人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换优秀第2课时学案

5.5.1 三角恒等变换

第2课时  两角和与差的正弦、余弦、正切公式

【学习目标】

【自主学习】

两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式

注意：在应用两角和与差的正切公式时，只要tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．

总结：公式的结构特征和符号规律

对于公式 ， ，可记为“余余正正，符号异”.

对于公式 ， ，可记为“正余余正，符号同”.

对于公式 ， ，可记为“分子同,分母异”.

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)把公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，可以得到cos(α＋β)．(　　)

(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)

 (3)对任意的α，β角，都有tan (α±β)＝.(　　)

(4)tan能根据公式tan(α＋β)直接展开．(　　)

(5)tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．(　　)

2.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于(　　)

A.　　    B．－　　　C．0　　　 D．1

3.若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　)

A.         B．－      C．3  D．－3

4.sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝________.

【经典例题】

题型一  　给角求值　　　　　　　　　　　　　　　　

点拨：给角求值问题涉及两角和与差公式的正用和逆用，sin (α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β即为正用， sin αcos β＋cos αsin β＝sin (α＋β)即为逆用。公式的逆用是三角式变形的重要手段，有时还需把三角函数式的系数0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．例如：cosα－sinα＝sincosα－cossinα＝sin(－α)．

注意：在利用两角和差的正切公式时要注意常值代换：如tan＝1，tan＝，tan＝等.

还要注意tan＝，tan＝.

例1  求下列各式的值：

(1) sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin －cos ；(3).

【跟踪训练】1 求下列各式的值：

(1)cos 105°；                   (2)cos75°sin135°＋sin45°cos15°；

(3)；              (4).

题型二  给值求值

点拨：解题时要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：

1.当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．

角的拆分方式如下：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝＋，β＝－，

2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，＋＝＋(α＋β)，＋＝＋(α－β)等.

2.当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．

例2 (1) 已知cos α＝，α∈，sin β＝－，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值；

(2)已知sin (＋α)＝，cos (－β)＝，且0<α<<β<，求cos (α＋β)．

【跟踪训练】2 (1)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.

(2)已知α∈(0，)，sin (α－)＝，则sinα的值为_________．

题型三  给值求角

点拨：给值求角的方法

一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．

至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．

例3　(1)已知sinα＝，sinβ＝，且α，β∈(0，)，求角α＋β的大小．

(2)若α，β均为锐角，且tanα＝2，tanβ＝3，则α＋β等于(　　)

A．       B．      C．        D．

【

跟踪训练】3 设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为(　　)

A.         B.         C.         D.或

题型四  正切公式的变形应用

点拨：T(α±β)可变形为如下形式：

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；1∓tanαtanβ＝

例4  (1)求值：tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°.

(2)若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求α＋β的值．

【跟踪训练】4 在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于(　　)

A.           B.          C.         D.

【当堂达标】

1.已知cosα＝，0＜α＜，则sin (α＋)＝(　　)

A．         B．         C．－       D．－

2.sin15°－cos15°的值为(　　)

A.          B．－       C.           D．－

3.在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC等于(　　)

A.          B．－      C.         D．－

4.已知sinα－cosβ＝，cosα－sinβ＝，则sin(α＋β)＝________.

5.计算 (1);(2) tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°.

6.已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．

7.已知：α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求角α的大小．

8.已知tanα＝2，tanβ＝－，其中0<α<，<β<π.求：

(1)tan(α－β)；

(2)α＋β的值．

【参考答案】

【自主学习】

cosαcosβ－sinαsinβ    sinαcosβ＋cosαsinβ    sinαcosβ－cosαsinβ

【小试牛刀】

1. (1)√   (2)√   (3)×   (4)×  (5)√

2.C   3.A    4.

【经典例题】

例1  解：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)

＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°

＝sin(14°＋16°)＝sin 30°

＝.

(2)原式＝2

＝2

＝2sin

＝－2sin

＝－.

(3)原式＝

＝tan(45°＋75°)

＝tan 120°

＝－.

【跟踪训练】1  解：(1)原式＝cos(60°＋45°)

＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°

＝×－×

＝.

(2)原式＝sin15°cos45°＋sin45°cos15°＝sin (15°＋45°)＝sin60°＝.

(3)原式＝＝＝＝＝.

 (4)原式＝

＝

＝sin 30°＝.

例2解：(1)∵cos α＝，α∈，

∴sin α＝＝.

∵sin β＝－，β是第三象限角，

∴cos β＝－＝－.

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

＝×＋×

＝－.

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

＝×－×

＝.

(2)∵0<α<<β<，

∴<＋α<π，－<－β<0.

又∵sin (＋α)＝，cos (－β)＝，

∴cos (＋α)＝－，sin (－β)＝－.

∴cos (α＋β)＝sin [＋(α＋β)]

＝sin [(＋α)－(－β)]

＝sin (＋α)cos (－β)－cos (＋α)sin (－β)

＝－(－)×(－)＝－.

【跟踪训练】2 (1)  解析：∵＝＝3，

∴tanα＝2.

又tan(α－β)＝2，

∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]

＝－tan[(α－β)＋α]

＝－＝.

 (2)   解析：由题意可知，因为α∈(0，)，所以α－∈(－)，

所以cos (α－)＝＝，

则sinα＝sin (α－)＝sin (α－)cos＋cos (α－)sin＝＝.

例3　解： (1)∵sinα＝，sinβ＝，且α，β∈(0，)，

∴cosα＝＝，cosβ＝＝，

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝＝＝＝，

又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.

(2) B　解析：tan (α＋β)＝＝＝－1.

因为α∈(0，)，β∈(0，)，则α＋β∈(0，π)，故α＋β＝.

【跟踪训练】3  C解析：∵α，β为钝角，sinα＝，

∴cosα＝－＝－＝－，

由cosβ＝－，得sinβ＝＝ ＝，

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.

又∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝.故选C.

例4 解： (1)∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，

∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)，

∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°

＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.

 (2)∵(1＋tanα)(1＋tanβ)

＝1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，

∴tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，

∴tan(α＋β)＝＝.

又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，

∴α＋β＝60°.

【跟踪训练】4  A 解析：根据题意可知，tanA＋tanB＝tanAtanB－，

所以tan(A＋B)＝＝－

因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tanC，

所以tanC＝，

因为在三角形中0<C<π，故C＝.故选A.

【当堂达标】

1.B 解析：由cosα＝，0＜α＜，得sinα＝，

所以sin (α＋)＝sinα＋cosα＝＝.

2.B 解析：原式＝sin30°·sin15°－cos30°·cos15°

＝－(cos30°·cos15°－sin30°·sin15°)

＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－.

3.A解析：∵cosB＝，∴B为锐角

∴sinB＝＝.

又∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sincosB＋cossinB

＝×＋×＝＝

4.   解析：由sinα－cosβ＝两边平方得

sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝，①

由cosα－sinβ＝两边平方得

cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝，②

①＋②得：(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝＋.

∴1－2sin(α＋β)＋1＝.∴sin(α＋β)＝.

5. 解：(1)原式＝

＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.

(2)∵tan(23°＋37°)＝，

∴＝，

∴－tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，

∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝.

6.解：∵<α<，<＋α<π，

∴sin＝＝.

∵0<β<，<＋β<π，

∴cos＝－＝－，

∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)

＝－sin＝－

＝－＝.

7.解：因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)．

由cos(α－β)＝，知sin(α－β)＝.

由sinβ＝－，知cosβ＝.

所以sinα＝sin[(α－β)＋β]

＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ

＝×＋×＝.

又α∈，所以α＝.

8.解：(1)因为tanα＝2，tanβ＝－，

所以tan(α－β)＝＝＝7.

(2)因为tan(α＋β)＝＝＝1，

又因为0<α<，<β<π，

所以<α＋β<，所以α＋β＝.