高中数学选择性必修二 第5章一元函数的导数及其应用 综合测试章节复习

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人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用综合检测1 一、单选题1．函数的导数为（    ）A． B． C． D．2．函数 的单调递增区间是（  ）A． B． C．(1,4) D．(0,3)3．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　　）A．1个 B．2个C．3个 D．4个4．设是函数的导函数， 的图象如图所示，则的图象最有可能的是（    ）A． B．C． D．5．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ）A． B． C． D．6．如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是（    ）A．是函数的极小值点B．当或时，函数的值为0C．函数在上是增函数D．函数在上是增函数7．已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．8．已知函数，，则下列判断正确的是（    ）A．是增函数 B．的极大值点是C．是减函数 D．的极小值点是9．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（    ）A．存在极大值点 B．在单调递增C．一定有最小值 D．不等式一定有解10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为（    ）A．20天 B．30天 C．45天 D．60天11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．12．已知函数是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，，若，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D． 第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题13．曲线在点处的切线的方程为__________.14．定义在R上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为______.15．已知为正实数，若函数的极小值为0，则的值为_____16．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是______. 三、解答题17．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.18．已知函数.（1）试判断在上的单调性；（2）求函数在上的最值.19．已知函数经过点，.（1）求函数的解析式；（2）设函数，若的图象与直线相切，求值.20．设函数，其中，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的极值.21．已知，函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围.22．已知函数，．（1）若为负实数, 求函数的极值；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
参考答案1．C【分析】直接利用导数的运算公式和法则求解.【详解】因为函数，所以，故选：C【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，属于基础题.2．B【分析】求出函数的导数，在解出不等式可得出所求函数的单调递增区间.【详解】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.3．A【分析】直接利用函数极小值点的定义求解.【详解】由导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个，故选：A【点睛】本题主要考查函数极小值点的定义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.4．C【分析】根据的图象，由的符号，确定原函数的单调性，确定的图象.【详解】从的图象可以看出当， ， 在上为增函数；当时， ， 在上为减函数；当时， ， 在上为增函数，符合的图象是C.故选：C.【点睛】本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系，属于容易题.5．C【分析】利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】因为，，，又由是偶函数，，令，则，根据是偶函数，，得到时，，所以，时，，，利用直线的点斜式方程，曲线在处的切线方程为，即.故选C6．D【分析】由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案．【详解】解：由函数的导函数图象可知，当时，，原函数为减函数；当时，，原函数为增函数.故D正确，C错误；故不是函数的极值点，故A错误；当或时,导函数的值为0，函数的值未知，故B错误；故选：D.7．B【分析】求导可得，则在上有变号零点，令，利用二次函数的性质可求得的取值范围．【详解】，设，函数在区间上有极值，在上有变号零点，即在上有解，令，由可得，即，得到，解得： ．故选：．8．D【分析】求出求出函数的单调区间，从而可得出答案.【详解】由由解得 ，又，所以 由，得或所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.所以函数在上不是单调函数，故A, C不正确.所以函数在处有极小值，在处有极大值.故选项B不正确，选项D正确.故选：D9．C【分析】根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.【详解】由所给的图象，可得当时，，当时，，当时，，当时，，可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.故选：C.10．D【分析】根据题中条件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出结果.【详解】由得，因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，即，解得，则，当该放射性同位素含量为贝克时，即，所以，即，所以，解得.故选：D.11．D【分析】构造函数，根据导数可判断函数单调递减，由，结合函数定义域可解得.【详解】令，，则，因为，所以，所以函数在上单调递减．因为，，所以，即，所以且，解得，所以实数的取值范围为．故选D．【点睛】易错点点睛，本题的容易忽略定义域，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.12．B【分析】构造函数，根据题意，可得函数的奇偶性，根据时，对函数求导，可得函数的单调性，将，左右同乘，可得，即，利用的性质，即可求得答案.【详解】∵，∴，令，则，即为偶函数，当时，∴，即函数在上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，∵，∴，∴，即，解得，，故选：B.【点睛】解题的关键是将题干条件转化为，根据左右相同的形式，构造函数，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于，不符合函数的形式，需左右同乘，方可利用函数的性质求解，属中档题.13．【分析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程．【详解】，∴切线斜率为，切线方程为．故答案为：．14．【分析】构造函数，对其求导，根据题中条件，由导数的方法判定函数单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，，因为对任意，都有，所以恒成立，所以函数在R上单调递增，由，解得，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，构造函数，结合题中条件，由导数的方法判定函数单调性，即可求解出结果.15．．【分析】求导数，确定极小值，由极小值为0求得．【详解】由题意，∵，∴或时，，时，，∴在和上递增，在上递减，的极小值是，解得（舍去）．故答案为：16．【分析】“若，使得”转换为集合交集非空，分别根据导数求，的值域，进一步求出答案.【详解】因为所以当，，所以单调递减，因为，所以， 当，，所以单调递增，因为，使得，所以所以.故答案为：.【点睛】本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题.本题主要是转换的思想，“若，使得”可以转换为集合交集非空.17．（1）；（2）函数的单调增区间为，；减区间为；极大值，极小值.【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出函数的极值点，列表分析函数的单调性以及导数符号的变化，即可得出函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）因为，所以当时，，，所以曲线在点处的切线过点，斜率为所以切线方程为，即.（2）函数的定义域为令得，增极大值减极小值增所以函数的单调增区间为，；减区间为当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.18．（1）在上为减函数；（2），.【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可.（2）根据函数的单调性即可得到函数的最值.【详解】（1），，，，在上为减函数.（2）由（1）知在上为减函数，，.19．（1）；（2）.【分析】（1）代入已知点的坐标可得的解析式；（2）设切点为为，然后利用导数的几何意义求解．【详解】（1）由题意，，∴；（2）由（1），设切点为，，∴，又，两者结合可解得，．【点睛】方法点睛：本题导数的几何意义．求函数的切线方程的方法：（1）若求函数的图象在处的切线，则只要求得，由是切线斜率可得切线方程；（2）若求过的切线方程，则一般设切点为，由（1）求出在点的切线方程，由切线过点求出切点坐标，得切线方程．已知切线方程也是同样求解．20．（1），，；（2）极小值为0，极大值为.【分析】（1）由导数的几何意义可得，再由点在切线上即可得解；（2）利用导数确定函数的单调性，结合极值的概念即可得解.【详解】（1）因为，切线的斜率为，所以，又，所以， 所以，由点在直线上，可得，即，所以；（2）由（1）得，则，当 时，；当 时，；所以的单调增区间为，减区间为，所以函数的极小值为，极大值为.21．（1）在和上递增，在上递减；（2）【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可【详解】解：（1）当时，，则，令，得或，令，得，所以在和上递增，在上递减；（2），令，若函数在上单调递减，则在上恒成立，则，解得，所以a的取值范围为，【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题22．（1）当时，没有极值；当时，，；当时，，．（2）．【分析】（1）首先求出的解析式，再求出导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间与极值；（2）设（）求出函数的导函数，依题意在时恒成立即可，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1），的定义域为，①，即时，在和上递增，在上递减，，；②，即时，在上递增，没有极值；③，即时，在和上递增，在上递减，∴，．综上可知：当时，没有极值；当时，，；当时，，．（2）设（），，设，则，，        ，∴在上递增，∴的值域为，①当时，，为上的增函数，∴，适合条件；②当时，∵，∴不适合条件；③当时，对于，，令，，存在，使得时，．∴在上单调递减，∴，即在时，，∴不适合条件．综上，的取值范围为．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．