第三章 排列、组合与二项式定理（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

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班级 姓名 学号 分数
第三章 排列、组合与二项式定理（A卷·知识通关练）
核心知识1 分类加法与分步乘法计数原理
1．（2022·全国·高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（    ）．
A．18个 B．15个 C．12个 D．9个
2．（2022·全国·高二单元测试）若一个、均为非负整数的有序数对，在做的加法时，各位均不进位，则称为“简单的有序实数对”，称为有序实数对之值，则值为2004的“简单的有序实数对”的个数是（    ）．
A．10 B．15 C．20 D．25
3．（2022·全国·高二课时练习）若、，，，且，则平面上的点共有（    ）．
A．21个 B．20个 C．28个 D．30个
4．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
5．（2022·浙江·杭州四中高二期中）仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（    ）种.
A． B． C． D．

核心知识2 排列数
6．（2022·全国·高二课时练习）若，则（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（2022·山东枣庄·高二期末）可表示为（    ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京顺义·高二期末）的值为（    ）
A．20 B．10 C．5 D．2
9．（2022·全国·高二课时练习）证明，并利用这一结果化简：
(1)；
(2)．
10．（2022·重庆市永川北山中学校高二阶段练习）计算：
(1)；
(2)解方程．




11．（2022·全国·高二课时练习）（1）解不等式：；
（2）解方程：．





核心知识3 组合数
12．（2022·全国·高二课时练习）求的值.




13．（2022·全国·高二课时练习）计算：（1）；      
（2）.




14．（2022·全国·高二课时练习）规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广.
（1）求的值；
（2）设，当为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：①.②.是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.




15．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）（1）计算：;                         
（2）已知，求.




16．（2022·江西抚州·高二期中（理））（1）若，求正整数n的值；
（2）已知，求正整数n的值．




17．（2022·全国·高二课时练习）证明：．




18．（2022·全国·高二单元测试）（1）解不等式；
（2）求证：①，
②．




19．（2022·黑龙江·肇东市第四中学校高二期末）（1）计算：；
（2）已知，（m>1）；求的值.




20．（2022·吉林·延边二中高二期中）（1）求值：
（2）求关于的不等式的解集．





核心知识4 相邻问题的排列问题
21．（2022·浙江·高二阶段练习）某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（    ）
A． B． C． D．
22．（2022·山东菏泽·高二期末）将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（    ）
A．戏剧放在中间的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种
C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种
23．（2022·福建省福州第一中学高二期末）某中学篮球队的5个首发队员站成一排照相，高二、高三均有2个，高一有1个，则高二和高三两个年级中仅有一个年级的队员相邻的站法种数为（    ）
A．12 B．24 C．48 D．96
24．（2022·广东广州·高二期末）某班一天上午有语文、数学、政治、英语、体育5节课，现要安排该班上午的课程表，要求体育课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是（    ）
A．36 B．32 C．24 D．18
25．（2022·广东肇庆·高二期末）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（    ）
A．48种 B．36种 C．20种 D．24种

核心知识5 不相邻的排列问题
26．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（    ）
A．480 B．240 C．384 D．1440
27．（2022·全国·高二课时练习）高中毕业时，五名同学排成一排在学校门口照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有（    ）．
A．36种 B．48种 C．72种 D．120种
28．（2022·全国·高二单元测试）5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法的种数为（    ）
A．24 B．36 C．60 D．72
29．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法有多少种？（    ）
A．24 B．12 C．6 D．2
30．（2022·河北张家口·高二期末）中国古乐中以“宫､商､角､徵､羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”､“羽”两音阶不相邻的音序共有（    ）
A．72种 B．36种 C．48种 D．24种

核心知识6 分组分配问题
31．（2022·浙江金华第一中学高二阶段练习）三名同学到五个社区参加社会实践活动，要求每个社区有且只有一名同学，每名同学至多去两个社区，则不同的派法共有（    ）
A．90种 B．180种 C．125种 D．243种
32．（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二期中）5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，则不同的安排方法共有（       ）
A．30种 B．90种 C．120种 D．150种
33．（2022·全国·高二课时练习）在某互联网大会上，为了提升安保级别，将甲、乙等5名特警分配到3个不同的路口执勤，每个人只能分配到1个路口，每个路口最少1人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（    ）
A．180种 B．150种 C．96种 D．114种
34．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（    ）
A．360种 B．480种 C．600种 D．720种
35．（2022·陕西西安·高二期末（理））当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻､复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（    ）
A．24种 B．30种 C．36种 D．72种
36．（2022·安徽滁州·高二期末）某学校安排名老师到学校的两个入口处进行防疫值班，每个入口至少需要人，每人都必须参加，则安排的方法总数为（    ）
A． B． C． D．

核心知识7 隔板法
37．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案.
A． B． C． D．
38．（2022·山西大同·高二期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ）
A．84种 B．504种 C．729种 D．39种
39．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（    ）
A．12项 B．24项 C．39项 D．78项
40．（2022·广东·广州市为明学校高二期中）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
41．（2022·上海市延安中学高二期末）的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（    ）
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项

核心知识8 几何计数问题
42．（2022·全国·高二期末）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（    ）.
A．105种 B．225种 C．315种 D．420种
43．（2022·全国·高二期末）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（    ）
A．18 B．30 C．36 D．54
44．（2022·全国·高二期末）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（    ）.
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
45．（2022·全国·高二期末）如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（    ）
A．50 B．51 C．52 D．53
46．（2022·上海交大附中高二期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法

核心知识9 代数中的计数问题
47．（2022·全国·高二课时练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（    ）
A．64 B．56 C．53 D．51
48．（2022·全国·高二课时练习）设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0 (m，n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为(　　)
A．13 B．15
C．17 D．19
49．（2022·全国·高二课时练习）对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有
A．36个 B．39个 C．48个 D．64个
50．（2022·山东聊城·高二期末）数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.
核心知识10 涂色问题
51．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（    ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
52．（2022·河北保定·高二期末）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（    ）

A．1440 B．720 C．1920 D．960
53．（2022·江苏盐城·高二期末）给四面体ABCD的六条棱涂色，每条棱可涂红、黄、蓝、绿四种颜色中的任意一种，且任意共顶点的两条棱颜色都不相同，则不同的涂色方法种数为（    ）
A．24 B．72 C．96 D．144
54．（2022·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（    ）

A．36 B．48 C．72 D．144
55．（2022·广东·新会陈经纶中学高二期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（    ）

A． B．1020 C．1180 D．1560
56．（2022·天津市蓟州区第一中学高二期中）如图，有、、、四块区域需要植入花卉，现有种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（　　）

A．种 B．种 C．种 D．种
57．（2022·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高二期中）用种不同颜色给正三角形的个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种

A． B． C． D．

核心知识11 二项展开式问题
58．（2022·全国·高二课时练习）设，若，则展开式中系数最大的项是（    ）
A． B． C． D．
59．（2022·江苏常州·高二期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ）
A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项
60．（2022·江苏·高二课时练习）已知，则系数中最小的是（    ）
A． B． C． D．
61．（2022·广东东莞·高二期中）若的二项展开式共有8项，则n=___________.
62．（2022·全国·高二单元测试）若展开式中含有常数项，则的最小值是______．
63．（2022·云南红河·高二期末）的展开式中的常数项为________（用数字作答）．
64．（2022·江苏·南京航空航天大学苏州附属中学高二阶段练习）展开式中的第3项为___________.
65．（2022·全国·高二课时练习）若二项式展开式中所有项的系数的绝对值之和为，则展开式中二项式系数最大的项为______．
66．（2022·全国·高二专题练习）若的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则指数相同的项为____________．
核心知识12 系数与系数和问题
67．（2022·浙江·温岭中学高二期末）的展开式中的系数为___________.
68．（2022·全国·高二课时练习）的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为______.
69．（2022·全国·高二课时练习）在的展开式中的系数为________．
70．（2022·全国·高二课时练习）的展开式中的系数是______（用数字作答）．
71．（2022·全国·高二课时练习）若，则______.
72．（2022·广东肇庆·高二阶段练习）已知__________.
73．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））已知，则________．（用数字作答）
74．（2022·浙江·高二期中）的展开式中所有项的系数和为________．
75．（2022·上海市市西中学高二期中）的二项展开式中的系数是______.
76．（2022·河北·张家口市第一中学高二期中）展开式中的系数为________.
核心知识13 整除与余数、近似计算问题
77．（2022·全国·高二课时练习）若能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）
①0；②11；③12；④25．
78．（2022·湖北孝感·高二期末）被除，余数为___________.
79．（2022·湖北襄阳·高二期末）设，且，若能被13整除，则a＝___．
80．（2022·江苏·高邮市第一中学高二期末）除以的余数是___________.
81．（2022·全国·高二期末）的计算结果精确到0.001的近似值是________
核心知识14 杨辉三角问题
82．（2022·全国·高二课时练习）如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第n＋1行的第3个数字为，则______．
第0行





1





第1行




1

1




第2行



1

2

1



第3行


1

3

3

1


第4行

1

4

6

4

1

第5行
1

5

10

10

5

1
……
……
83．（2022·安徽滁州·高二期末）如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．

84．（2022·福建福州·高二期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在南宋时期数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现这一规律，而欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第11行中从左至右第5与第6个数的比值为_________．

85．（2022·河南南阳·高二期末（理））如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数之和，如，，，…，则第11行第8个数（从左往右数）为______．

86．（2022·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______.

87．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6，则这一行是第__________行.
第0行           1
第1行          1  1
第2行        1  2  1
第3行      1   3  3  1
第4行    1   4   6  4  1
第5行   1  5  10  10  5  1
第6行 1  6  15  20  15  6  1