高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用优质课件ppt

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1．极小值点与极小值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值________，f′(a)＝_______．(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)_______ 0，右侧f′(x)______ 0.(3)结论：a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值________，f′(b)＝_______．(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)______ 0，右侧f′(x)_____ 0.(3)结论：b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极小值和极大值统称为极值．
怎样理解极值的概念？极值是不是最值？提示：(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．在某一点处的极小值可能大于另一点处的极大值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定大于其极小值．(　　)(2)导数为0的点一定是极值点．(　　)(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　)(4)若一个函数在给定的区间内存在极值，则极值点一定在区间的内部．(　　)(5)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．(　　)
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．3 D．4
4．函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________．解析：y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，y′<0，函数单调递减，当－10，函数单调递增，当x>1时，y′<0，函数单调递减，所以当x＝－1时，函数有极小值．当x＝1时，函数有极大值．答案：1　－1
探究点1　求函数的极值(点)[问题探究]函数的极值点满足什么条件？探究感悟：(1)极值点处导数为0.(2)极值点两侧导数异号．
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上单调递增，在(a－2，－2a)上单调递减．所以函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2；函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．[注意]　解析式中含参数的函数，要就参数对f′(x)零点及零点两侧f′(x)的符号是否有影响进行分类讨论．　
探究点2　函数极值的综合应用[问题探究]从函数的角度来看，极值点附近函数变化趋势是什么？图象有何特点？探究感悟：极大值点的函数值比附近点对应的函数值大，图象由“上升”变“下降”，该点处导数值为0，两侧的导数符号左正右负．(极小值点类似)
角度二　利用函数极值求解函数零点问题　　 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
【解】　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－11时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示，因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知，m的取值范围是(－3，1).
若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知，当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
(1)已知函数极值求参数的要点①利用f′(x)＝0求解参数；②验证是否满足两侧的导数值异号．(2)解决函数零点问题的策略根据函数的极值情况，画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数．　
2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝______．解析：设f(x)＝x3－3x＋c，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.答案：－2或2