第3章 3.1 3.1.2 第1课时　排列与排列数-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

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教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐成一排．
问题：这12位老师的坐法共有多少种？
1．排列的概念
(1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．
(2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列．
思考：两个排列相同的条件是什么？
[提示] 两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同．
2．排列数及排列数公式
拓展：排列与排列数的区别
“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )
(2)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．( )
(3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
(4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．89×90×91×92×…×100可表示为( )
A．Aeq \\al( 10,100) B．Aeq \\al( 11,100)
C．Aeq \\al( 12,100)D．Aeq \\al( 13,100)
C [Aeq \\al( 12,100)＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89.]
3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( )
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
C [由排列的定义可知，共有Aeq \\al(3,3)＝3×2×1＝6种排列方法．]
4．(教材P14A组T2改编)eq \f(A\\al(3,4),5！)＝________.
eq \f(1,5) [eq \f(A\\al(3,4),5！)＝eq \f(4×3×2,5×4×3×2×1)＝eq \f(1,5).]
【例1】 判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
[思路点拨] 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
[解] (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中，(2)(5)(6)属于排列问题．
1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．
2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
eq \([跟进训练])
1．判断下列问题是否是排列问题．
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
[解] (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
【例2】 (教材P10例1改编)写出下列问题的所有排列．
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
[思路点拨] (1)直接列举数字．
(2)先画树形图，再结合树形图写出．
[解] (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.
eq \([跟进训练])
2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．
(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法．
(1)12 (2)14 [(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．
(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是：
BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．]
[探究问题]
1．排列数Aeq \\al(m,n)中，n，m满足什么条件？
[提示] n，m∈N且m≤n.
2．等式Aeq \\al(m,n)＝nAeq \\al(m－1,n－1)成立吗？
[提示] ∵Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)，Aeq \\al(m－1,n－1)＝eq \f(n－1！,n－m！)，
∴Aeq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1！,n－m！)＝nAm－1n－1.
【例3】 (1)计算：eq \f(A\\al(5,9)＋A\\al(4,9),A\\al(6,10)－A\\al(5,10))；
(2)求3Aeq \\al(x,8)＝4Aeq \\al(x－1,9)中的x.
[思路点拨] (1)可直接运算，也可采用阶乘式；(2)借助阶乘式求解，注意x的范围．
[解] (1)法一：eq \f(A\\al(5,9)＋A\\al(4,9),A\\al(6,10)－A\\al(5,10))＝eq \f(5A\\al(4,9)＋A\\al(4,9),50A\\al(4,9)－10A\\al(4,9))＝eq \f(5＋1,50－10)＝eq \f(3,20).
法二：eq \f(A\\al(5,9)＋A\\al(4,9),A\\al(6,10)－A\\al(5,10))＝eq \f(\f(9！,4！)＋\f(9！,5！),\f(10！,4！)－\f(10！,5！))＝eq \f(5×9！＋9！,5×10！－10！)＝eq \f(6×9！,4×10！)＝eq \f(3,20).
(2)原方程3Aeq \\al(x,8)＝4Aeq \\al(x－1,9)可化为eq \f(3×8！,8－x！)＝eq \f(4×9！,10－x！)，
即eq \f(3×8！,8－x！)＝eq \f(4×9×8！,10－x9－x8－x！)，化简，
得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤8，,x－1≤9，))解得x≤8.
所以原方程的解为x＝6.
1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
eq \([跟进训练])
3．(1)(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n＜55)用排列数可表示为________；
(2)不等式Aeq \\al(x,9)＞6Aeq \\al(x－2,9)的解集为________．
(1)Aeq \\al(15,69－n) (2){2,3,4,5,6,7} [(1)由(69－n)－(55－n)＋1＝15可知，(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq \\al(15,69－n).
(2)原不等式可化为eq \f(9！,9－x！)＞eq \f(6×9！,11－x！)，
化简得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤9,0≤x－2≤9,x∈N,x－2∈N))得2≤x≤9且x∈N，
∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}．]
1．判断一个问题是否是排列问题的关键是看该问题中的元素是否与顺序有关，有关为排列问题，否则，不是排列问题．
2．排列数公式Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适合已知m的排列数计算，而Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)常用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．求解时务必注意隐含条件：n，m∈N，m≤n.
1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1B．2
C．3 D．4
B [因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．]
2．4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
A．Aeq \\al(4,n)B．Aeq \\al(n－4,n)
C．n！－4!D．Aeq \\al(n－3,n)
D [4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，
故4×5×6×…×(n－1)×n＝Aeq \\al(n－3,n).]
3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．
120 [利用排列的概念可知不同的分配方法有Aeq \\al(5,5)＝120种．]
4．Aeq \\al(6,6)－6Aeq \\al(5,5)＋5Aeq \\al(4,4)＝________.
120 [原式＝Aeq \\al(6,6)－Aeq \\al(6,6)＋Aeq \\al(5,5)＝Aeq \\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120.]
5．从0,1,2,3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．
[解] 大于200的三位数的首位是2或3，所以共有：
201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)
2．会用排列数公式进行求值和证明．(难点)
1．通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养．
2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养.
排列数的定义
从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数
排列数的表示
Aeq \\al(m,n)(n，m∈N，m≤n)
排列
数公式
乘积式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式
Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)
阶乘
Aeq \\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！
规定
0！＝1，Aeq \\al(0,n)＝1
性质
Aeq \\al(m,n)＋mAeq \\al(m－1,n)＝Aeq \\al(m,n＋1)
排列的概念
排列的列举问题
排列数公式的推导及应用