【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 4.3《对数》培优分阶练（含解析）
展开4.3 对数
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1.下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
答案
解析 指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于，或．故选．
2.下列四个等式：
①；②；③若，则；④若，则．
其中正确的是
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
答案
解析 因为，所以，故正确；，故正确；
由可得，故错误；由可得，故错误；
故选：．
3. 若，则的大小关系是( )
答案
解析 由，可得，故，
由，可得故，
由，可得，故，
．
故选：．
4.若，，则等于( )
． ． ． ．
答案
解析 ==，
，，=，故选：．
5.实数满足，则下列关系正确的是( )
A． B． C． D．
答案
解析 ，，
，，，
故选：．
二、多选题
6. 下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
答案
解析 对于，故选项正确，
对于，故选项正确，
对于，故选项错误，
对于，故选项错误，
故选：．
三、填空题
7.已知，若，则 ．
答案
解析 ，，
，，.
8.若，则 (用表示).
答案
解析 由，得，
所以
．
9.已知，，则 ； ．
答案 ，
解析 因为，所以，
又，则．
四、解答题
10.化简．
答案
解析
．
11.计算．
答案
解析 原式．
12.抽气机每次抽出容器内空气的，要使容器内的空气少于原来的，则至少要抽几次？
答案
解析 设至少抽次可使容器内空气少于原来的，
则(设原先容器中的空气体积为，即，
两边取常用对数得，
所以．
故至少需要抽次．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1. 设正实数满足，下面成立的是( )
． ． ．
答案
解析 正实数满足，
设，，则，
，
．
故选：．
2.若，且，则的值( )
．不是常数
答案
解析 ，且，
，，
．
故选：．
3.设，，当取最小值时的值为( )
答案
解析 ．
，，当取最小值时的值为．
故选：．
4. 已知正数满足，则下列结论不可能成立的是( )
． ． ． ．
答案
解析 设，则，，；
时，；时，；时，．
故选：．
5. 若正实数满足，则的最小值是( )
答案
解析 ，
，即．
可得：．
，当且仅当时取等．
令，
则，解得：，即．
故选：．
二、多选题
6. 设，，则( )
A． B． C． D．
答案
解析 因为，，所以，
所以，
所以，所以．
因为，
所以，所以，
故选：BC．
三、填空题
7.正数满足，则的值是 .
答案
解析 依题意，设，
则，
所以．
8.若，且，，，则的值是 .
答案
解析 令．
则．
，，
则．
9.若，则的最小值是 .
答案
解析 ，
，，
即，即，
，
当且仅当，即取等号，
故的最小值是．
四、解答题
10.已知，若，，求．
答案
解析 设，由知，
代入，
即，解得或(舍去)，
所以，即，
因为，所以，则，
解得，
则.
培优第三阶——高考沙场点兵
1.(2020•新课标Ⅰ)设，则 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 因为，则，则，
则，
故选：．
2. (2021•天津)若，则 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 ，，，
，
故选：．
3. (2022•浙江)已知，，则 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 由，，可得，
则，
故选：．
4.(2021•湖北模拟)已知实数满足，，则 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 实数满足，，，
令，则为单调函数，则，
，且，
，
．
故选：．
5.(2019•洛阳三模)若，且，则( )
A． B．
C． D．
答案
解析 ，且，
，，
，，，
因为，，所以，
同理，，所以，
所以，
又因为在上单调递减，
即．
故选：．
6.(2022•广东模拟)(多选) 已知实数满足，则下列结论正确的是( )
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
答案
解析 由题意对数的运算性质因为，则可得；
则由基本不等式有，即，
当且仅当时，即时等号成立，故项正确，项错误；
因为，，
则两边同除可得，，
当且仅当时，即时等号成立，
故的最小值为，故项错误；
因为，，
当且仅当时，即时等号成立，故项正确．
故选：．
7.(2019•普陀区二模)设实数满足，且，，
则 .
答案
解析 由，且，可得，，．
，，，
又，
可得，
，，，
则或，或，或．
由对称思想，不妨，则．
．
