高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时导学案，共11页。


1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
2．掌握图象法解一元二次不等式．
3．通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法．
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
1．二次方程x2－x－6＝0的根与二次函数y＝x2－x－6的零点有怎样的关系？
[答案] 方程x2－x－6＝0的判别式Δ＝1－4·1·(－6)＝25>0，可知这个方程有两个不相等的实数根，解此方程得x1＝－2，x2＝3.所以二次函数有两个零点：x1＝－2，x2＝3.所以二次方程的根就是二次函数的零点
2．画出二次函数y＝x2－x－6的图象，你能通过观察图象，获得不等式x2－x－6>0及x2－x－6<0的解集吗？
[答案] 二次函数y＝x2－x－6的图象如图，观察函数图象可知：当x<－2，或x>3时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0，即x2－x－6>0的解集为{x|x<－2或x>3}；当－23．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一 一元二次不等式的解法
【典例1】 解不等式：
(1)2x2－3x－2>0；
(2)－3x2＋6x－2>0；
(3)4x2－4x＋1≤0；
(4)x2－2x＋2>0.
[思路导引] 先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．
[解] (1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－eq \f(1,2)，x2＝2.
因为函数是开口向上的抛物线，
所以不等式的解集是
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>2)))).
(2)不等式可化为3x2－6x＋2<0.
因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－eq \f(\r(3),3)，x2＝1＋eq \f(\r(3),3).
因为函数y＝3x2－6x＋2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),3)(3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝eq \f(1,2)，函数y＝4x2－4x＋1是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2))))).
(4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R.
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
[针对训练]
1．解下列不等式：
(1)－x2＋7x>6；
(2)(2－x)(x＋3)<0；
(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
[解] (1)原不等式可化为x2－7x＋6<0.
解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝eq \f(2,3).
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(2,3))))).
题型二 三个“二次”关系的应用
【典例2】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
[思路导引] 由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1[解] ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由韦达定理有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝2，))
代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,2)或x>1)))).
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
[针对训练]
2．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(1,2)A．14 B．－14 C．10 D．－10
[解析] 不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(1,2)∴－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝－eq \f(b,a)，－eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,a)，
解得a＝－12，b＝－2，
∴a－b＝－12－(－2)＝－10，
所以D选项是正确的．
[答案] D
题型三 含参数的一元二次不等式的解法
【典例3】 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
[思路导引] 先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．
[解] 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当2a>－a，即a>0时，不等式的解集为{x|－a②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；
③当2a<－a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a解含参数的一元二次不等式时
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
[针对训练]
3．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
[解] ①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得
x>1.
②当a<0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得
x1.
③当a>0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.
若a＝1，即eq \f(1,a)＝1时，不等式无解；
若a>1，即eq \f(1,a)<1时，解得eq \f(1,a)若01时，解得1综上，当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)或x>1))))；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)课堂归纳小结
1．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).
2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用．
3．解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对Δ≤0的讨论.
1．不等式－x2－5x＋6≤0的解集为( )
A．{x|x≥6或x≤－1} B．{x|－1≤x≤6}
C．{x|－6≤x≤1} D．{x|x≤－6或x≥1}
[解析] 由－x2－5x＋6≤0得x2＋5x－6≥0，
即(x＋6)(x－1)≥0，
∴x≥1或x≤－6.
[答案] D
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1[解析] 结合二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象可得{x|－1≤x≤2}，故选D.
[答案] D
3．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由题可知－7和－1为ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝eq \f(21,a)，a＝3.
[答案] C
4．不等式x2－4x＋5≥0的解集为________．
[解析] ∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，
∴不等式x2－4x＋5≥0的解集为R.
[答案] R
5．当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________．
[解析] 原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0，
方程(x＋a)(x－1)＝0的两根为－a,1，
∵a>－1，
∴－a<1，故不等式的解集为{x|x<－a或x>1}．
[答案] {x|x<－a或x>1}
课后作业(十三)
复习巩固
一、选择题
1．已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2[解析] 由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2[答案] C
2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为( )
A．{x|－4≤x<－2或3B．{x|－4C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x<－2或x≥3}
[解析] ∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或3[答案] A
3．不等式x2－px－q<0的解集是{x|20的解是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>－\f(1,3)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2或x>3))))
[解析] 易知方程x2－px－q＝0的两个根是2,3.
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝p，,2×3＝－q，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝5，,q＝－6，))
不等式qx2－px－1>0为－6x2－5x－1>0，
解得－eq \f(1,2)[答案] B
4．若00的解集是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(aC.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>a或x<\f(1,a))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\f(1,a)))))
[解析] 不等式(a－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))>0化为(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0，因为0[答案] A
5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2[解析] 因为不等式的解集为{x|－2[答案] B
二、填空题
6．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有________个元素．
[解析] 由(x－1)2<3x＋7，解得－1即A＝{x|－1故A∩Z共有6个元素．
[答案] 6
7．方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．
[解析] ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m－32－4m≥0，,x1＋x2＝3－m<0，,x1x2＝m>0，))
∴m≥9.
[答案] {m|m≥9}
8．若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1[解析] 可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m＝\f(6,a),1×m＝a))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3,m＝－3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2,m＝2))(舍去)．
[答案] －3 －3
三、解答题
9．解不等式：0≤x2－x－2≤4.
[解] 原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－2≥0，?x2－x－2≤4.))
解x2－x－2≥0，得x≤－1或x≥2；
解x2－x－2≤4，得－2≤x≤3.
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥2}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}．
10．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0.
[解] 将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0，
方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a，
所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a或x>6a}；
当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或
x>－3a}．
综合运用
11．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1())x<－1或x>\f(1,4))) B．R
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1())－\f(1,3)[解析] 因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.
[答案] A
12．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>3)))) B．{x|－1C．{x|13}
[解析] 由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．
[答案] A
13．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1A.eq \f(5,2) B.eq \f(7,2)
C.eq \f(15,4) D.eq \f(15,2)
[解析] 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.
由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝eq \f(5,2).
[答案] A
14．已知A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，若A?B，则a的取值范围是________．
[解析] A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}；
当a≤1时，B＝{x|a≤x≤1}，A?B不成立；
当a>1时，B＝{x|1≤x≤a}，若A?B，须a>2.
[答案] a>2
15．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3[解] 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3由根与系数的关系，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3＋4＝－\f(b,a)，,－3×4＝\f(c,a)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a，,c＝－12a，))
所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0，
即为－ax2＋2ax＋15a<0.
因为－a>0，两边同除以－a，
所以x2－2x－15<0，令x2－2x－15＝0，
则Δ＝64>0，且x1＝－3，x2＝5是方程的两个根，故所求的不等式的解集为{x|－3