人教B版高中数学选择性必修第二册第3章章末综合提升课件+学案

类型1　两个计数原理的应用

阐述：高考侧重于对两个计数原理的理解及运用两个计数原理解决一些简单的实际问题的考查，题目难度一般不大．求解时需先明确分类或分步的标准，对考生的逻辑推理、数学运算等核心素养要求较高．

【例1】　(1)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数是________．

(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

(1)20　[以m的值为标准分类，分五类：

第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；

第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；

第三类：n＝3时，使n>m，n有4种选择；

第四类：n＝4时，使n>m，n有3种选择；

第五类：n＝5时，使n>m，n有2种选择；

所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法．]

(2)[解]　用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．

第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式；

第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．

第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．

(变条件)若本例(1)的条件“焦点在y轴上”改为“焦点在x轴上”，试求满足条件的椭圆的个数．

[解]　因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n>0，

以m的取值进行分类．

当m＝1时，n值不存在；

当m＝2时，n可取1，只有1种选择；

当m＝3时，n可取1,2，有2种选择；

当m＝4时，n可取1,2,3，有3种选择；

当m＝5时，n可取1,2,3,4，有4种选择；

由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个．

应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：1要做什么事；2如何去做这件事；3怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.

1．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都参加)

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

[解]　(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，得共有选法36＝729(种)．

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．

(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．

类型2　排列、组合的应用

阐述：从近几年的考题来看，高考中出现的有关排列、组合的试题的难度基本上都没有超过教材例题、习题的难度，强调对两个基本计数原理的理解及分类讨论思想的应用．另外，与古典概型的结合体现了对考生综合能力的考查，及对逻辑推理、数学运算等核心素养的考查．

【例2】　(1)小明和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法种数为________．

(2)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A．   B．

C．   D．

(1)84　(2)A　[(1)若小明的父母有一人与小明相邻，则不同的坐法有CAAC＝72(种)；若小明的父母都与小明相邻，则不同的坐法有AA＝12(种)．由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的坐法有72＋12＝84(种)．

(2)由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝＝20．根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝．]

1．处理排列组合应用题的一般步骤

(1)认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题．

(2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”．

2．处理排列组合应用题的规律

(1)两种思路：直接法，间接法．

(2)两种途径：元素分析法，位置分析法．

3．排列组合应用题的常见类型和解决方法

(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略．

(2)合理分类与准确分步的策略．

(3)正难则反，等价转化的策略．

(4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略．

(5)元素定序，先排后除的策略．

(6)排列、组合混合题先选后排策略．

(7)复杂问题构造模型策略．

2．某次国际合作论坛，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________种．(用数字作答)

150　[由题意可知，应将5个安保小组分成三组，共有两种方法，即分为1,1,3或2,2,1．

若分为1,1,3，不同的安排方法共有N1＝A＝60种；

若分为2,2,1，不同的安排方法共有N2＝A＝90种；

即共有N1＋N2＝60＋90＝150种不同的安排方法．]

类型3　二项式定理及其应用

阐述：高考对二项式定理考查的题型主要有：

(1)求展开式中的特定项(或特定项的系数、二项式系数)；

(2)已知特定项的系数求参数的值；

(3)求展开式中系数的和．

题目比较简单，重在考查数学运算素养．

【例3】　已知展开式的二项式系数之和为256．

(1)求n；

(2)若展开式中常数项为，求m的值；

(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

[解]　(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8．

(2)设常数项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx8－r＝Cmrx8－2r，

故8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，解得m＝±．

(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．

则，

化简可得≤r≤．

由于只有第6项和第7项系数最大，

所以

即

所以m只能等于2．

1．解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式．

2．解决二项展开式的系数(或部分项的系数)和问题常用赋值法．

3．(1)(x2＋2)的展开式的常数项是(　　)

A．－3 B．－2

C．2   D．3

(2)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．

(1)D　(2)3　[(1)二项式展开式的通项为：Tr＋1＝C·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r．

当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；

当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2．

∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D．

(2)法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3．

法二：(1＋x)4展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cxk，由题意可知，a(C＋C)＋C＋C＋C＝32，解得a＝3．]

1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)

A．120种    B．90种  C．60种    D．30种

C　[CCC＝60．]

2．(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)

A．5    B．10  C．15    D．20

C　[因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－ryr，所以(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15．故选C．]

3．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．

36　[由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．]

4．(2020·全国卷Ⅲ)的展开式中常数项是________(用数字作答)．

240　[展开式的通项Tr＋1＝C(x2)6－r＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为C24＝240．]