初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形达标测试

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2021-2022学年八年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
18.2.1 矩形
题型导航



矩
形

矩形的性质
题型1
矩形的判定
题型2
利用矩形的性质求解
题型3
矩形与折叠问题
题型4
直角三角形中斜边上的中线
题型5


题型变式

【题型1】矩形的性质
1．（2022·全国·八年级）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质、平行四边形的性质即可判断；
【详解】
解：A、矩形、平行四边形的对边都是平行相等的，故本选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；
C. 矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；
D、矩形、平行四边形的对角线对角线不一定互相垂直．，故本选项不符合；
故选：B
【点睛】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．

【变式1-1】
2．（2021·全国·八年级课时练习）如图，E为矩形中边的延长线上一点，若，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用矩形与直角三角形的性质先求解再证明从而可得答案.
【详解】
解： 矩形，

，




故选：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，利用勾股定理求解解题是关键.

【题型2】矩形的判定
1．（2021·上海·八年级期末）已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．
【详解】
解：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：B．

【点睛】
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．

【变式2-1】
2．（2021·江苏·盐城市初级中学八年级期中）如图，E是平行四边形边延长线上一点，且，连接、、．若，则四边形是（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得到，继而证得四边形是平行四边形，再证得，根据矩形的判定即可证得是矩形．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴是矩形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定证得四边形BCED是平行四边形是解决问题的关键.
【题型3】利用矩形的性质求解
1．（2022·全国·八年级）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）

A．36° B．30° C．27° D．18°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件可得以及的度数，然后求出各角的度数便可求出．
【详解】
解：在矩形ABCD中，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
题目主要考查矩形的性质，三角形内角和及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用各个性质是解题关键．
【变式3-1】
2．（2022·全国·八年级）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（　　）

A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝8，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝8．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD＝16，
∴OA＝OB＝8，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝8，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．

【题型4】矩形与折叠问题
1．（2021·湖北·云梦县实验外国语学校八年级期末）将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（ ）

A．55° B．70° C．110° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．
【详解】
解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．

【变式4-1】
2．（2021·贵州·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，再求解设BE=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
【详解】
解： 矩形ABCD，

设BE=x，
∵AE为折痕，
∴AB=AF=1，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，
Rt△ABC中，
∴Rt△EFC中，，EC=2-x，
∴，
解得：，
则点E到点B的距离为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题；二次根式的乘法运算，利用对折得到，再利用勾股定理列方程是解本题的关键．
【题型4】直角三角形中斜边上的中线
1．（2022·全国·八年级）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）

A．20 B．10 C．5 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．
【详解】
解：∵在中，，AB=10，CD是AB边上的中线

故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
【变式5-1】
2．（2020·上海市浦东模范中学八年级期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，CD、CE分别是斜边AB上的高与中线，那么∠ECD＝___．

【答案】18°##18度
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得，进而根据直角三角形的两锐角互余即可求得．
【详解】
解：直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，是斜边AB上的中线


∵∠A＝36°，
∴
CD是斜边AB上的高


故答案为：18°
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的两锐角互余，三角形的高，等边对等角，三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．


专项训练

一．选择题

1．（2021·上海·八年级期末）已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．
【详解】
解：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：B．

【点睛】
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
2．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级期中）如图．在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，
∴BC=AD=20，
当p与B重合时，BA′=BA=12，
CA′=BC-BA′=20-12=8，
②当Q与D重合时，
由折叠得A′D=AD=20，
由勾股定理，得
CA′==16，
CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．
3．（2022·重庆黔江·九年级期末）在中，是斜边上的中线，则以下判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用直角三角形的性质得出斜边长即可．
【详解】
解：在中，是斜边上的中线，
，，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质．
4．（2022·辽宁锦州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（ ）

A． B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
依据矩形的性质即可得到的面积为2，再根据，即可得到的值．
【详解】
解：，，
矩形的面积为8，，
，
对角线，交于点，
的面积为2，
，，
，即，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．
5．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上．，．点D在边AB上，点E在边OC上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点O重合．则点D的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．
【详解】
解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=(8-x)2，
∴x=3，
∴D，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
6．（2021·安徽·九年级专题练习）在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．
【详解】
∵CM、BN分别是高
∴△CMB、△BNC均是直角三角形
∵点P是BC的中点
∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线
∴
故①正确
∵∠BAC=60゜
∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜
∴AB=2AN，AC=2AM
∴AN：AB=AM：AC=1：2
即②正确
在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故③错误
当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形
∵CM⊥AB，BN⊥AC
∴M、N分别是AB、AC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC
故④正确
即正确的结论有①②④
故选：C
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．
二、填空题
7．（2021·北京·八年级期中）如图， 在矩形中， 对角线，相交于点，若，，则的长为_____．

【答案】8
【解析】
【分析】
由四边形为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得，由，根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得三角形为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为可得出为，在直角三角形中，根据直角三角形的两个锐角互余可得为，根据角所对的直角边等于斜边的一半，由的长可得出的长．
【详解】
解：四边形为矩形，
，，且，，
，
又，
为等边三角形，
，
在直角三角形中，，，
，
，
则．
故答案为：8．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含角直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解觉本题的关键．
8．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）如图，，D为外一点，且交的延长线于E点，若，则_______．

【答案】2
【解析】
【分析】
过点D作DM⊥CB于M，证出∠DAE=∠DBM，判定△ADE≌△BDM，得到DM=DE=3，证明四边形CEDM是矩形，得到CE=DM=3，由AE=1，求出BC=AC=2．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠E=∠C=90°，
∴，
过点D作DM⊥CB于M，则∠M=90°=∠E，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠DAE=∠DBM，
∴△ADE≌△BDM，
∴DM=DE=3，
∵∠E=∠C=∠M =90°，
∴四边形CEDM是矩形，
∴CE=DM=3，
∵AE=1，
∴BC=AC=2，
故答案为：2．

【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边对等角证明角度相等，正确引出辅助线证明△ADE≌△BDM是解题的关键．
9．（2021·全国·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为____．

【答案】24
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BEAB＝6，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为6×4＝24．
【详解】
解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，
∴DE=BEAB=6，
由折叠可得：CB=BE，CD=ED，
∴四边形BCDE的周长为6×4=24．
故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．（2022·江苏江阴·八年级期末）如图，中，，为中点，在上，且，若，，则边的长度为______．

【答案】
【解析】
【分析】
由BE⊥AC，D为AB中点，，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．
【详解】
解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝AC=2DE＝2×＝5，
∵AE＝4，
∴BE＝＝=3，CE=AC-AE=1，
∴BC＝=＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．
11．（2021·山东省青岛实验初级中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，有，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是______．



【答案】
【解析】
【分析】
根据HF垂直平分BE，得到BF=EF，设DE=x，根据矩形的性质证明△EDG≌△FCG，得到CF=DE=x，BC=AE+DE=5+x，过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，由勾股定理得，即，求出x可得答案．
【详解】
解：∵HF垂直平分BE，
∴BF=EF，
设DE=x，
∵G是CD的中点，
∴DG=CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AD=BC，AB=CD，
∴∠EDG=∠FCG，
∵∠EGD=∠FGC，
∴△EDG≌△FCG，
∴CF=DE=x，
∵，
∴BC=AE+DE=5+x，
过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，
∴DM=CF=x，MF=CD=AB=10，∠M=90°，
∴EF=BF=5+2x，
∵，
∴，
解得x=，
∴，
故答案为：．



【点睛】
此题考查了矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．
12．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，长方形纸片，点E，F分别在边上，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后再次折叠纸片使点F与点重合，点C落在点，折痕为，若，则_______度．

【答案】144
【解析】
【分析】
根据将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，得出∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F=90°根据四边形ABCD为矩形，得出AD∥BC，可得∠DBF=∠B′FB=2∠EFB，可求∠AB′E =90°-∠DB′F=90°-2∠EFB，根据GH为对称轴，可得∠CB′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，可得∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，根据，列方程180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，解方程即可．
【详解】
解：∵将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，
∴∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，
∴∠AB′E+∠DB′F=90°
∴∠AB′E =90°-∠DB′F
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DB′F=∠B′FB=2∠EFB，
∴∠AB′E =90°-∠DBF=90°-2∠EFB，
∵GH为对称轴，
∴∠C′B′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，
∵∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，
∵，
∴180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，
解得∠EFB=36°，
∴∠EFC=180°-∠EFB=180°-36°=144°．
故答案为144．
【点睛】
本题考查折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程，掌握折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程是解题关键．
三、解答题
13．（2021·天津津南·八年级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

【答案】10cm
【解析】
【分析】
根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝5cm，
∴OA＝OB＝AB＝5cm，
∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
14．（2021·江苏淮安·八年级期末）如图，矩形ABCD中，E、F是BC上的点，∠DAE=∠ADF．求证：BF=CE．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
先证明，然后证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形的性质得出结论．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠AEB，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴BE-FE=CF-EF，即BF=CE．

【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
15．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，，求证：DF⊥CE．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AB，再求出DE=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【详解】
证明： 在△ACB中，CE是中线，
∴点E为AB边的中点
∵AD是BC边上的高，
∴△ADB是直角三角形
∴DE=AB，
∵CD=AB，
∴DC=DE，
∵F是CE中点，
∴DF⊥CE．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
16．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）已知：如图，在中，是边边上的高，是中线，是的中点，．求证：．

【答案】见详解．
【解析】
【分析】
连接DE，由中垂线的性质可得DE=DC，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE，进而得到CDAB．
【详解】
证明：如图，连接DE，
∵F是CE的中点，DF⊥CE，
∴DF垂直平分CE，
∴DE=DC
∵AD⊥BC，CE是边AB上的中线，
∴DE是Rt△ABD斜边上的中线，即DE=BE=AB，
∴CD =DE=AB．

【点睛】
本题考查了中垂线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，推出DE=CD是解决本题的关键．
17．（2022·山西太原·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)AD=2AB，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=180°，证出∠A=90°，即可得出结论；
（2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=45°，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出结果．
(1)
证明：∵点M是AD边的中点，
∴AM=DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠A=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)
解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM=CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC=45°，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠AMB=∠MBC=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB=AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD=2AM，
∴AD=2AB．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．
18．（2021·重庆市实验学校八年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，交BD于点F．已知∠CAE＝15°，AB＝2．

(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求证：OE＝FE．
【答案】(1)矩形ABCD的面积为；
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质得到AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°，再根据角平分线的定义和等边三角形的判定与性质求得AC=4，由勾股定理求得BC即可求解；
（2）根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质证得∠OFE＝∠BOE即可证得结论．
(1)
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝2，
∴矩形ABCD的面积为：AB×BC＝4；
(2)
证明：∵△ABO是等边三角形，
∴BO＝AB，∠ABO＝60°，
∵∠BAE＝45°，∠ABC＝90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB，
∴BO＝BE，∠EBO＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，
∴∠BOE＝（180°﹣∠EBO）＝75°．
∴∠OFE＝∠OBE+∠BEF＝75°，
∴∠OFE＝∠BOE，
∴OE＝FE．
【点睛】
本题考查矩形的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．