人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教学设计

5.3.1函数的单调性

一、内容和内容解析

1．内容

函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，根据导数的正负性判断函数的单调性．

2．内容解析

单调性是函数的重要性质，它不仅反映了函数变化的趋势，还是研究函数极值与最大（小）值的基础性问题．虽然可以通过函数图象的升降观察函数的单调性，但对大多数函数而言，画出其图象不是一件容易的事情．至于根据函数单调性的定义去判断函数的单调性，则由于含字母的代数式值的大小比较通常较困难，所以也不是通性通法．导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，因而可以利用导数更加精确地研究函数的性质．有了导数，可以把函数单调性的判断问题转化为导数的运算问题．通过函数导数的正负性判断出函数的单调性，这种方法在解决函数的单调性问题时具有“普适性”．

通过探究函数图象的升降与导数的正负之间的关系，得出可用导数判断函数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想.利用函数的导数及其运算，将判断函数的单调性这一复杂问题、转化为步骤明确的运算问题，这又蕴含了重要的算法思想.用导数研究函数的单调性，对于并学生利用两数模型描述客观事物的变化规律、解决优化等实际向题有着非常重要的意义，是学生的数学运算与数学建模素养的很好的载体．

3．教学重点

建立函数的单调性与导数的正负之间的联系．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）通过具体函数的图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养．

（2）能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养．

2．目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）对于给定的具体函数的图象，能借助导数的几何意义判断出导数的正负与函数的单调性，并将二者关联起来．

（2）对于给定的函数，能利用导数求出函数的单调递增（递减）区间；能根据导函数的正负信息画出简单函数的大致图象．

三、教学问题诊断分析

1．问题诊断

由于高中数学课程不安排拉格朗日中值定理的内容，所以说明“若导数符号为正（或负），则函数是单调递增（或递减）函数”是非常困难的事情，这是本节课的教学难点之一，解决这个难点，除了充分利用导数的几何意义，还要利用信息技术工具帮助学生观察、发现结论．

利用导数判断函数的单调性时，经常会遇到导数在某个区间上存在零点，但函数在这个区间上仍然是单调递增（或递减）的问题（如），这也是本节课可能遇到的教学难点问题之二．对于这个难点，教师在教学时要用图象帮助学生加以分析与区别．

2．教学难点

    理解函数的单调性与导数的正负之间的联系，利用导数判断函数的单调性．

四、教学支持条件分析

目前高中阶段不专门介绍极限的内容，这使得许多定理都没有进行严格的证明，加之许多结论高度抽象，因此需要借助信息技术工具帮助学生直认识有关概念与结论．在本节课中，可以借助信息技术工具对函数图象的升降与导数的正负之间的关系进行直观认识，还可以利用几何画板帮助检验结果．

五、教学过程设计

引导语：在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质．本章前两节我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节课我们首先来讨论函数的单调性．

1．创设情景

观察2020东京奥运会女子单人高台跳水夺金视频。

问题1：图1（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图1（2）是跳水运动员的速度v随时间l变化的函数的图象．这里，，b是函数h（t）的零点．

图1

学生活动：小组讨论，填写下面学习任务单

记录：从起跳到最高点，运动员的速度是大于0，这段时间运动员的离水面的高度     

从最高点到入水，运动员的速度是小于0，这段时间运动员的离水面的高度     

猜想：v（t）是h＇（t），由此请同学们猜想在某区间内，导数的符合与原函数单调性的关系．

在区间（0，a）内，导数h＇（t）               ，原函数h（t）                  ；

在区间（a，b）内，导数h＇（t）               ，原函数h（t）                  ．

追问：你能从上述两个图形中发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系吗？

师生活动：教师提出上述问题后，学生思考并交流，教师引导学生得出结论：

当t∈（0，a）时，h＇（t）＞0，函数h（t）在（0，a）内单调递增的；

当t∈（a，b）时，h＇（t）＜0，函数h（t）在（a，b）内单调递减的．

设计意图：使用高台跳水的例子引出导数和单调性的关系，能很好的起到承上启下的作用．承上是因为这个例子贯穿导数这章的整个教材，在导数的概念，导数的几何意义等节都出现了，学生对这个情境非常熟悉，教材在导数的几何意义那节，已经明确的提到了某点导数的正负和该点附近单调性的关系．启下是可以通过这个例子，引导学生观察高台跳水问题中高度函数及其导函数的图象，使学生发现当函数在区间I上可导时，函数在区间I上的单调性与函数在I上的导数的正负有关系．在这一过程中，提升学生的直观想象素养．另外，刚结束的东京奥运会上，我国获得10米高台跳水的3枚金牌。因此，这个情境也具有较好的时效性和爱国主义教育价值．

2．探究新知

问题2：在高台跳水问题中，我们看到可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，那么这种做法是否具有一般性呢？

师生活动：教师给出下列四个函数（图2），让学生观察其图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．

你能从上述两个图形中发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系吗？

师生活动：教师提出上述问题后，学生思考并交流，教师引导学生得出结论：

在区间（0，a）内，h（t）是单调递增的，相应地，v（t）＝h＇（t）＞0；

在区间（a，b）内，h（t）是单调递减的，相应地，v（t）＝h＇（t）＜0．

设计意图：引导学生观察高台跳水问题中高度函数及其导函数的图象，使学生发现当函数在区间I上可导时，函数在区间I上的单调性与函数在I上的导数的正负有关系．在这一过程中，提升学生的直观想象素养．

问题3：我们看到，函数h（t）的单调性与h＇（t）的正负有内在联系．那么，能否由函数导数的正负来判断函数h（t）的单调性呢？

追问：对于高台跳水问题，是否有下列结论？

当t∈（0，a）时，h＇（t）＞0，函数h（t）在（0，a）内单调递增；

当t∈（a，b）时，h＇（t）＜0，函数h（t）在（a，b）内单调递减．

师生活动：教师引导学生结合图1，利用导数的几何意义检验上述结论的正确性．

追问：在高台跳水问题中，我们看到可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，那么这种做法是否具有一般性呢？

学生活动：绘制一些函数的图象，验证你的猜想是否成立。

任务清单：完成成下列表格，让学生观察其图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．

设计意图：通过更多的例子，帮助学生归纳出函数的单调性与其导数正负的关系．4个例子为学生非常熟悉的初等函数，学生可以通过直接计算导数，或者画出原函数导函数图形观察等多种方法得出结论．通过对常见函数的单调性与函数导数的正负之间关系的探究，得出用导数的正负性判断函数单调性的一般性结论，并由此让学生体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生的直观想象素养．

进一步地，教师给出图3，让学生思考函数的单调性与导数的正负之间关系的一般性结论：

图3

一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：

在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递增；

在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递减．

追问：如果在某个区间上恒有，那么函数有什么特性？

师生活动：教师启发学生思考的几何意义，利用几何意义得出下列结论：

如果在某个区间上恒有，那么在这个区间上恒有（c为常数）．

设计意图：从分类不重不漏的角度，既然在某个区间（a，b）内，恒成立和恒成立，对应的函数的单调性都已经讨论了，自然而然还需要回答恒成立的情况。同时，解决了这个问题，也解释了为什么在某个区间（a，b）内，恒成立不能推出在这个区间上递增，恒成立不能推出在这个区间上递减。

例1：你能利用导数判断下列函数的单调性吗？

（1）；（2）；（3）．

解：（1）因为，所以＞0

所以，函数在R上单调递增，如图所示

   （2）因为，所以＜0

所以，函数在上单调递减，如图所示

   （3）因为，所以

所以，函数在和上单调递增，如图所示

师生活动：让学生用导数求上述函数的单调区间，并在信息技术平台上传答案，教师点评学生上传的答案.

追问：形如的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。

例2：求函数的单调区间。

解：因为函数的定义域为R.

所以

令，解得或

列表如下：

所以，在和上单调递增，在上单调递减.

师生活动：教师启发学生思考，并示范解答上述问题.在此基础上，引导学生归纳用导数判断函数单调性的步骤：

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出函数的导数；

第3步，用的零点将的定义域划分为若干小区间，判断在每个小区间上的正负，由此得出的单调区间．

设计意图：此问题是教科书例题，教师通过例题解答向学生示范如何用导数判断函数的单调性，再让学生通过练习熟悉用导数R判断函数单调性的步骤，体会算法思想，发展数学运算素养．

问题4：例3：你能根据函数的导函数的下列信息，画出函数的大致图象吗？

①当1＜x＜4时，；

②当x＜1，或x＞4时，；

③当x＝1，或x＝4时，．

师生活动：教师启发学生根据导函数的正负思考函数f（x）在相应区间上的单调性，进而画出f（x）的大致图象，最后教师进行画图示范．

追问：函数的图象如图4所示，试画出函数图象的大致形状．

师生活动：学生画好的图象后通过投影展示，教师点评时，特别强调的图象与图象的联系．

设计意图：此问题是教科书第86页例2，通过教师的示范讲解与学生练习，学生将进一步体会数形结合思想，发展直观想象素养．

追问：观察两种画法，你认为哪个图是对的？为什么？这两个图的区别在哪？

师生共研：增减有快慢之分图象有陡缓之别；那么这跟导数又有什么关系呢？

探究：对数函数与幂函数在区间上增长快慢的情况．

对数函数的导函数，所以在区间上单调递增。当x越来越大时，越来越小，所以函数递增得越来越慢图像上升得越来越“平缓”（如图1）．

幂函数的导函数，所以在区间上单调递增。当x越来越大时，越来越大，所以函数递增得越来越慢图像上升得越来越“陡峭”（如图2）．

追问：例4：设x＞0，，，两个函数的图像如下图所示，判断，的图像与C1，C2之间的对应关系．

解：因为，，所以，，

当x=1时，；

当0＜x＜1时，；

当x＞1时，0＜．

所以，，在区间上都是增函数．在区间上，的图像比的图像要“陡峭”，在上，的图像比的图像要“平缓”，所以，，的图像依次是图中的C2，C1．

追问：由例4可以得到什么结论？如何更准确地画出函数图像？

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图像就比较“平缓”．

设计意图：让学生深刻体会导数与函数的密切关系，由此感悟只求导是不能较为准确地画一个函数的图像的。

课堂小结：教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：

本节课你学到了什么知识？你是如何获得这些知识的？

师生活动：学生思考交流后，教师引导学生归纳得出用导数判断函数的单调性的基本步骤：

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数f＇（x）的零点；

第3步，用的零点将的定义域划分为若干小区间，判断在每个小区间上的正负，由此得出的单调区间．

本节课用到的数学方法有：由特殊到一般，由抽象到具体

设计意图：回顾本节课的学习内容，总结用导数求函数单调区间的步骤，使学生进一步体会导数在研究函数调性中的作用，感受算法思想．

六、目标检测设计

层级一  夯实基础

1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数

B．在区间(1,3)上f(x)是减函数

C．在区间(4,5)上f(x)是增函数

D．当x＝2时，f(x)取到极小值

解析：选C　在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数．

设计意图：考查学生对导数与函数的几何意义的理解．

层级二  理解应用

2．函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为________．

解析：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，

由f′(x)<0，得0<x<4，

∴函数f(x)的单调递减区间为(0,4)．

3．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)

A．(0，＋∞)　　　　　　　　 B．

C．(－∞，－1)   D．

解析：选B　由y＝4x2＋，得y′＝8x－，

令y′>0，即8x－>0，解得x>，

∴函数y＝4x2＋的单调增区间为.

设计意图：考查学生根据导数的正负性求函数的单调区间．

层级三  拓展探究

4．如图，已知汽车在笔直的公路上行驶．

（1）如果y＝f（t）表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点；

（2）如果y＝f（t）表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？

（第4题）

设计意图：考查学生将导数函数的单调性与函数导数的正负之间的关系的几何意义应用在物理中．

5．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　　)

A．(0,1)　　　　　　　 B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)  D．(－∞，0)，(1，＋∞)

解析：选A　函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0,1)．

设计意图：利用导数求单调区间易忽视原函数的定义域致误，本题考查学生用导数判断单调性的灵活应用