数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用练习

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第二册

5.3.3《利用导数研究函数的最值》同步练习

一、     单选题：

1.函数在上的最大值为

A．       B．        C．       D．

2．若函数（）在上的最大值为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3.若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4.函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是

A．5，  -15      B．5，  -4 

C．-4， -15 D．5，  -16

5.若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则等于（    ）

A．0            B．1             C．2           D．

6.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为（      ）

A． B． C． D．

二、填空题:

7.函数的最大值为______．

8.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1千克莲藕，成本增加0.5元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植2万千克，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕              .

三、多选题：

9.已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（    ）

A．-5 B． C． D．

10.已知函数，对于任意，都有恒成立，则实数的值可能为（    ）

A．0 B．2 C．4 D．6

四、拓展题：

11. 求下列函数的最值：

（1），；       （2），；

（3），．

五、创新题：

12.已知.         (1)讨论的单调性；

(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.

同步练习答案

一、 选择题：

1.答案：A

解析：，令，得，

令，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数取极大值，这个极大值也是函数在 上的最大值，所以，故选A．

2.答案：D

解析：的导数为，

（1）当时，时，，单调减，

当时，，单调增，

当时，取得最大值，解得，不合题意；

（2）当时，在递减，最大，且为，不成立；

（3）当时，在递减，最大，

即，解得，   故选：D．

3.答案:C

解析：令，得，，

令，解得；令，解得或.

所以，函数的增区间为和，减区间为.

函数在开区间内的最小值一定是，

可求得，如下图所示：

所以，解得，因此，实数的取值范围是.   故选：C.

4.答案:A

解析：，

令，得或，

所以当时，，即为单调递减函数，

当时，，即为单调递增函数，

所以          又

所以        故选A．

5.答案:C

解析:，易知，

当时，，当或时，，

所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，

又当时，，当时，，

所以最大值为，解得.   故选：C.

6.答案:A

解析:设圆锥的高为，则圆锥底面半径：

圆锥体积：

，令，解得：

当时，；当时，

当，取最大值     即体积最大时，圆锥的高为：.      故选.

二、填空题：

7.答案:

解析：因为，

因为，所以，所以当即时函数取得最大值，

          故答案为：

8.答案：6万千克

解析：种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为， ，即，，

当时，，解得，

故，，  ，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，  所以时，利润最大

三、多选题：

9.答案：A、B.

解析：因为，所以，

令，解得，

所以时，,    时，

所以函数在和上单调递增,在上单调递减

则在内单调递增，所以在内，最大；

在时单调递减，所以在内，最大；

在时单调递增，所以在内，最大；

因为，且在区间上的最大值为28，

所以，即k的取值范围是           故选：A、B.

10.答案:C、D.

解析：由题意知，对于任意都有，

即当时            ．

∵，

∴当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴当时，．

∵，   ，

∴，

∴．    故选：C、D.

四、拓展题：

11.答案:（1）最小值为，最大值为2；        （2）最大值为2，最小值为；

（3）最大值为，最小值为.

解析：（1）由题意，

知，．

∵在上恒大于0，即在上单调递增，

∴当时，取最小值为；当时，取最大值为2．

∴的最小值为，最大值为2．

（2），

令，得或，又，，，，

∴的最大值为2，最小值为．

       （3）∵，，

∴，         令，得．

在上，当变化时，与的变化情况如下表：

∴在上，当时，取得极小值，也是最小值，且．

又，，

     ∴

∴在上的最大值为，        最小值为

五、创新题：

12.答案:(1) 时 ,在是单调递增；

时,在单调递增，在单调递减.

（2）.

解析：（Ⅰ）的定义域为,,

若,则,在是单调递增；

若,则当时,当时,

所以在单调递增,在单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,

当时在取得最大值,

最大值为

因此.

令,则在是增函数,

,于是,当时,,当时,

因此a的取值范围是.