课后素养落实(八)　二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是(　　)

A．5　　 B．20

C．10   D．40

C　[根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，

Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，

令10－3r＝1，解得r＝3，

所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C．]

2．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)

A．2n   B．

C．2n＋1   D．

D　[令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n， ①

令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n， ②

①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，

∴a0＋a2＋…＋a2n＝．故选D．]

3．在如图所示的杨辉三角中，第11行中的各数的和为(　　)

1

1　1

1　2　1

1　3　3　1

1　4　6　4　1

……

A．26    B．211  C．29    D．210

D　[第11行中各数的和为C＋C＋C＋…＋C＝210．故选D．]

4．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)

A．   B．

C．   D．

A　[a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C25＝C26＝7×28，所以＝．故选A．]

5．在(x－)2 020的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于(　　)

A．23 029   B．－23 029

C．23 030   D．－23 030

B　[因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 029．]

二、填空题

6．若的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含x3项的系数为________．

－80　[因为的展开式中各项系数的和为1，

令x＝1，可得(a—1)5＝1，解得a＝2．

即二项式为，

展开式中含x3的项为C(2x)4＝－C24x3＝－80x3．

所以展开式中含x3项的系数为－80．]

7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．

7或0　[7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴当n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7．]

8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5．

62　[根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，

使得连续三项C，C，C，

有＝且＝．

化简得＝，＝，

联立解得k＝27，n＝62．

故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．]

三、解答题

9．已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数．

[解]　由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8．的展开式共有9项，其中T5＝C (2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为．

1．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)

A．x＝4，n＝3   B．x＝4，n＝4

C．x＝5，n＝4   D．x＝6，n＝5

C　[Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．]

2．(多选题)关于下列(a－b)10的说法，正确的是(　　)

A．展开式中的二项式系数之和是1 024

B．展开式的第6项的二项式系数最大

C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

ABD　[由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确．二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确．]

3．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．

　[因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，

再令x＝－1，得

310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，

两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝．]

4．已知多项式(x＋2)m(x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋am＋nxm＋n满足a0＝4，a1＝16，则m＋n＝________，a0＋a1＋a2＋…＋am＋n＝________．

5　72　[∵多项式(x＋2)m(x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋am＋nxm＋n满足a0＝4，a1＝16，

∴令x＝0，得a0＝2m×1n＝4，则m＝2，

∴(x＋2)2(x＋1)n＝(x2＋4x＋4)(x＋1)n，

∴a1＝4C1n＋4C1n－1＝16，

∴n＝3，∴m＋n＝5．令x＝1，

得(1＋2)2×(1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝72．]

(1)求证32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除；

(2)求230－3除以7的余数．

[解]　(1)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9

＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋C·8＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82．

该式每一项都含因式82，故能被64整除．

(2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3

＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2．

又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5．