第2课时　全概率公式、贝叶斯公式

知识点1　全概率公式

(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；

(2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：

①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；

②A1＋A2＋…＋An＝Ω；

③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n．

则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝＝．

全概率公式体现了哪种数学思想？

[提示]　全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．

提醒：已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率．

1．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于(　　)

A．　    B．　　　C．　    D．

C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)

＝×＋×＝．故选C．]

知识点2　贝叶斯公式

(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有

P(A|B)＝＝．

(2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：

①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；

②A1＋A2＋…＋An＝Ω；

③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n．

则对Ω中的任意概率非零的事件B，有

P(Aj|B)＝＝．

拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系．

2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)． (　　)

(2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)． (　　)

(3)P(A|B)＝＝． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

类型1　全概率公式及其应用

【例1】　(对接教材P50例4)某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：

设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．

[解]　设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得

P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)

＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)

＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03

＝0.012 5．

因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.0125．

通过本例我们发现，当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.

1．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称新型冠状病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95,0.9,0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为________．

0.915　[设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(C)＝0.2，P(D|A)＝0.95，P(D|B)＝0.9，P(D|C)＝0.85，

则P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝0.95×0.5＋0.9×0.3＋0.85×0.2＝0.915．]

类型2　贝叶斯公式及其应用

【例2】　一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？

[解]　设A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P()·P(A|)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%．

所以P(B|A)＝＝＝32.3%．

利用贝叶斯公式求概率的步骤

第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)；

第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；

第三步：代入P(B|A)＝求解．

2．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？

[解]　设Ai＝第i条流水线生产的产品，i＝1,2,3,4；B＝抽到不合格品，

∴P(A1)＝0.15；P(A2)＝0.20；P(A3)＝0.30；P(A4)＝0.35．

∴P(B|A1)＝0.05；P(B|A2)＝0.04；P(B|A3)＝0.03；P(B|A4)＝0.02，

(1)P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.0315．

(2)P(A4|B)＝≈0.222 2．

类型3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用

【例3】　假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：

试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？

[解]　以A表示事件“患有出现S中的某些症状”，

D i表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知

P(D1)＝＝0.387 5，P(D2)＝＝0.262 5，

P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967 7，

P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5．

从而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76．

由贝叶斯公式得

P(D1|A)＝＝≈0.493 4，

P(D2|A)＝＝≈0.276 3，

P(D3|A)＝＝≈0.230 3，

从而推测病人患有疾病d1较为合理．

若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.

3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．

(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；

(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？

[解]　设事件A表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，

由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，

P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8．

(1)由全概率公式得：

P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86．

(2)由贝叶斯公式得

P(B1|A)＝＝≈0.220 9，

P(B2|A)＝＝≈0.314 0，

P(B3|A)＝＝≈0.465 1．

由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．

1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0．则他迟到的概率为(　　)

A．0.65 B．0.075

C．0.145   D．0

C　[设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．

易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得

P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)

＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0

＝0.145．]

2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　)

A．0.21   B．0.06

C．0.94   D．0.95

D　[令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1,2．由全概率公式得：

P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)

＝×0.96＋×0.93＝0.95．故选D．]

3．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．

0.048 35　[设B＝{取出的球全是白球}，

Ai＝{掷出i点}(i＝1,2，…，6)，则由贝叶斯公式，得

P(A3|B)＝＝＝0.048 35．]

4．一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________．

　[设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝．

则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)

＝×＋×

＝．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：,全概率公式的适用范围及步骤是什么？

[提示]　所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.,运用全概率公式的一般步骤如下：,1求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An；,2求PAii＝1，2，…，n；,3求PB|Aii＝1，2，…，n；,4求目标事件的概率PB.,可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”.

(教师用书独具)

托马斯·贝叶斯

托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes,1702－1761)，18世纪英国神学家、数学家、数理统计学家和哲学家，概率论理论创始人，贝叶斯统计的创立者，“归纳地”运用数学概率，“从特殊推论一般、从样本推论全体”的第一人．

托马斯·贝叶斯 (Thomas Bayes)，英国神学家、数学家、数理统计学家和哲学家，1702年出生于英国伦敦，做过神甫，1742年成为英国皇家学会会员．

贝叶斯曾是对概率论与统计的早期发展有重大影响的两位人物(另一位是布莱斯·帕斯卡Blaise Pascal)之一．

贝叶斯在数学方面主要研究概率论．他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献．1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数

理统计都有很重要的作用．贝叶斯的另一著作《机会的学说概论》发表于1758年．贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今．

他对统计推理的主要贡献是使用了“逆概率”这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来．贝叶斯定理原本是概率论中的一个定理，这一定理可用一个数学公式来表达，这个公式就是著名的贝叶斯公式．

1763年由Richard Price整理发表了贝叶斯的成果《An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances》，提出贝叶斯公式．

假定B1，B2，……是某个过程的若干可能的前提，则P(Bi)是人们事先对各前提条件出现可能性大小的估计，称之为验前概率；如果这个过程得到了一个结果A，那么贝叶斯公式提供了我们根据A的出现而对前提条件做出新评价的方法；P(Bi|A)既是对前提Bi的出现概率的重新认识，称P(Bi|A)为验后概率’经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派，在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用．