初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形测试题

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2021-2022学年八年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
18.2.3 正方形
题型导航

正
方
形

正方形的性质理解
题型1
利用正方形的性质求解

题型2
正方形折叠问题
题型3
正方形的判定
题型4
正方形的性质与判定的应用
题型5

题型变式

【题型1】正方形的性质理解
1．（2022·全国·八年级课前预习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直
C．对角互补 D．对角线相等
【答案】B
【解析】
略

【变式1-1】
2．（2021·山东省青岛实验初级中学九年级阶段练习）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当时，的度数为______．

【答案】18°##18度
【解析】
【分析】
由“SAS”可证△DCE≌△BCE，可得∠CED=∠CEB=∠BED=63°，由三角形的外角的性质可求解．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠DAE=∠BAE=∠DCA=∠BCA=45°，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CED=∠CEB=∠BED=63°，
∵∠CED=∠CAD+∠ADE，
∴∠ADE=63°-45°=18°，
故答案为：18°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DCE≌△BCE是本题的关键．

【题型2】利用正方形的性质求解
2．（2021·重庆实验外国语学校九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　）

A．1 B．2 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∵△ABE≌△DAF，
∴S△ABE=S△DAF，
∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE，
即S△ABO=S四边形OEDF=1，
∵OA=1，
∴BO=2，
∴AB=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．

【变式2-1】
2．（2022·四川省成都市七中育才学校九年级期末）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为______．

【答案】49
【解析】
【分析】
延长FE交AB于点M，则，，由正方形的性质得，推出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出CM，故得出BC，由正方形的面积公式即可得出答案．
【详解】

如图，延长FE交AB于点M，则，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：49．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
【题型3】正方形折叠问题
1．（2020·广东·佛山市华英学校九年级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴B'E=2AE，
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，
∴2（3-x）=x，
解得x=2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

【变式3-1】
2．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）如图，将一张边长为4cm的正方彩纸片折叠，使点落在点处，折痕经过点交边于点．连接、，若，则的长为______cm．

【答案】##
【解析】
【分析】
如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，则，然后证明四边形ADFG是矩形，得到AG=DF，GF=AD，同理可证PH=BG=CF，HC=PF，设，，则，，，在直角△PHM中，，得到，①；由折叠的性质可得，AE=PE，在直角△DPF中，得到②；联立①②得：即，由此求出，，，
设，则，在直角△PEG中，得到，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，
∵∠BPC=90°，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADF=90°，
又∵GF⊥CD，
∴四边形ADFG是矩形，
∴AG=DF，GF=AD，
同理可证PH=BG=CF，HC=PF，
设，，则，，，
∵，
∴，
在直角△PHM中，，
∴，
∴①；
由折叠的性质可得，AE=PE，
在直角△DPF中，
∴②；
联立①②得：即，
∴③，
把③代入②中得：，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设，则，
在直角△PEG中，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．

【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

【题型4】正方形的判定
1．（2021·全国·八年级期中）如图，在给定的正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）

A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，作交的延长线于，证明是的角平分线即可解决问题．
【详解】
解：作交的延长线于，

∵四边形 是正方形，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，．
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴点的运动轨迹是的角平分线，
∵，
由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

【变式4-1】
2．（2021·广东高州·九年级阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下3个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③S△BEF＝．在以上3个结论中，正确的有______．（填序号）

【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，进而求出的面积．
【详解】
解：由折叠可知，，，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：
，，，故②正确；
，，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
【题型5】正方形的性质与判定的应用
1．（2021·安徽合肥·八年级期末）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形

∴
∴，
∴
∵
∴
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，和勾股定理，正确的作出辅助线是本题的关键．
【变式5-1】

2．（2021·湖北蕲春·八年级期中）长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，当为直角三角形时，BE的长为___．

【答案】3或
【解析】
【分析】
当为直角三角形时，分三种情况考虑，当点落在矩形内部时，连接AC，先利用勾股定理计算出AC，然后根据折叠的性质得到，而为直角三角形时，只能得到，所以此时点共线，即点落在AC上，从而结合矩形的性质以及勾股定理进行计算即可；当点落在矩形边AD上时，根据题意可证明四边形为正方形，从而求解即可．
【详解】
解：设BE=x，
（1）如图1所示，当时，
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∵由∠B折叠得到，
∴，
∴此时点共线，
在Rt△ABC中，，
由折叠的性质得：，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴；
（2）如图2所示，当时，
由折叠性质可知，，，
∴四边形为正方形，
∴BE=3；
（3）当时，∠ECD=90°，
∴点应该落在CD边上，
∵AB=3，BC=4，
∴这种情况不成立；
综上，BE的长度为3或；
故答案为：3或．

【点睛】
本题考查矩形的折叠问题，涉及到勾股定理，举行的性质等，理解基本性质，灵活分类讨论是解题关键．



专项训练

一．选择题

1．（2021·北京·八年级期中）下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是矩形 B．若，则是正方形
C．若，则是菱形 D．若，则是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项、、错误，正确；即可得出结论．
【详解】
解：中，，
四边形是矩形，选项符合题意；
中，，
四边形是菱形，不一定是正方形，选项不符合题意；
中，，
四边形是矩形，不一定是菱形，选项不符合题意；
中，，
四边形是菱形，选项不符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
2．（2021·全国·八年级期中）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（　　　）

A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD，∠DBC=45°，
∵BE=AD，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，
故选：A．
【点睛】
本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．
3．（2021·河北·石家庄二十三中八年级期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．
【详解】
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
4．（2021·上海市北海中学八年级期中）如图已知：四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 （ ）

A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是正方形 D．当∠ABC=时，它是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选不项符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
5．（2021·黑龙江铁锋·八年级期末）如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（ ）


A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.
【详解】
解：当，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP，
∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，
∴BE=CP=6厘米，
∴BP=10-6=4厘米，
∴运动时间t=4÷2=2（秒）；
当，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t=（秒）.
综上t的值为2.5或2.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．
6．（2021·贵州六盘水·八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，则BE的长是（ ）

A．4 B．3 C．4或8 D．3或6
【答案】D
【解析】
【分析】
当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出然后利用勾股定理求解即可；②当点F落在边上时．此时为正方形，由此即可得到答案．
【详解】
解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如图所示．
连接，
在中，，，
∴，
∵△ABE沿折叠，使点B落在点F处，
∴，BE=EF，
当为直角三角形时，只能得到，
∴
∴点A、F、C共线，即△ABE沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，
∴，
∴，
设BE=EF=x，则EC=BC-BE=8-x，
∵，
∴，
解得，
∴BE=3；

②当点F落在边上时，如图所示，
由折叠的性质可知AB=AF，BE=EF，∠AEF=∠B=90°，∠FEC=90°，
∴为正方形，
∴，
综上所述，BE的长为3或6．
故选D．

【点睛】
本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质，正方形的性质与判定以及勾股定理．解题的关键是要注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
二、填空题
7．（2022·河南·郑州一中国际航空港实验学校九年级期末）如图，正方形和正方形的边长分别为3和2，点E、G分别为边上的点，H为的中点，连接，则的长为____________．

【答案】##
【解析】
【分析】
延长GF交AB于M，过点H作HN⊥GM于N，利用三角形中位线的判定及性质求出FN、NH，再利用勾股定理求出的长．
【详解】
解：延长GF交AB于M，过点H作HN⊥GM于N，

∵正方形和正方形，
∴GM⊥AB，FM=3-2=1，BM=3-2=1,
∴FM=BM，，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）如图，将一张边长为4cm的正方彩纸片折叠，使点落在点处，折痕经过点交边于点．连接、，若，则的长为______cm．

【答案】##
【解析】
【分析】
如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，则，然后证明四边形ADFG是矩形，得到AG=DF，GF=AD，同理可证PH=BG=CF，HC=PF，设，，则，，，在直角△PHM中，，得到，①；由折叠的性质可得，AE=PE，在直角△DPF中，得到②；联立①②得：即，由此求出，，，
设，则，在直角△PEG中，得到，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，
∵∠BPC=90°，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADF=90°，
又∵GF⊥CD，
∴四边形ADFG是矩形，
∴AG=DF，GF=AD，
同理可证PH=BG=CF，HC=PF，
设，，则，，，
∵，
∴，
在直角△PHM中，，
∴，
∴①；
由折叠的性质可得，AE=PE，
在直角△DPF中，
∴②；
联立①②得：即，
∴③，
把③代入②中得：，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设，则，
在直角△PEG中，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．

【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
9．（2021·辽宁铁西·九年级期末）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 _____．

【答案】20
【解析】
【分析】
连接BD，交AC于O，根据题意和正方形的性质可求得EF=4，AC⊥BD，由即可求解．
【详解】
解：如图，连接BD，交AC于O，

∵四边形ABCD是正方形，AC＝10，
∴AC＝BD＝10，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD＝5，
∵AE＝CF＝3，
∴EO＝FO＝2，
∴EF=EO+FO=4，
∴
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的对角线相等且互相垂直平分是解题的关键．
10．（2021·广东顺德·九年级期中）在直角墙角FOE中有张硬纸片正方形ABCD靠墙边滑动，如图所示，AD=2，A点沿墙往下滑动到O点的过程中，正方形的中心点M到O的最小值是______．

【答案】2
【解析】
【分析】
取的中点为，连接，根据直角三角形的性质求出OG和MG的长，然后根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】
解：取的中点为，连接，

为正方形，
，
，为中点，
，
又为直角三角形，
，
的轨迹是以为圆心的圆弧，
最小值为当三点共线时，
即，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
11．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM若AE＝2，则FM的长为 ___．

【答案】5
【解析】
【分析】
由旋转性质可证明△EDF≌△MDF，从而EF=FM；设FM=EF=x，则可得BF=8−x，由勾股定理建立方程即可求得x．
【详解】
由旋转的性质可得：DE=DM，CM=AE=2，∠ADE=∠CDM，∠EDM=90゜
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=∠B=90゜，AB=BC=6
∴∠ADE+∠FDC=∠ADC−∠EDF=45゜
∴∠FDC+∠CDM=45゜
即∠MDF=45゜
∴∠EDF=∠MDF
在△EDF和△MDF中

∴△EDF≌△MDF(SAS)
∴EF=FM
设EF=FM=x
则
∴
∵
在Rt△EBF中，由勾股定理得：
解得：
故答案为：5
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了方程思想，关键是证明三角形全等．
12．（2021·山东单县·八年级期中）如图，O为坐标原点，△ABO的两个顶点A（6，0），B（6，6），点D在边AB上，点C在边OA上，且BD＝AC＝1，点P为边OB上的动点，则PC+PD的最小值为 _____．

【答案】6
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB交y轴于点E，交BO于点P，得矩形ACPD，正方形OCPE，此时PC+PD的值最小．
【详解】
解：∵A（6，0），B（6，6），
∴OA＝AB＝6，
∴∠B＝∠COP＝45°，
如图，过点D作DE⊥AB交y轴于点E，交BO于点P，
∴∠PDA＝∠DAC＝∠PCA＝90°，
∴四边形ACPD是矩形，
∴AC＝DP，PC＝AD，
同理可得四边形OCPE是矩形，
∵∠COP＝45°，
∴PC＝OC，
∴四边形OCPE是正方形，
∵BD＝AC＝1，
∴DP＝BD＝1，
∴PC＝AD＝5，
∴PC+PD＝6，


此时PC+PD的值最小，为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定以及垂线段最短问题．
三、解答题
13．（2021·江苏·沭阳县修远中学八年级阶段练习）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．试画出一个顶点都在格点上，且面积为10的正方形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据正方形的面积为10，可得其边长为 ，据此可得正方形DEFG．
【详解】
解：由勾股定理可得：如图所示，四边形DEFG即为所求．


【点睛】
本题主要考查了应用与设计作图以及勾股定理的运用，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
14．（2021·广东清新·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AF、DE交于点O，且AF⊥DE，
求证：BE = CF．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用同角的余角相等得出∠FDO=∠DAO，再根据ASA即可证出△EDC≌△FAD，即可证明结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCE=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AOD=∠DOF=90°，
∴∠ADO+∠FDO=90°，∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠FDO=∠DAO（同角的余角相等），
在△EDC和△FAD中，，
∴△EDC≌△FAD(ASA)，
∴CE=DF，
∴BE = CF．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
15．（2021·天津南开·八年级期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．

【答案】
【解析】
【分析】
连接AC，CF，如图，根据正方形的性质得到AC=，AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，则利用勾股定理得到AF=，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．
【详解】
解：连接AC、CF，如图，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AC=AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△ACF中，
∵T为AF的中点，
∴，
∴CT的长为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
16．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）如图，在正方形ABCD中，DF＝AE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度数．

【答案】（1）见解析；（2）90°
【解析】
【分析】
（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，再证明Rt△DAF≌Rt△ABE即可得出结论；
（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠BAE+∠DFA=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
在Rt△DAF和Rt△ABE中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△ABE（HL），即△DAF≌△ABE．
（2）解：由（1）知，△DAF≌△ABE，
∴∠ADF＝∠BAE，
∵∠ADF+∠DFA＝∠BAE+∠DFA＝∠DAB＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠BAE+∠DFA）＝90°．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出Rt△DAF≌Rt△ABE是解本题的关键．
17．（2021·贵州六盘水·九年级阶段练习）如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．求证：
（1）∠DAG＝∠DCG；
（2）GC⊥CH．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）要证明，需把两角放到两三角形中，证明两三角形与全等得到，全等的方法是：由为正方形，得到与相等，与相等，再加上公共边，利用“”得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证；
（2）要证明与垂直，需证，即，方法是：由正方形的对边与平行，根据两直线平行，内错角相等得到与相等，由（1）得到的与相等，等量代换得到与相等，再由为直角三角形斜边上的中线，得到与相等都等于斜边的一半，根据“等边对等角”得到与相等，又等于，等量代换得到，即，得证．
【详解】
证明：（1）为正方形，
，，，
又，
，
；
（2）为正方形，
，
，又，
，
为直角三角形斜边边的中点，
，
，
，
又，
，即，
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是一道证明题．解题的关键是要求学生熟练掌握正方形的性质：四条边都相等，四个角相等都为直角，对角线互相垂直且平分，一条对角线平分一组对角．
18．（2021·湖北崇阳·九年级阶段练习）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）探究猜想，如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为　 　；
②BC、CD、CF之间的数量关系为　 　；
（2）深入思考，如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸，如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝4，CD＝BC，请求出OC的长．
【答案】（1）①垂直；② BC＝CF+CD；（2）成立；证明见解析；（3）；
【解析】
【分析】
（1）①根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；②由△DAB≌△FAC（SAS）得出CF＝BD，则可得出结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）求出BD＝5，由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，得出BC⊥CF，CF＝BD＝5，由勾股定理求出DF，则可得出答案．
【详解】
解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABC＝∠ACF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CF+CD；
故答案为：BC＝CF+CD；
（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴CF⊥BC．
∵CD＝DB+BC，DB＝CF，
∴CD＝CF+BC．
（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∴CD＝BC＝2，
∴BD＝10，
由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，
∴BC⊥CF，CF＝BD＝10，
∵四边形ADEF是正方形，
∴OD＝OF，
∵∠DCF＝90°，
∴DF＝＝2，
∴OC＝．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．