高中数学5.3 导数在研究函数中的应用教案

这是一份高中数学5.3 导数在研究函数中的应用教案，共25页。教案主要包含了重点总结，基础自测，方法归纳，跟踪训练1，变式探究1，变式探究3，跟踪训练2，易错辨析等内容，欢迎下载使用。

5.3.2.1函数的极值

要点　极值点与极值
1．极小值与极小值点
如图，若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则把点a叫

做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值与极大值点
如上图，若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【重点总结】
(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．
(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．
(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
(4)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．(　　)
(2)导数为零的点一定是极值点．(　　)
(3)函数的极大值一定大于极小值．(　　)
(4)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√
2．(多选题)下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列命题中正确的是(　　)

A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
D．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
【答案】AD
【解析】由导函数图象知函数f(x)在(－∞，－3)上单调递减，(－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，所以x＝－3是函数f(x)的极值点，故AD正确，B不正确；又f′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于0，故C不正确．
3．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是(　　)
A．极大值点x＝－1 B．极大值点x＝0
C．极小值点x＝0 D．极小值点x＝1
【答案】C
【解析】y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.
4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则m＝__________.
【答案】－19
【解析】y′＝－3x2＋12x
由y′>0得0 由y′<0得x<0或x>4
所以函数y＝－x3＋6x2＋m在(－∞，0)和(4，＋∞)上单调递减，在(0,4)上单调递增．
所以函数y＝－x3＋6x2＋m在x＝4处取得极大值．
所以－43＋6×42＋m＝13.
解得m＝－19.

题型一　求函数的极值(点)
【例1】(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【答案】(1)D　
【解析】(1)由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0，则函数f(x)有极小值f(2)，故选D.
(2)求下列函数的极值：
①f(x)＝x3－x2－3x；
②f(x)＝x4－4x3＋5；
③f(x)＝.
【极值】(2)①函数的定义域为R.
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

当x＝－1时，f(x)有极大值.
当x＝0时，f(x)有极小值0.
②因为f(x)＝x4－4x3＋5，
所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．
令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
f(x)

不是极值

极小值

故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22.
③函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝＝0，得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极大值

故当x＝e时函数取得极大值，且f(e)＝.
【方法归纳】
(1)求函数极值的步骤
―→―→―→―→―→
(2)求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点．
【跟踪训练1】(1)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的增区间是(－2,0)，(2，＋∞)
B．函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．x＝－2是函数的极小值点
D．x＝2是函数的极小值点

【答案】(1)BD　
【解析】由题意，当02，f′(x)>0；当－20
即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；
故A、C错，B、D正确．
(2)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
【答案】(2)A
【解析】(2)∵f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，∴f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.又x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1.
∴f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝1，令f′(x)<0得－2 题型二　与参数有关的极值问题
探究1　已知函数极值求参数
【例2】设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．
【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数的极值点．则－1,1是方程f′(x)＝0的根，即有
⇒.
又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1.
由上述三个方程便可解得a＝，b＝0，c＝－，
此时函数的表达式为f(x)＝x3－x.
∴f′(x)＝x2－.
由题意知，x＝±1是f′(x)＝0的根．
根据x＝±1列表分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值1

极小值－1

由上表可以看出，
当x＝－1时，函数有极大值，且f(－1)＝1；
当x＝1时，函数有极小值，且f(1)＝－1.
【重点总结】
由条件可知f ′(1)＝0，f ′(－1)＝0，且f(1)＝－1，因此可构造关于a，b，c的方程组求出a，b，c的值，确定函数解析式后判断x＝1和x＝－1分别是极大值点还是极小值点．
【方法归纳】
已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
探究2　已知函数极值点，求参数范围
【例3】函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则实数a的取值范围为________．
【答案】(－∞，1)
【解析】f′(x)＝x2－2x＋a
由题意知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
【变式探究1】本例条件“函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点”改为“函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有一正一负两个极值点”，则实数a的取值范围如何？
【解析】由题意知方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2＝a<0，故实数a的取值范围是(－∞，0)．
变式探究2　本例中的条件“函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点”改为“函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)在(－∞，＋∞)上无极值点”，则实数a的取值范围如何？
【解析】若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点
则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数
即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立
因为a>0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0.
解得a≥， 故实数a的取值范围是.
【变式探究3】本例条件“函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点”改为“函数f(x)＝－x(ln x－1)有两个不同的极值点”，则实数a的取值范围又如何？
【解析】由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－ln x , 令f′(x)＝ax－ln x＝0，可得a＝
令h(x)＝，则由题意可知直线y＝a与函数h(x)的图象有两个不同的交点． h′(x)＝，令h′(x)＝0得x＝e
可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
∴h(x)≤h(e)＝
当x趋向于＋∞时，h(x)趋向于零．
故实数a的取值范围为.
【方法归纳】
(1)已知函数极值点的个数求参数取值范围的一般思路：求导后分离参数，转化为直线与曲线的交点问题．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
【跟踪训练2】(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a＝________，b＝________.
【答案】(1)2　9　
【解析】(1)因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上是增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
因为当x∈(－3，－1)时，f(x)是减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)是增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
(2)若函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，＋∞)上存在极小值，则实数a的取值范围为________．
【答案】(2)a<－2
【解析】(2)因为f(x)＝x2＋aln x，所以f′(x)＝2x＋＝，当a≥0时，无极值，所以a<0，当a<0时，x＝是f(x)的极值点，因为f(x)在(1，＋∞)上存在极小值，所以 >1，得a<－2.
题型三　函数极值的综合应用
【例4】已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】(1)由题意f′(x)＝x2－ax，
所以，当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，
所以f′(3)＝3，
因此，曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2)因为f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)，
①a＝0时，f′(x)＝x2≥0，f(x)在R上单调递增；
②a>0时，令f′(x)>0，得x>a或x<0，
所以f(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增；
令f′(x)<0，得0 所以当x＝0时，f(x)取得极大值，极大值是f(0)＝0.
当x＝a时，f(x)取得极小值，是f(a)＝－a3；
③a<0时，令f′(x)＝0，得x1＝a 所以f(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，所以当x＝a时，f(x)取到极大值，极大值为f(a)＝－a3，
当x＝0时，f(x)取得极小值是f(0)＝0.
【易错辨析】对函数取极值的充要条件把握不准致误
【例5】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．
【答案】18
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意，得
即
解得或
当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
显然函数f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意，此时f(2)＝18.
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时f(x)没有极值，不符合题意．
综上可知，f(2)＝18.


一、单选题
1．函数在的图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据定义判断是奇函数排除B；根据时，，故排除选项A；求导，利用导数判断单调性和极值点可排除D，进而可得正确选项.
【解析】
因为函数的定义域为，关于原点对称，
由，
所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B；
当时，，故排除选项A；

当时，；当时，，
所以函数在上的极大值点为，故排除选项D，
故选：C.
2．设函数，则（ ）
A．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为1
B．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为
C．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为1
D．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为
【答案】C
【分析】
对函数求导，求出函数的单调性，进而可得出其极值点，由，可得到在点处的切线斜率．
【解析】
解：因为，所以，
令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
是函数的极小值点，
又，则曲线在点处的切线斜率为1，
故选：C．
3．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在单调递减
B．当时，在处的切线为轴
C．当时，在存在唯一极小值点，且
D．对任意，在一定存在零点
【答案】C
【分析】
直接法，逐一验证选项.选项A，利用导数的符号进行判断即可；选项B，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项C通过导数求出函数极值并判断极值范围；选项D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线的交点问题．
【解析】
对于选项A，当时，，，恒成立，所以在单调递增，故选项A不正确；
对于选项B，当时，，，故切点为 ，，所以切线斜率，
故直线方程为：，即切线方程为： ，故选项B不正确；
对于选项C，当时，，，，恒成立，所以单调递增，
又， 故存在唯一极值点，不妨设 ，则，即，且，
所以极小值，故选项C正确；
对于选项D，对于，，令，即，当，且， 显然没有零点，故，且，
所以则令，，令，解得，
所以 单调递减， 单调递增，有极小值，于是知时得 ，所以当时，函数无零点，对于条件中任意的均有零点矛盾，故选项D不正确；
故选：C
【方法点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
4．若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.
【解析】
由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
5．已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．2 B．7 C．2或7 D．3或9
【答案】B
【分析】
求导得到导函数，根据题意得到且，解得答案并验证即可.
【解析】
，，
根据题意：，，
解得或，
当时，，函数单调递增，无极值点，舍去.
当时，，
在和时，，函数单调递增；
在时，，函数单调递减，故函数在出有极小值，满足条件.
综上所述：.
故选：B.
6．关于函数，给出下列四个判断：
①的解集是；
②有极小值也有极大值；
③无最大值，也无最小值；
④有最大值，无最小值.
其中判断正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
【答案】A
【分析】
对①，将不等式转化为，解一元二次不等式；对②，对函数求导后，再解导数不等式；对③④利用导数求出函数的单调区间，结合时，函数值的取值情况，即可得到答案；
【解析】
①因为，所以由得，即，解得，即的解集是，所以①正确．
②函数的导数为，由，得或．由得，
所以当时函数取得极小值．当时函数取得极大值．所以②正确．
③由②知，当或时，函数单调递增，且时，；当时，，所以无最大值，也无最小值．所以③正确．
④由③知无最大值，也无最小值，所以④错误．
所以判断正确的是①②③．
故选：A．
7．已知函数，若，，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
原问题转化为恒成立，令，利用导数求其最小值为，只需满足即可求解.
【解析】
由函数，得，
若，，即恒成立，
令，，
当时，若时，，
若时，，
所以时函数取得最小值，所以成立，
故时，，恒成立．
故选：D
8．函数的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】
根据函数的导数，分析函数单调性区间即可求出函数极大值.
【解析】
函数的定义域为R，
则，
令，解得，，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得极大值．
故选：B

二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．只有一个极值点 B．设，则与的单调性相同
C．在上单调递增 D．有且只有两个零点
【答案】ACD
【分析】
利用的二次求导，得到， ，从而存在，使得，结合函数极值点的定义即可判断选项，求出的解析式，然后利用导数研究其单调性即可判断选项，利用函数单调性的结论即可判断选项．利用函数的极值点即可判断选项.
【解析】
解：由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确；
因为，所以，所以，所以，故的一个极值点为0，所以与的单调性不相同，故B错误；
因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，故C正确；
因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故D正确．
故选：ACD．
10．若函数在上有最大值，则a的取值可能为（ ）
A．－6 B．－5 C．－3 D．－2
【答案】AB
【分析】
求导得到导函数，计算函数的单调区间，得到函数的极大值点，根据题意得到，解得答案.
【解析】
，则，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
在处取极大值为.
函数在上有最大值，
故，且，即，
解得.
故选：AB.
11．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值 B．函数有且只有个零点
C．在上单调递减 D．设，则
【答案】BD
【分析】
由函数的定义域为，可知选项C错误，再利用导数求出极小值可判断选项A错误；由求导，可判断该函数在上单调递减且时其函数值为，可判断选项B正确；对求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D正确.
【解析】
函数的定义域为，可知C错误，
对A，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，故A错误；
对B，，其定义域为，
，
所以函数在上单调递减，又时其函数值为，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对D，，其定义域为，
，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也是最小值，
所以，故D正确.
故选：BD

第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
将原函数有两个不同零点，等价于有两个不同的根，通过变形，换元，得到原式子等价于有两个不等根，构造函数，研究函数的单调性，极值问题，可得到只要函数最大值大于零即可.
【解析】
有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的根，
变形为
设，原式子等价于 有两个不等根

函数极值点为
函数在上是单调递增的，函数在上是单调递减的，
故得到函数的最大值为
当趋向于0时，趋向于负无穷，当趋向于正无穷时，趋向于负无穷
函数最大值大于零，故可得当时，函数有两个不等的根.
故答案为：.
13．已知函数，有两个极值点，，设，，直线与轴的交点在曲线上，则的值是__________.
【答案】或2或
【分析】
求出导函数，确定存在两个极值点的条件，然后对极值点按处理，
计算，利用代入进行幂，得出
，同理，从而得出直线的方程，由此求得直线与轴交点坐标，由交点在函数图象上求得的值．
【解析】
（1）因为，
所以.
①当时，
，当且仅当，且时，.
所以的单调递增区间为，无单调递减区间，没有极值点．
②当时，
令，得，.
，的变化情况如下：







＋
0
―
0
＋

↗
极大
↘
极小

所以的单调递增区间为，，
单调递减区间为.
（2）因为有两个极值点，，
由（1）知，且，是方程的两个根.
所以，.
所以

同理.
因此直线的方程为.
设直线与轴的交点为，得.
由题设知，点在曲线上，故，
又因为

所以或2或.
14．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
把函数有两个极值点，转化为有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点.利用导数研究的单调性与极值，即可求出m的取值范围.
【解析】
的定义域为，.
要使函数有两个极值点，
只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.
由得，.
令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.
，令得：x>1；令得：0 所以在上单减，在上单增.
当时，；当时，；
作出和的图像如图，

所以-1 即实数m的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究，

四、解答题
15．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
【答案】
（1）
（2）极大值为，极小值为
【分析】
（1）求导，进而得到，又，写出切线方程；
（2）由（1）知，分别令，求解.
（1）
解：，
∴，又，
∴所求切线方程为，
即．
（2）
由（1）易知，
∴令，得或；令，得．
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴的极大值为，极小值为．
16．已知函数．
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若，求证：函数有两个不同零点，且．
【答案】
（1）答案不唯一，具体见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）求出函数的导函数，对进行分类讨论，分别求出导函数在函数定义域内及的区间即可；
（2）由的取值范围及（1）中结论先证得，从而利用零点存在性定理证明函数有两个不同的零点，再设，构造函数，利用函数和的单调性即可证明．
（1）
由题意可知函数的定义域为
即．
当时，由得，则与的情况如表所示：










极小值

所以当时，函数有个极值点；
当时，由得或则与的情况如表所示：














极大值

极小值


所以当时，函数有个极值点；得或
③当时，由则与的情况如表所示：














极大值

极小值


所以当时，函数有个极值点；
当时，在上恒成立，
则函数在上单调递增，所以当时，函数没有极值点．
综上，当时，函数有个极值点﹔
当或时，函数有个极值点；当时，函数没有极值点．
（2）
证明：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以．
先证明，设函数，则．
在上，，在上，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以当时，，
则

所以函数在上有唯一零点．又，
所以函数在上有唯一零点，所以当时，函数有两个不同零点．
设是的两个零点，且．
设，则函数等价于，
由复合函数的单调性知函数在上单调递减，在上单调递增，
且有两个零点．
因为，则，
令函数，
则，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，即．因为，且函数在上单调递增，
所以，即，所以．
【点睛】
本题以函数为背景，考查利用导数研究函数的极值及单调性，对含有参数的函数极值问题，解题关键是分类讨论，分类讨论确定导函数的正负，得单调区间、极值点，然后计算出极值，用导数证明与极值点、零点有关的不等式，关键是利用极值点、零点的定义确定两个数之间的关系，以便消元，即化二元为一元，然后可利用函数知识求解．而且这类问题在求解时可能要多次求导．本题考查推理论证能力，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养，属于困难题．
17．已知函数，.
（1）当时，求的值域；
（2）讨论极值点的个数.
【答案】
（1）
（2）当或时，无极值点，当 时，有1个极大值点，无极小值点.
【分析】
（1）通过求导判断出的单调性，即可求出的值域；
（2）对参数进行讨论，通过讨论每种情况下的单调性，进而判断出极值的情况.
（1）
因为，所以，
设，，
因为，所以，单调递减，
则，即，
所以在上单调递减，
，
所以的值域为：
（2）
因为，所以，
设，，
因为，则，
（1）当，即时，，单调递减，，
即，单调递减，无极值，
（2）当，即时，，单调递增，，
即，单调递增，无极值，
（3）当 即时，在上单调递减，
则存在，使得，即，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，所以，，
①当，即时，，即恒成立，
即，单调递增，无极值，
②当，即时，，
则存在，使得，
时，，，单调递增，
时，，，单调递减，
是的极大值点，
综上所述，当或时，无极值点，
当 时，有1个极大值点，无极小值点.