2022届高考数学二轮专题测练-利用导数研究函数的最值

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-利用导数研究函数的最值，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 函数 fx=3x−4x3x∈0,1 的最大值是
A. 1B. 12C. 0D. −1

2. 函数 fx=3x−4x3x∈0,1 的最大值是
A. 1B. 12C. 0D. −1

3. 函数 y=xex 在 0,2 上的最大值是
A. 1eB. 2e2C. 0D. 12e

4. 函数 fx=ex−x（e 为自然对数的底数）在区间 −1,1 上的最大值是
A. 1+1eB. 1C. e+1D. e−1

5. 若方程 x3−3x+m=0 在 0,2 上有解，则实数 m 的取值范围是
A. −2,2B. 0,2
C. −2,0D. −∞,−2∪2,+∞

6. 函数 fx=xex 的最小值是
A. −1B. −eC. −1eD. 不存在

7. 函数 fx=x3−3x−1，若对于区间 −3,2 上的任意 x1，x2，都有 ∣fx1−fx2∣≤t，则实数 t 的最小值是
A. 20B. 18C. 3D. 0

8. 已知函数 fx=2x−x2ex，则
A. f2 是 fx 的极大值也是最大值
B. f2 是 fx 的极大值但不是最大值
C. f−2 是 fx 的极小值也是最小值
D. fx 没有最大值也没有最小值

9. 设直线 x=t 与函数 fx=x2,gx=lnx 的图象分别交于点 M,N，则当 ∣MN∣ 达到最小时 t 的值为
A. 1B. 12C. 52D. 22

10. 函数 fx=3x−4x3，x∈0,1 的最大值是
A. 12B. −1C. 0D. 1

11. 函数 fx=12exsinx+csx 在区间 0,π2 上的值域为
A. 12,12eπ2B. 12,12eπ2C. 1,eπ2D. 1,eπ2

12. 已知 fx=3sinx−πx，对任意的 x∈0,π2，给出以下四个结论：
① fʹx>0；
② fʹx<0；
③ fx>0；
④ fx<0．
其中正确的是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

13. 函数 y=lnxx 的最大值为
A. e−1B. eC. e2D. 103

14. 若函数 fx=x3−3x2−9x+k 在区间 −4,4 上的最大值为 10，则其最小值为
A. −10B. −71C. −15D. −22

15. 把长为 12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是
A. 332 cm2B. 4 cm2C. 32 cm2D. 23 cm2

16. 函数 fx=3x−4x3x∈0,1 的最大值是
A. 1B. 12C. 0D. −1

17. 已知函数 fx=lnx，gx=2m+3x+n，若 ∀x∈0,+∞ 总有 fx≤gx 恒成立．记 2m+3n 的最小值为 Fm,n，则 Fm,n 的最大值为
A. 1B. 1eC. 1e2D. 1e3

18. 已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x∈1e,1，总存在唯一的 y∈−1,1，使得 lnx−x+1+a=y2ey 成立，则实数 a 的取值范围是
A. 1e,eB. 2e,eC. 2e,+∞D. 2e,e+1e

19. 若函数 fx=ax3+2x2+x+1 在 1,2 上有最大值无最小值，则实数 a 的取值范围为
A. −34,+∞B. −∞,−53C. −53,−34D. −53,−34

20. 函数 fx=x−a2+e,x≤2xlnx+a+10,x>2（e 是自然对数的底数），若 f2 是函数 fx 的最小值，则 a 的取值范围是
A. −1,6B. 1,4C. 2,4D. 2,6

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 函数 fx=13x3−4x+4 在 0,3 上的最大值与最小值之和为 ．

22. 函数 y=x2−54x x<0 的最小值为 ．

23. 设直线 x=t 与函数 fx=x2，gx=lnx 的图象分别交于点 M，N，则当 ∣MN∣ 达到最小时 t 的值为 ．

24. 已知 y=fx 是奇函数，当 x∈0,2 时，fx=lnx−axa>12，当 x∈−2,0 时，fx 的最小值为 1，那么实数 a 的值为 ．

25. 已知函数 fx=ex+mlnx（m∈R，e 为自然对数的底数），若对任意正数 x1，x2，当 x1>x2 时都有 fx1−fx2>x2−x1 成立，则实数 m 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知函数 fx=lnx+ax2+2a+1x．
（1）讨论 fx 的单调性．
（2）当 a<0 时，证明 fx≤−34a−2．

27. 已知函数 fx=1−lnxx，gx=aeex+1x−bx，若曲线 y=fx 与曲线 y=gx 的一个公共点是 A1,1，且在点 A 处的切线互相垂直．
（1）求 a，b 的值；
（2）证明：当 x≥1 时，fx+gx≥2x．

28. 证明：ex−lnx>2．

29. 已知函数 fx=2x3−ax2+2．
（1）讨论 fx 的单调性；
（2）当 0
30. 已知函数 fx=ax−2a+2lnx−4x+2，gx=ex−32x−4x．
（1）若 a≤1，讨论 fx 的单调性；
（2）若 a=−32，求证：fx答案
第一部分
1. A【解析】fʹx=3−12x2，令 fʹx=3−12x2>0，解得 −12 fx 在 0,12 上单增，在 12,1 单减，fxmax=f12=1．
2. A
3. A【解析】易知 yʹ=1−xex，x∈0,2，令 yʹ>0，得 04. D
5. A
【解析】令 fx=x3−3x+m，则 fʹx=3x2−3=3x+1x−1．因为当 x∈0,1 时，fʹx<0，当 x∈1,2 时，fʹx>0，所以 fx 在 0,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增，且图象是连续的．又因为 f0=m6. C【解析】对函数 fx=xex 求导得 fʹx=ex+xex=1+xex．
令 fʹx=0，得 x=−1．当 x<−1 时，fʹx<0，fx 单调递减；当 x>−1 时，fʹx>0，fx 单调递增．
故函数 fx 的最小值为 f−1=−1e．
7. A【解析】因为 fʹx=3x2−3=3x+1x−1，令 fʹx=0，得 x=±1，且 f−3=−19,f−1=1,f1=−3,f2=1，所以在区间 −3,2 上 fxmax=1,fxmin=−19，由题意知，在 −3,2 上，∣fxmax−fxmin∣≤t，所以 t≥20，则实数 t 的最小值为 20．
8. A【解析】由题意得 fʹx=2−2xex+2x−x2ex=2−x2ex，当 −20，函数 fx 单调递增；当 x<−2 或 x>2 时，fʹx<0，函数 fx 单调递减，所以 fx 在 x=2 处取得极大值，在 x=−2 处取得极小值，又 f2=22−1e2>0，f−2=2−2−1e−2<0，当 x→+∞ 时，fx→−∞，当 x→−∞ 时，fx→0，所以 fx 无最小值，有最大值，且 f2 是 fx 的极大值，也是最大值．
9. D【解析】由题可得 ∣MN∣=x2−lnx x>0，不妨令 hx=x2−lnx，则 hʹx=2x−1x，令 hʹx=0 解得 x=22．
因为当 x∈0,22 时，hʹx<0，当 x∈22,+∞ 时，hʹx>0，
所以当 x=22 时，∣MN∣ 达到最小，即 t=22．
10. D
【解析】函数 fx=3x−4x3 的导数为 fʹx=3−12x2=31−4x2，
由 fʹx=0，可得 x=12（−12 舍去），
fx 在 0,12 递增，12,1 递减，
可得 fx 在 x=12 处取得极大值，且为最大值 1．
11. A【解析】fʹx=12exsinx+csx+12excsx−sinx=excsx，
当 0≤x≤π2 时，fʹx≥0，
所以 fx 是 0,π2 上的增函数．
所以 fx 的最大值在 x=π2 处取得，fπ2=12eπ2，
fx 的最小值在 x=0 处取得，f0=12．
所以函数值域为 12,12eπ2．
12. D【解析】由已知 fʹx=3sinx−πxʹ=3csx−π，
因为 x∈0,π2，
所以 csx∈0,1，
所以 fʹx<0，
所以 fx 在 x∈0,π2，是减函数，
所以 fx13. A【解析】令 yʹ=lnxʹx−lnx⋅xʹx2=1−lnxx2=0，x=e，
当 x>e 时，yʹ<0；
当 x0，y极大值=fe=1e，
在定义域内只有一个极值，
所以 ymax=1e．
14. B【解析】fʹx=3x2−6x−9=3x−3x+1．
由 fʹx=0，得 x=3 或 x=−1．又 f−4=k−76，
f3=k−27，
f−1=k+5，f4=k−20．
由 fxmax=k+5=10，得 k=5，
所以 fxmin=k−76=−71．
15. D
【解析】设一个三角形的边长为 x cm，则另一个三角形的边长为 4−xcm，两个三角形的面积之和为
S=34x2+344−x2=32x2−23x+43．
令 Sʹ=3x−23=0，则 x=2，
所以 Smin=23 cm2．
16. A【解析】fʹx=3−12x2，
令 fʹx=0，则 x=−12（舍去）或 x=12，
f0=0，f1=−1，
f12=32−12=1，
所以 fx 在 0,1 上的最大值为 1．
17. C【解析】由题，∀x∈0,+∞ 总有 lnx≤2m+3x+n，即 lnx−2m+3x−n≤0 恒成立．
设 hx=lnx−2m+3x−n，则 hx 的最大值小于等于 0．
又 hʹx=1x−2m+3，
若 2m+3≤0 则 hʹx>0，hx 在 0,+∞ 上单调递增，hx 无最大值．
若 2m+3>0，则当 x>12m+3 时，hʹx<0，hx 在 12m+3,+∞ 上单调递减；
当 00，hx 在 0,12m+3 上单调递增．
故在 x=12m+3 处 hx 取得最大值 h12m+3=ln12m+3−1−n=−ln2m+3−1−n．
故 −ln2m+3−1−n≤0，化简得 2m+3n≥2m+3−ln2m+3−1．
故 Fm,n=2m+3−ln2m+3−1，
令 t=2m+3t>0，可令 kt=−tlnt+1，故 kʹt=−lnt−2，
当 t>1e2 时，kʹt<0，kt 在 1e2,+∞ 递减；
当 00，kt 在 0,1e2 递增．
故在 t=1e2 处 ht 取得极大值，为 k1e2=−1e2ln1e2+1=1e2．
故 Fm,n 的最大值为 1e2．
18. B【解析】设 fx=lnx−x+1+a，当 x∈1e,1 时，fʹx=1−xx>0，fx 是增函数，所以 x∈1e,1 时，fx∈a−1e,a，设 gy=y2ey，因为对任意的 x∈1e,1，总存在唯一的 y∈−1,1，使得 lnx−x+1+a=y2ey 成立，所以 a−1e,a 是 gy 的不含极值点的单调区间的子集，因为 gyʹy=eyy2+y，所以 y∈−1,1 时，若 y∈−1,0，gyʹy<0，gy 是减函数，若 y∈0,1，gyʹy>0，gy 是增函数，因为 g−1=1e19. C【解析】fʹx=3ax2+4x+1，x∈1,2．
a=0 时，fʹx=4x+1>0，函数 fx 在 1,2 内单调递增，无极值，舍去．
a≠0 时，Δ=16−12a．
由 Δ≤0，解得 a≥43，此时 fʹx≥0，函数 fx 在 1,2 内单调递增，无极值，舍去．
由 Δ>0，解得 a<43 且 a≠0，由 fʹx=0，解得 x1=−2−4−3a3a，x2=−2+4−3a3a．
当 0当 a<0 时，x1>0，x2<0，因为函数 fx=ax3+2x2+x+1 在 1,2 上有最大值无最小值，所以 1<−2−4−3a3a<2，解得 −53综上可得实数 a 的取值范围是 −53,−34．
20. D
【解析】当 x>2 时，对函数 fx=xlnx+a+10 的单调性进行研究，求导后发现 fx 在 2,e 上单调递减，在 e,+∞ 上单调递增，即函数 fx 在 x>2 时的最小值为 fe；当 x≤2 时，fx=x−a2+e 是对称轴方程为 x=a 的二次函数，欲使 f2 是函数的最小值，则 a≥2,f2≤fe⇒a≥2,−1≤a≤6⇒2≤a≤6.
第二部分
21. 83
【解析】由 fʹx=x2−4=0⇒x=±2，
所以 fx 在 0,2 上单调递减，在 2,3 上单调递增，
因为 f0=4，f3=1，f2=−43，
所以最大值与最小值之和为 83．
22. 27
23. 22
【解析】当 x=t 时，ft=t2，gt=lnt，
所以 y=∣MN∣=t2−lntt>0．
所以 yʹ=2t−1t=2t2−1t=2t+22t−22t．
当 0当 t>22 时，yʹ>0．
所以 y=∣MN∣=t2−lnt 在 t=22 时有最小值．
24. 1
【解析】由题意知，当 x∈0,2 时，fx 的最大值为 −1．
令 fʹx=1x−a=0，得 x=1a，当 00；当 x>1a 时，fʹx<0，所以 fxmax=f1a=−lna−1=−1，所以 a=1．
25. 0,+∞
【解析】依题意得，对于任意的整数 x1，x2，当 x1>x2 时，都有 fx1−x1>fx2−x2，
因此函数 gx=fx−x 在区间 0,+∞ 上是增函数，
于是当 x>0 时，gʹx=fʹx−1=ex+mx−1≥0，即 xex−1≥−m 恒成立．
记 hx=xex−1，x>0，则有
hʹx=x+1ex−1>0+1e0−1=0x>0,
hx 在区间 0,+∞ 上是增函数，hx 的值域是 0,+∞，
因此 −m≤0，m≥0．
故所求实数 m 的取值范围是 0,+∞．
第三部分
26. （1） fʹx=2ax2+2a+1x+1x=2ax+1x+1x．
当 a≥0 时，fʹx≥0，则 fx 在 0,+∞ 单调递增．
若 a<0，则 fx 在 0,−12a 单调递增，
在 −12a,+∞ 单调递减．
（2） 第一次构造辅助函数 gx=fx+34a+2．
要证原不等式成立，需证 gxmax≤0，
即证 fxmax+34a+2≤0．
由（1）知，当 a<0 时，fxmax=f−12a．
即证 ln−12a+12a+1≤0，
不妨设 t=−12a>0，则证 lnt−t+1≤0，
令 ht=lnt−t+1，求导得 hʹt=1t−1．
hʹt>0 时，t∈0,1；hʹt<0 时，t∈1,+∞．
所以 ht 在 0,1 单调递增，在 1,+∞ 单调递减，
则 htmax=h1=0．
故 fx≤−34a−2．
27. （1） 因为 fx=1−lnxx，x>0，
所以 fʹx=lnx−1x2，fʹ1=−1，
因为 gx=aeex+1x−bx，
所以 gʹx=−aeex−1x2−b，
因为曲线 y=fx 与曲线 y=gx 的一个公共点是 A1,1，且在点 A 处的切线互相垂直，
所以 g1=1，且 fʹ1⋅gʹ1=−1，
所以 g1=a+1−b=1，gʹ1=−a−1−b=1，
解得 a=−1，b=−1．
（2） 由（1）知，gx=−eex+1x+x，
则 fx+gx≥2x⇔1−lnxx−eex−1x+x≥0，
令 hx=1−lnxx−eex−1x+xx≥1，
则 h1=0，hʹx=−1+lnxx2+eex+1x2+1=lnxx2+eex+1，
因为 x≥1，
所以 hʹx=lnxx2+eex+1>0，
所以 hx 在 1,+∞ 上单调递增，
所以当 x≥1 时，hx≥h1=0，
即 1−lnxx−eex−1x+x≥0，
所以当 x≥1 时，fx+gx≥2x．
28. 设 fx=ex−lnxx>0，则 fʹx=ex−1x，
令 hx=fʹx，则 hʹx=ex+1x2>0，
所以 fʹx 在 0,+∞ 上是增函数，
又 fʹ12=e−2<0，fʹ1=e−1>0，
所以在 12,1 上存在 x0 使 fʹx0=0，即 x0=−lnx0，
所以在 0,x0 上 fx 单调递减，在 x0,+∞ 上 fx 单调递增，
所以 fx 在 x=x0 处有极小值，也是最小值，
所以 fx0=ex0−lnx0=1x0+x0>2，
故 fx>2，即 ex−lnx>2．
29. （1） fx 的定义域为 R，fʹx=6x2−2ax=2x3x−a．
令 fʹx=0，得 x=0 或 x=a3．
若 a>0，则当 x∈−∞,0∪a3,+∞ 时，fʹx>0，
当 x∈0,a3 时，fʹx<0，
故 fx 在 −∞,0，a3,+∞ 单调递增，在 0,a3 单调递减；
若 a=0，则 fx 在（−∞,+∞）单调递增；
若 a<0，则当 x∈−∞,a3∪0,+∞ 时，fʹx>0，
当 x∈a3,0 时，fʹx<0，
故 fx 在 −∞,a3，0,+∞ 单调递增，在 a3,0 单调递减．
（2） 当 0所以 fx 在 0,1 的最小值为 fa3=−a327+2，最大值为 f0=2 或 f1=4−a．
于是 m=−a327+2，M=4−a,0所以 M−m=2−a+a327,0 ① 当 0所以 M−m 的取值范围是 827,2．
② 当 2≤a<3 时，y=a327 单调递增，
所以 M−m 的取值范围是 827,1．
综上，M−m 的取值范围是 827,2．
30. （1） 因为函数 fx=ax−2a+2lnx−4x+2，x∈0,+∞，
所以 fʹx=a−2a+2x−4x2=ax−2x−2x2．
① a=1 时，fʹx≥0，fx 在 0,+∞ 递增；
② 00，解得：02a，
令 fʹx<0，得 2故 fx 在 0,2 递增，在 2,2a 递减，在 2a,+∞ 递增；
③ a≤0 时，令 fʹx>0，解得：02，
故 fx 在 0,2 递增，在 2,+∞ 递减．
综上，a=1 时，fx 在 0,+∞ 递增；
0 a≤0 时，fx 在 0,2 递增，在 2,+∞ 递减．
（2） 因为 a=−32，所以 fx=−32x+lnx−4x+2，
要证 fx设 hx=lnx−ex+2，x∈0,+∞，所以 hʹx=1x−ex，
故存在 x0∈0,1，使得 1x0=ex0，即 x0=−lnx0，使得 hʹx0=0 成立．
x，hʹx，hx 的变化如下：
x0,x0x0x0,+∞hʹx+0−hx递增极大值递减
所以 hx最大值=hx0=lnx0−ex0+2=−x0−1x0+2=−x0+1x0+2．
因为 x0∈0,1，所以 x0+1x0>2，所以 hx0<0，
所以 hx≤hx0<0，所以 lnx+2