高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品学案及答案

4.3.2  对数的运算

【学习目标】

【自主学习】

一．对数的运算性质

若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：

(1)loga(M·N)＝          .

(2)loga＝             .

(3)logaMn＝        (n∈R).

注意：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．

二.换底公式

logab＝       (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).

由换底公式推导的重要结论：

(1)loganbn＝logab.     (2)loganbm＝logab.

(3)logab·logba＝1.    (4)logab·logbc·logcd＝logad.

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)log2x2＝2log2x. (　　)

(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)

(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)

(4)logx2＝. (　　)

2.计算log84＋log82等于(　　)

A．log86　　    B．8       C．6   D．1

3.计算log510－log52等于(　　)

A．log58       B．lg 5       C．1        D．2

【经典例题】

题型一 对数运算性质的应用

点拨：利用对数运算性质化简与求值的原则和方法

1.基本原则：

①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.

2.两种常用的方法：

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).

例1 求下列各式的值：

(1)log345－log35；

(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；

(3)lg14－2lg＋lg7－lg18。

【跟踪训练】1  计算(1)2log63＋log64；

(2)(lg 25－lg )÷ ；

(3) .

题型二 对数换底公式的应用

点拨：1.化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．

2.常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等．

例2 计算：①log29·log34；②. 

【跟踪训练】2 (1)log2·log3·log5＝________.

(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.

题型三　利用对数式与指数式的互化解题

点拨：1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.

2.对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.

例3　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；

(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.

【跟踪训练】3 (1)已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.

(2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.

【当堂达标】

1．(多选)下列式子中成立的是(假定各式均有意义)(　　)

A．logax·logay＝loga(x＋y)                B．

C.＝loga                         D.＝logax－logay

2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(　　)

A.a－2       B.5a－2    C.3a－(1＋a)2  D.3a－a2

3.求值（    ）

A．8       B．9       C．10          D．1

4.已知，，则______．

5.设2x＝5y＝m，且＋＝2，则m＝     .

6.证明“logab·logbc·logcd＝logad”.

【课堂小结】

1.知识

(1)对数的运算性质；(2)换底公式．

2.方法

(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．

(2)利用结论logab·logba＝1，loganbm＝logab化简求值更方便．

【参考答案】

【自主学习】

logaM＋logaN    logaM－logaN    nlogaM   

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.D 解析：log84＋log82＝log88＝1.

3.C解析：log510－log52＝log55＝1.

【经典例题】

例1 解：(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)

＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.

【跟踪训练】1 解：(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.

(2)原式＝÷ ＝lg 102÷10－1＝2×10＝20.

(3)原式＝log2.5(2.5)2＋－ ＝2＋－＝.

例2 解：①原式＝·＝＝＝4.

②原式.

【跟踪训练】2（1）－12 解析：原式＝··＝＝－12.

(2)法一　原式＝·

＝＝log25·(3log52)

＝13log25·＝13.

法二　原式＝

＝

＝＝13.

例3解：(1)由3a＝4b＝36，

得a＝log336，b＝log436，由换底公式得＝log363，＝log364，

∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.

(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，

∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，

∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，

由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，

∴k＝30，

∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.

【跟踪训练】3  (1)  解析：由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝.

(2)由已知log32＝，log37＝b，log1456＝＝＝＝＝.

【当堂达标】

1. BC 解析：根据对数的运算性质知，BC正确．

2.A 解析：原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.

3.B 解析：因为，，

所以，故选：B.

4. 解析：因为，所以，又，所以，所以，，故答案为：

5.   解析：∵2x＝5y＝m，两边取常用对数．得x＝log2m＝，y＝log5m＝，

∴＋＝＝＝2，

∴lg m＝，∴m＝.

6. 证明：logab·logbc·logcd＝··＝＝logad.