．
【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意可得，解不等式组可求出函数的定义域，
（2）由解析式直接代值求解即可，
（3）将代入函数解析式中求解即可
【解析】（1）若使函数有意义，需，解得或且，
故函数的定义域为
（2）
（3）因为，所以有意义，
2．（1）已知，求的解析式；
（2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式．
【试题来源】黑龙江省双鸭山市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）令，利用换元法即可求解；
（2）设，根据已知条件列方程组求解即可．
【解析】（1）令，则，，
因为，所以，所以．
（2）设所求二次函数为，因为，所以，
所以，
因为，
所以，即，
所以，即，．
3．求函数，的值域．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】
【分析】根据二次函数的性质先计算，的值域，再计算的范围即可求解．
【解析】因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以，
所以，所以函数的值域是．
4．函数，若，求的值．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第二课时）
【答案】
【分析】先求出的可能取值，再结合函数的解析式可求得实数的值．
【解析】因为函数，，令，则，
所以当时，，解得或（舍）；
当时，，解得，不合题意．
所以．
所以，又，所以只能，解得，符合，
故．
5．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数①求，，；②若，求a的值．
【试题来源】广东省佛山市第三中学2021-2022学年高一上学期第一次教学质量检测（月考）
【答案】（1）；（2）①，，；②或．
【分析】（1）待定系数法，设，便可由得出，从而可求出，，即得出的解析式；
（2）①利用对应法则即可得到结果；②逆用法则可得结果．
【解析】（1）设，则：，；
；；
，；．
（2）函数，
①，，，；
②当时，，，又，所以；
当时，，，
又，所以；当时，，，
又，所以此时无解．综上，或．
6．求下列函数的值域．
（1），
（2），
（3）
【试题来源】浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段性测试
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分别代入的值，求函数的值域；（2）首先判断函数的对称轴和开口，再求函数的值域；（3）首先换元，转化为关于的二次函数求值域．
【解析】（1），，，所以函数的值域是；
（2），，
函数对称轴是，开口向下，所以函数的最大值是，函数的最小值是，
所以函数的值域是；
（3）设，，所以，
所以函数的值域是
7．如图所示，在边长为4的正方形的边上有一点，点沿着折线由点（不含点）向点（不含点）运动．设点运动的路程为，的面积为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第二课时）
【答案】（1）；（2）图象见解析．
【分析】（1）对点的位置分成3种情况讨论，再利用三角形面积公式，即可得到答案；
（2）由（1）得到的分段函数，分别作出每一段区间的图象，即可得到答案；
【解析】（1）当点在边上时，，；
当点在边上时（不含点），，；
当点在边上时（不含点和点），，．
（2）由（1）中的解析式可画出函数的图象（如图所示）．
1．判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2．函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3．构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4．函数的表示方法：函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
（1）解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
（2）列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
（3）图象法：注意定义域对图象的影响.
5．相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
（1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
（2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.
6．常见基本初等函数定义域的要求为：
（1）分式函数中分母不等于零.
（2）偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
（3）一次函数、二次函数的定义域均为R.
（4）y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
（5）y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝csx的定义域均为R.
（6）y＝lgax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
（7）y＝tanx的定义域为.
7．函数的解析式
（1）函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
（2）求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
8．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
（1）一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
（2）反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
（4）y＝sinx的值域为[−1,1]．
9．分段函数的概念
（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
10．求函数解析式常用的方法
（1）换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
（2）配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
（3）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
（4）方程组法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
一、单选题
1．已知函数f（x﹣1）＝x2+2x﹣3，则f（x）＝
A．x2+4xB．x2+4
C．x2+4x﹣6D．x2﹣4x﹣1
【试题来源】重难点题型精讲-2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）
【答案】A
【分析】利用配凑法来求得函数解析式．
【解析】，所以．故选A
2．已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是
A．B．
C．D．
【试题来源】2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）
【答案】B
【分析】利用凑配法求得解析式．
【解析】，且，
所以．故选B
3．设，则f(f（2）)的值为
A．0B．1
C．2D．3
【试题来源】2020-2021学年高一数学单元复习（沪教版2020必修第一册）
【答案】B
【分析】根据分段函数对应定义域，求得，再求即可得解．
【解析】由题得，所以f(f（2）)．故选B
4．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．，B．，
C．，D．，
【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考
【答案】C
【分析】根据同一函数的定义域、对应法则均要相同的原则，判断各选项中的函数是否为同一函数即可．
【解析】A：，显然与的对应法则不同，不是同一函数；
B：的定义域为，显然与的定义域不一致，不是同一函数；
C：与对应法则、定义域均相同，是同一函数；
D：的定义域，显然与的定义域不相同，不是同一函数．故选C
5．已知函数，则=
A．1B．2
C．-1D．3
【试题来源】福建省福州文博中学2021-2022年高一10月月考
【答案】C
【分析】根据自变量所在范围，代入对应解析式计算得结果．
【解析】，，．故选C
6．下列各对函数表示同一函数的是
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与．
A．（1）（2）（4）B．（2）（4）
C．（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【试题来源】福建省福州文博中学2021-2022年高一10月月考
【答案】C
【分析】分别判断与定义域和对应法则是否相同即可，即可判断两者是否表示同一函数．
【解析】（1）定义域为，定义域为，与定义域不同，所以不表示同一函数；
（2）定义域为，定义域为，与解析式不同，所以不表示同一函数；
（3）与，与定义域相同，解析式相同，值域相同，故两者表示同一函数；
（4）与，与定义域相同，解析式相同，值域相同，故两者表示同一函数；故选C
7．函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为
A．[﹣4，﹣3]B．[﹣4，0]
C．[﹣3，0]D．[0，4]
【试题来源】福建省福州市闽侯县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】B
【分析】根据二次函数的单调性求出最大、最小值可得答案．
【解析】因为函数的对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，因为当时，，
当时，，所以，
所以函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为．故选B
8．矩形的周长为定值a（a0），设它的一条边长为x，则矩形面积的函数的定义域是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】D
【分析】根据矩形的性质可得另一条边的长，由矩形面积公式求解析式，利用即可求定义域．
【解析】由题设，另一条边的长，所以，
即．故选D
9．已知函数，则
A．B．0
C．1D．2
【试题来源】山东省济南市章丘区第四中学2021-2022 学年高一上学期第一次质量检测
【答案】B
【分析】根据题中所给的函数解析式，将自变量代入，即得．
【解析】因为，所以．故选B．
10．下列四组函数中，与表示同一函数是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省广州市第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】B
【分析】分别判断和的定义域和对应法则是否一样，便可判断函数是否为相同函数．
【解析】A：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域不相同，所以不是同一函数．A错误；
B：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域相同，且函数，对应关系相同，所以是同一函数．B正确；
C：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域不相同，所以不是同一函数．C错误；
D：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域不相同，所以不是同一函数．D错误；故选B
11．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．与B．与
C．与D．与
【试题来源】江苏省星海中学2021-2022学年高一上学期十月月考
【答案】D
【分析】先判断函数的定义域，若定义域相同，再化简函数，判断化简之后的解析式，解析式相同，则为同一函数．
【解析】A：选项中定义域与解析式均不相同，故不表示同一函数，故A不正确；
B：，定义域为，定义域为，故不是同一函数，B不正确；
C：定义域为，定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C不正确；
D：，与定义域、解析式均相同，是同一函数，D正确；故选D
12．定义在R上的函数满足，，则等于
A．10B．6
C．12D．16
【试题来源】宁夏银川唐徕回民中学2021-2022学年高一10月月考
【答案】C
【分析】根据题目的的等量关系，运用赋值法即可求得答案．
【解析】令得，
令，得．故选C
13．下列函数中，表示同一个函数的是
A．与B．与
C．与D．与
【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】D
【分析】根据函数的定义，只有两个函数的定义域和对应法则相同，这两个函数才相同，由此对选项一一判断，即可得到结果．
【解析】对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；
对于，函数，故对应法则不相同，故选项中的函数不是同一函数；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；
对于，这两个函数的定义域和对应法则都相同，故选项为同一函数．故选．
14．下列函数中，与函数有相同图象的一个是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省东莞市东莞中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】C
【分析】BD选项定义域不同，A选项对应法则不同，C选项符合题意．
【解析】A选项与函数对应法则不同，
B选项定义域为与函数不是相同函数，所以图象不同，
C选项与函数有相同图象，
D选项定义域为与函数不是相同函数，所以图象不同．故选C
15．函数的定义域为
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段考
【答案】B
【分析】解不等式组即得解．
【解析】由题得，解之得且．
所以函数的定义域为．故选B
16．下列对应关系中是到的函数的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】D
【分析】根据函数的定义，结合对应关系，逐项判定，即可求解．
【解析】对于A中，集合中的数0在集合中没有与之对应的数，所以这不是从到的函数；对于B中，集合中所有的小于-1的数在集合中都没有与之对应的数，
所以这不是从到的函数；
对于C中，因为负数不可以开方，所以集合中的负数均不满足对应法则，
所以这不是从到的函数；
对于D中，对于集合中的每一个数，在中都有唯一一个数与之对应，所以这是从到的函数．故选D．
17．函数的定义域是
A．B．
C．D．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】B
【分析】由题意可得，解之即可求出结果．
【解析】由题意可得，解得，
故函数的定义域是，故选B．
18．已知函数的图象经过点（5，4），则实数的值为
A．3B．4
C．5D．6
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第二课时）
【答案】C
【分析】将点坐标代入函数解析式，解方程即可求出结果．
【解析】由题意可得，解得，故选C．
19．函数的定义域为
A．B．
C．D．
【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】B
【分析】根据题意，结合根式与分式有意义的条件，即可求解．
【解析】由题意得，，解得且，
故函数的定义域为．故选B．
20．已知实数，函数，若，则的值为
A．B．
C．D．
【试题来源】2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）
【答案】A
【分析】分别讨论和时，，与的大小关系，进而可得与的表达式，解方程即可求解．
【解析】因为，当时，，
此时等价于，
所以，解得，不满足，舍去；当时，，
此时等价于，
所以，解得，符合题意，综上可得，故选A．
21．下列各组函数是同一函数的是
①与；
②f（x）＝x与；
③f（x）＝x0与；
④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1．
A．①②B．①③
C．③④D．①④
【试题来源】2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）
【答案】C
【分析】函数的三要素是定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．
【解析】①f（x）与y的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②|x|与f（x）＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f（x）＝x0与都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④．故选C
22．函数的值域为
A．B．
C．D．
【试题来源】备战2022年高考数学一轮复习考点一遍过（新高考地区专用）【名师堂】
【答案】B
【分析】令，则，再根据二次函数的性质求出的最大值，进而可得的范围，再计算的范围即可求解．
【解析】令，则且，因为，
所以，所以，即函数的值域为，故选B．
23．已知函数，那么的值为
A．25B．16
C．9D．3
【试题来源】福建省连城县第一中学2021-2022学年高一10月第一次月考
【答案】C
【分析】由分段函数的定义求解即可
【解析】因为，所以，故选C
24．函数的定义域为
A．B．
C．D．
【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考
【答案】D
【分析】由偶次根式和分式的基本要求可构造方程组求得结果．
【解析】由题意得，解得或，
的定义域为．故选D．
25．点在函数的图象上，当时，的取值范围是
A．B．
C．D．
【试题来源】福建省福州市长乐第一中学2021-2022学年高二10月月考
【答案】C
【分析】利用函数的解析式结合反比例型函数的单调性可求得的取值范围．
【解析】因为，则，所以，，
所以，．故选C．
26．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A．B．
C．D．
【试题来源】山东省济南市章丘区第四中学2021-2022 学年高一上学期第一次质量检测
【答案】A
【分析】根据抽象函数定义域的求解方法可得不等式组，解不等式组求得结果．
【解析】定义域为， ，解得，
的定义域为，故选
27．已知函数的定义域为，则函数的定义域是
A．B．
C．D．
【试题来源】辽宁省沈阳市一二〇中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】B
【分析】求出使新函数式有意义的自变量范围即可．
【解析】由题意，解得且．
所以定义域为．故选B．
28．关于函数的定义域为R，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【试题来源】上海市宝山中学2021-2022学年高二上学期10月月考
【答案】D
【分析】根据给定条件分情况讨论，再借助方程没有实数根即可计算作答．
【解析】因函数的定义域为R，则，有成立，
当时，成立，则，
当时，恒成立，即不成立，一元二次方程没有实数根，于是得，解得，
综上得，所以实数的取值范围是．故选D
29．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为
A．B．
C．D．
【试题来源】备战2022年高考数学一轮复习考点一遍过（新高考地区专用）【名师堂】
【答案】B
【分析】根据图象可得的解析式，进而可得的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解．
【解析】由题图可知，，所以直线的方程是，
因为，所以直线的方程为，
所以，所以，
当时，在上单调递增，此时函数的值域为；
当时，，
所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
此时函数的值域为，综上可知，函数的值域为，故选B．
30．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是
A．B．
C．D．
【试题来源】福建省连城县第一中学2021-2022学年高一10月第一次月考
【答案】B
【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解
【解析】函数的定义域为，即不等式的解集为
（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；
综上，的取值范围为故选B
二、多选题
1．下列四个函数中，与表示不是同一函数的是
A．B．
C．D．
【试题来源】吉林省长春市第二中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】ACD
【分析】根据同一函数的意义逐一分析各选项判断即得．
【解析】函数的定义域是R，值域是R，
对于A，函数定义域是，则A不是；
对于B，函数的定义域是R，值域是R，并且有，则B是；
对于C，函数值域是，则C不是；
对于D，函数定义域，则D不是．故选ACD
2．中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是
A．B．
C．D．
【试题来源】浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段性测试
【答案】BD
【分析】根据函数定义逐一判断即可．
【解析】A．，当，但，A不是；
B．，任意，都有，B是；
C．，当，但，C不是；
D．，任意，都有，D是；故选BD．
3．若函数的值域是，则实数的可能取值是
A．6B．7
C．8D．9
【试题来源】河北省正定中学2020-2021学年高一上学期第一次半月考
【答案】CD
【分析】由题意，要使的值域为，只需要的值域包括0即可．
【解析】令，要使值域包括0，即最小值小于等于0．
那么：，解得．故选CD．
4．下列函数，与函数的值域不相同的是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省东莞市东莞高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】AB
【分析】求得函数值域为，再结合选项一一分析值域即可．
【解析】函数值域为，对A项，，故值域为，则A正确；
对B项，由于，所以值域为，则B正确；
对C项，由，得值域为，则C错；
对D项，由得值域为，则D错故选AB
5．已知可用列表法表示如下：
若，则可以取
A．B．
C．D．
【试题来源】黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区齐齐哈尔中学2020-2021学年高一上学期期中
【答案】BCD
【分析】根据所给函数关系一一代入计算可得；
【解析】当时，，故不适合；
当时，适合；当时，适合；
当时，适合，所以或或．故选BCD
6．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
【试题来源】【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）
【答案】AD
【分析】设，代入列方程组求解即可．
【解析】设，由题意可知，
所以，解得或，所以或．故选AD．
7．下列四个函数：①；②；③；④．其中值域为R的函数有
A．①B．②
C．③D．④
【试题来源】福建省厦门松柏中学2021-2022学年高一10月第一次月考
【答案】AD
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质得出值域即可．
【解析】对于①，易知，一次函数的值域为；
对于②，因为，所以，即
对于③，因为，所以
对于④，当时，；当时，，即，故选AD
8．下列四组函数中，与表示同一函数的是
A．，B．，
C．，D．，
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】AD
【分析】根据同一函数的定义即可求解．
【解析】对于选项A：因为与的定义域均为，，
即与的解析式也相同，故与是同一函数，从而A正确；
对于选项B：因为的定义域为，的定义域为，
所以与的定义域不同，故与不是同一函数，从而B错误；
对于选项C：因为，，
所以与的解析式不相同，故与不是同一函数，从而C错误；
对于选项D：因为，，
所以与的解析式相同，且定义域也相同，故与是同一函数，从而D正确．故选AD．
9．下列函数中哪些函数与不是同一个函数
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省广州市真光中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义判断．
【解析】函数的定义域是，值域也是，的定义域是，不是同一函数，的值域是，不是同一函数，的定义域是，不是同一函数，的定义域和值域都是，对应法则为相同，是同一函数．
故选ACD．
10．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是
A．B．
C．D．
【试题来源】广东省广州市第六十五中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】AC
【分析】利用函数的概念判断．
【解析】A． 因为的定义域为R，的定义域为 ，故不是同一函数；B． 因为，故是同一函数；
C． 因为的定义域为R， 的定义域为，故不是同一函数；
D． 因为，故是同一函数，故选AC
11．下列各组函数是同一个函数的是
A．与B．与
C．与D．与
【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段考
【答案】BD
【分析】当且仅当两个函数的定义域和对应关系相同，两函数是同一个函数，所以分别求各选项中两函数的定义域，若定义域相同，再判断对应关系是否相同即可．
【解析】对于A：与的定义域都是R，对应关系不同，因此不是同一函数；
对于B：与，定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；
对于C：的定义域为R，与的定义域为，
定义域不同，因此不是同一函数；
对于D：与，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数．故选BD．
12．下列函数中，值域是的是
A．B．
C．D．
【试题来源】吉林省长春市第二十九中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】CD
【分析】利用完全平方、常熟分离、绝对值的意义，即可得到结果．
【解析】对于A，，值域为，A不正确；
对于B，，值域为，B不正确；
对于C，，值域为，C正确；
对于D，，值域为，D正确．故选CD．
13．记，定义域为，则下列选项正确的是
A．为中心对称函数
B．的值域为
C．集合为的子集，若，则S可以为
D．，且满足，则
【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2020-2021学年高二下学期第四次月考
【答案】ACD
【分析】利用一次分式函数的性质（图象由反比例函数图象平移可得），计算可得对称点坐标，判断A，可用反解法求得函数值域（也可用特殊值）判断B，计算函数值后可判断C，利用C中计算结果，令代入计算求出判断D．
【解析】，
所以的图象关于点对称．A正确；，因此B错；，，，所以S可以为，C正确；令 ①
令 ②
令 ③
结合①②③可得，D正确．故选ACD．
14．设函数，若，则实数可以为
A．B．
C．D．
【试题来源】河北省张家口市2020-2021学年高一上学期期末
【答案】AB
【分析】分、、三种情况讨论，验证是否成立，综合可得出实数的取值范围，即可得出合适的选项．
【解析】若，则，，成立；
若，则，，成立；
若，则，，不成立．
综上所述，实数的取值范围是．故选AB．
15．下列函数定义域和值域相同的是
A．=5x+1B．=x2+1
C．=D．=
【试题来源】福建省福州市闽侯县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】ACD
【分析】根据解析式直接分析函数的定义域及值域即可求解．
【解析】对A，=5x+1定义域及值域都为R，
对B，=x2+1的定义域为R，值域为，
对C，=的定义域为，值域为，
对于D，=的定义域为，值域为．故选ACD.
三、填空题
1．函数的定义域是__________．
【试题来源】北京师范大学附属中学2021-2022学年高一10月月考
【答案】，，
【分析】根据使函数有意义的原则，构造不等式组，解得答案．
【解析】由得，，，
故函数的定义域为，，，故答案为，，
2．已知且，则的值为__________．
【试题来源】山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】3
【分析】利用换元法求得函数解析式，再根据，即可求出的值．
【解析】由题可知，且，令，则，
，，解得．故答案为3．
3．函数，若，则__________．
【试题来源】江苏省星海中学2021-2022学年高一上学期十月月考
【答案】
【分析】讨论的范围，代入对应解析式求解即可．
【解析】由已知可知当时，无解；当时，，
解得或（舍），所以．故答案为
4．函数的定义域为__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数要非负，分母不能为零即可得到结果．
【解析】要使函数有意义，则自变量必须满足不等式组
解这个不等式组得且．所以函数的定义域为．
故答案为
5．已知函数的值域为，则函数的定义域为__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】
【分析】根据题意，得到，即可求得函数的定义域．
【解析】由函数的值域为，可得，解得，
所以函数的定义域为．故答案为．
6．已知函数，则__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第二课时）
【答案】
【分析】将“”替换为“”，可求得结果
【解析】将“”替换为“”，可得．故答案为
7．函数，则__________．
【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考
【答案】10
【分析】根据分段函数的解析式，直接求值即可．
【解析】因为，
所以．故答案为10
8．函数的值域是__________．
【试题来源】上海市格致中学2022届高三上学期十月月考
【答案】
【分析】求出函数的定义域，再变形函数式借助均值不等式求出最小值即可．
【解析】函数定义域为，
，当且仅当，即时取“=”，因此，当时，，所以函数的值域是．故答案为
9．函数的值域为__________．
【试题来源】浙江省桐乡市茅盾中学20212022学年高一上学期第一次月考
【答案】
【分析】令，则，将原函数转化为关于的二次函数，再由二次函数的性质即可求得值域．
【解析】令，则，所以，
所以当即时，取得最小值，无最大值，
所以函数的值域为，故答案为．
10．若，且，则的取值范围是__________．
【试题来源】上海市大同中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】
【分析】求出的取值范围，结合不等式的基本性质可求得的取值范围．
【解析】，，则，
所以，，所以，．故答案为．
11．函数的定义域为__________．
【试题来源】广东省东莞市东莞中学2020-2021学年高一上学期第一次月考
【答案】且
【分析】根据根式和分式对自变量的限制，列出不等式组，求解即可
【解析】由题意，且，
故函数的定义域为且，故答案为且
12．已知函数，则其定义域为__________．
【试题来源】河南省新郑市2021-2022学年高一上学期第一次阶段性检测
【答案】或，且
【分析】根据函数定义域的求法，列出不等式，通过解不等式即可求出定义域．
【解析】由题意知 且，即且，，
所以或，且，故所求函数的定义域为或，且．
故答案为或，且．
13．已知，，以为定义域，以为值域可以建立__________个不同的函数．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】6
【分析】根据函数的定义，即可求得以为定义域，以为值域的函数可以建立的个数．
【解析】因为，，且集合为定义域，集合为值域
所以根据函数的定义可得集合中的或在集合中就一定有两个元素与之对应．
若在集合中有两个元素与之对应，那就会有，，这三种情况．
同理，若在集合中有两个元素与之对应，也就会有，，这三种情况．
所以函数可以建立的个数为个．故答案为6．
14．己知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【试题来源】湖北省武汉市经济技术开发区第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】
【分析】利用抽象函数的定义域求法求解．
【解析】•定义域为，，中，
解得，所以函数的定定义域为，故答案为
15．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【试题来源】福建省福州市闽侯县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域，利用替换思想求解即可．
【解析】因为的定义域为，所以，所以，
解得，所以函数的定义域为．故答案为．
四、双空题
1．函数．
（1）若，则的值域是__________．；
（2）若，则的值域为__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】
【分析】（1）计算出、、、的值，即可得出函数的值域；
（2）利用一次函数的基本性质可求得函数的值域．
【解析】（1）因为，，则，，，，
故当时，函数的值域为；
（2）当时，，
故当时，函数的值域为．故答案为（1）；（2）．
2．设函数，则__________，__________．
【试题来源】浙江省杭州之江高级中学2020-2021学年高一上学期期中
【答案】2
【分析】根据分段函数的定义域求解．
【解析】因为函数，所以，，
所以，故答案为2；．
3．已知函数，则=__________；不等式的解集为__________．
【试题来源】浙江省舟山中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【分析】根据分段函数进行代入可得即可得解，令，先解，求得或，再求的范围即可得解．
【解析】，令，先解，
当时，成立，当时，，解得，
再解不等式和，先求，易知当时，
当，，所以或，再求，当可得，
当，可得，综上：解得，故答案为，．
4．已知，则的值为__________，的值为__________．
【试题来源】天津市南开中学2021-2022学年高三上学期第一次统练
【答案】98 97
【分析】根据分段函数的定义计算，注意自变量的范围即可．
【解析】由已知得；
记，其中等号右端有个，
则
其中f右上角的数值代表的是f的个数，注意从到这个过程中，的个数减少了2，同样的推理可知
故答案为98，97
5．函数的函数值表示不超过的最大整数，则，的值域为__________；，的值域为__________．
【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段考
【答案】
【分析】根据函数的含义及自变量的范围，分类讨论求解的值域；由函数在的取值先得出函数的表达式，然后分析的值域．
【解析】因为函数， 故函数在上的值域为．函数，故当时，；当时，；当时，；当时，；综上所述，所以函数的值域为．故答案为；．
【名师点睛】本题考查函数值域的求解，解答时，先分类讨论得出函数在每一段上的取值是关键，然后根据的解析式得出的值域．
五、解答题
1．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当时，求的值．
【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意可得，解不等式组可求出函数的定义域，
（2）由解析式直接代值求解即可，
（3）将代入函数解析式中求解即可
【解析】（1）若使函数有意义，需，解得或且，
故函数的定义域为
（2）
（3）因为，所以有意义，
2．（1）已知，求的解析式；
（2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式．
【试题来源】黑龙江省双鸭山市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）令，利用换元法即可求解；
（2）设，根据已知条件列方程组求解即可．
【解析】（1）令，则，，
因为，所以，所以．
（2）设所求二次函数为，因为，所以，
所以，
因为，
所以，即，
所以，即，．
3．求函数，的值域．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第一课时）
【答案】
【分析】根据二次函数的性质先计算，的值域，再计算的范围即可求解．
【解析】因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以，
所以，所以函数的值域是．
4．函数，若，求的值．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第二课时）
【答案】
【分析】先求出的可能取值，再结合函数的解析式可求得实数的值．
【解析】因为函数，，令，则，
所以当时，，解得或（舍）；
当时，，解得，不合题意．
所以．
所以，又，所以只能，解得，符合，
故．
5．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数①求，，；②若，求a的值．
【试题来源】广东省佛山市第三中学2021-2022学年高一上学期第一次教学质量检测（月考）
【答案】（1）；（2）①，，；②或．
【分析】（1）待定系数法，设，便可由得出，从而可求出，，即得出的解析式；
（2）①利用对应法则即可得到结果；②逆用法则可得结果．
【解析】（1）设，则：，；
；；
，；．
（2）函数，
①，，，；
②当时，，，又，所以；
当时，，，
又，所以；当时，，，
又，所以此时无解．综上，或．
6．求下列函数的值域．
（1），
（2），
（3）
【试题来源】浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段性测试
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分别代入的值，求函数的值域；（2）首先判断函数的对称轴和开口，再求函数的值域；（3）首先换元，转化为关于的二次函数求值域．
【解析】（1），，，所以函数的值域是；
（2），，
函数对称轴是，开口向下，所以函数的最大值是，函数的最小值是，
所以函数的值域是；
（3）设，，所以，
所以函数的值域是
7．如图所示，在边长为4的正方形的边上有一点，点沿着折线由点（不含点）向点（不含点）运动．设点运动的路程为，的面积为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第二课时）
【答案】（1）；（2）图象见解析．
【分析】（1）对点的位置分成3种情况讨论，再利用三角形面积公式，即可得到答案；
（2）由（1）得到的分段函数，分别作出每一段区间的图象，即可得到答案；
【解析】（1）当点在边上时，，；
当点在边上时（不含点），，；
当点在边上时（不含点和点），，．
（2）由（1）中的解析式可画出函数的图象（如图所示）．
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