初中数学沪科版八年级上册15.3 等腰三角形练习

这是一份初中数学沪科版八年级上册15.3 等腰三角形练习，文件包含专题154等腰三角形的判定解析版docx、专题154等腰三角形的判定原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题15.4等腰三角形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•莱州市期中）在三角形中已知两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是（　　）
A．30°、60° B．40°、70° C．50°、60° D．100°、30°
【分析】由三角形内角和定理和等腰三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，
∴第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为40°、70°，
∴第三个内角为180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵三角形中已知两个内角为50°、60°，
∴第三个内角为180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴这个三角形不是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵三角形中已知两个内角为100°、30°，
∴第三个内角为180°﹣100°﹣30°＝50°，
∴不是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
2．（2020秋•贡井区校级期中）满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据三角形的内角和定理及等腰三角形的判定定理分别对各个三角形进行分析判断，即可得到答案．
【解析】①、∵三角形内角比为1：2：1，
∴三角形三个内角分别为45°，90°，45°，
∴三角形是等腰直角三角形；
②、∵三角形内角比为2：2：5，
∴三角形三个内角分别为40°，40°，100°，
∴三角形是等腰三角形；
③、∵三角形内角比为1：1：1，
∴三个内角分别为60°，60°，60°，
∴三角形是等腰三角形；
④、∵三角形内角比为1：2：3，
∴三个内角分别为30°，60°，90°，
∴三角形是直角三角形；
是等腰三角形的有3个，
故选：B．
3．（2020春•海伦市校级期末）下面叙述不可能是等腰三角形的是（　　）
A．有两个内角分别为75°，75°的三角形
B．有两个内角分别为110°和40°的三角形
C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形
【分析】根据等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，分别求出每个角的度数，再进行判断即可．
【解析】A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；
B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，
C、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；
D、有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是40°，另外一个内角是40°，可以构成等腰三角形．
故选：B．
4．（2019秋•海港区期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【解析】∵∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：D．

5．（2020秋•兰山区期末）如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（　　）个．

A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】分两种情况：①AB为等腰三角形的底边；②AB为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．
【解析】如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．
所以符合条件的点C共有8个．
故选：B．

6．（2021春•龙口市期末）如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，并且△ABC是等腰三角形，若点C也在格点上，则点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质列出符合题意的各种情况进行解答即可．
【解析】如图所示：

故选：C．
7．（2019秋•宜城市期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（　　）

A．120° B．75° C．60° D．30°
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠OEC的度数即可．
【解析】∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC=12（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
综上，∠OEC的度数不可能为60°，
故选：C．

8．（2020秋•铁东区期中）如图，点A在直线MN上，点B在直线MN上方，点P为直线MN上一动点，当△ABP为等腰三角形时，则满足条件的点P的个数为（　　）

A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】分三种情况：①PA＝PB时；②AP＝AB时；③BP＝BA时；分别得出点P的个数，即可得出结论．
【解析】分三种情况：
①PA＝PB时，点P在AB的垂直平分线上，满足条件的点P的为1个；
②AP＝AB时，满足条件的点P有2个；
③BP＝BA时，满足条件的点P有1个；
综上所述，满足条件的点P的个数有4个，
故选：C．

9．（2020春•松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】①、∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
10．（2020秋•澄城县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC＝∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC＝∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【解析】∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF=12∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABD+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF，故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明BH＝CH，故④错误，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•东台市期中）在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝　40°或70°或100°　时，△ABC为等腰三角形．
【分析】分三种情形分别讨论即可解决问题；
【解析】①当AB＝AC时，
∵∠A＝40°，
∠C＝∠B＝70°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝40°，
∴∠C＝100°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝40°，
综上所述，∠C的值为40°或70°或100°，
故答案为40°或70°或100°．
12．（2020秋•恩平市期中）若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）＝0，则△ABC的形状是　等腰三角形　．
【分析】根据已知的等式可三种情况进行分析，从而再根据等边三角形与等腰三角形的关系即可得到结论．
【解析】∵三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）＝0
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0或a﹣b＝0，a﹣c＝0
∴a＝b或a＝c或a＝b＝c
∴这个三角形为等腰三角形或等边三角形
∵等边三角形是特殊的等腰三角形
∴这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
13．（2019秋•江夏区期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？　△ABD，△BDC，△ABC　．

【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【解析】∵∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠C＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABC＝36°+36°＝72°，
而∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．
14．（2019秋•洛川县期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　．

【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OEC＝∠OCE=12（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
15．（2020秋•平阴县期末）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠O＝30°，当∠A＝　75°，120°，30°　时，△AOP为等腰三角形．

【分析】分三种情况：①OA＝OP时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠A＝∠OPA＝75°；②AO＝AP时，由等腰三角形的性质得∠APO＝∠O＝30°，则∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；③PO＝PA时，∠A＝∠O＝30°．
【解析】分三种情况：
①OA＝OP时，
则∠A＝∠OPA=12（180°﹣∠O）=12（180°﹣30°）＝75°；
②AO＝AP时，
则∠APO＝∠O＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；
③PO＝PA时，
则∠A＝∠O＝30°；
综上所述，当∠A为75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角形，
故答案为：75°或120°或30°．
16．（2020秋•鼓楼区校级期中）如图所示，在正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是　8　个．

【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况：AB为底边，C点在AB的垂直平分线上；AB为腰且∠A为顶角时，AB为腰且∠B为顶角时，分别判定可求解．
【解析】如图所示：

∴符合条件的点C的个数为8．
故答案为8．
17．（2017秋•徐州期中）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画　4　条．

【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．
【解析】如图所示：

当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故答案为：4．
18．（2019春•福田区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝20°，在直线BC、直线AC上取一点P，使△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P一共有　8　个．

【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形分三种情况解答即可．
【解析】如图，

①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA＝PB），交直线BC于点P2；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P5；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P6，P7，交AC有一点P8．
故符合条件的点有8个．
故答案为8．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•陈仓区期末）已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．

【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，再利用等角的余角相等和对顶角相等得出∠EFC＝∠ADF，进而证明即可．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），
∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形．
20．（2020秋•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果；
（2）由平行线的性质求得∠EAC＝72°，由三角形内角和定理求得∠ADE＝72，根据等腰三角形的判定即可证得结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．

21．（2020秋•临洮县期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E为CD上一点，连接BE，AE，且BE、AE分别平分∠ABC、∠BAD．求证：CD＝AD+BC．

【分析】由角平分线的性质可得出∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠EBC，由平行线的性质得出∠BAE＝∠DEA，∠ABE＝∠BEC，则可得出AD＝DE，BC＝CE，再利用等量代换可得CD＝AD+BC．
【解答】证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠EBC，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEA，∠ABE＝∠BEC，
∴∠DAE＝∠DEA，∠EBC＝∠BEC，
∴AD＝DE，BC＝CE．
∴CD＝DE+CE＝AD+BC．
22．（2020秋•路北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．
（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
①求证：△BPM是等腰三角形；
②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，由平行线的性质得到∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，于是得到∠AMN＝∠ANM，根据等角对等边即可证得结论；
（2）①由角平分线的定义得到∠PBM＝∠PBC，由平行线的性质得到∠MPB＝∠PBC，于是得到∠PBM＝∠MPB，根据等角对等边即可证得结论；
②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，故△AMN的周长＝AB+AC，再根据已知条件即可求出结果．
【解答】（1）解：△AMN是是等腰三角形，
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）①证明：
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBM＝∠PBC，
∵MN∥BC，
∴∠MPB＝∠PBC
∴∠PBM＝∠MPB，
∴MB＝MP，
∴△BPM是等腰三角形；
②由①知MB＝MP，
同理可得：NC＝NP，
∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，
∵△ABC的周长为a，BC＝b，
∴AB+AC+b＝a，
∴AB+AC＝a﹣b
∴△AMN的周长＝a﹣b．
23．（2021春•修水县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．

【分析】（1）由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；
（2）证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题．
【解析】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
24．（2020•恩施州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．

【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解析】（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．