人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教课课件ppt

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教课课件ppt，共50页。PPT课件主要包含了自学导引，优化问题，函数关系，数学建模，课堂互动，素养训练等内容，欢迎下载使用。

生活中经常遇到求面积(体积)最大、利润最大、用料最省等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道__________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________可以解决一些生活中的__________．
解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成______________，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由__________和__________的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有__________的极值，则它就是函数的最值．
【预习自测】1．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.048 6且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)A．0.016 2B．0.032 4C．0.024 3D．0.048 6【答案】B
【解析】用y表示银行的收益，根据题意可知存款量是kx2，银行应付的利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0，0.048 6)．所以银行的收益y＝0.048 6kx2－kx3(00；当0.032 4解决优化问题的基本思路
【预习自测】1．从长32 cm，宽20 cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为(　　)A．4 cm　　B．2 cmC．1 cm　　D．3 cm【答案】A
有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
题型1　几何中的最值问题
【解题探究】求出无盖容器的体积(容积)表达式，用导数知识求解．
利用导数求实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数表达式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并下结论．
现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
题型2　用料、费用最少问题
【解题探究】根据题目的条件，写出相应关系式，然后运用导数求最值．
解决用料、费用最少问题时，需要正确表达出费用y关于自变量x的函数关系，然后根据导数来求得极值点，比较极值与端点处取值的大小，从而判定最小值．在实际问题中还要注意自变量的取值范围．
2．(2022年南京模拟)某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是____________．【答案】16 m，8 m
【解题探究】设出变量，建立目标函数，然后利用导数求最值．
关于利润问题常用的两个等量关系：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8易错警示　忽略实际问题中的定义域致误
【错解】设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，所以720＝k·122，得k＝5.
【错因】本题常出错的地方为对题意理解不正确，找不到正确的解题思路，尤其是实际问题中的定义域，往往容易疏忽或遗忘．本题中v＝16不一定满足8＜v≤v0.
【警示】在解决实际问题的最值问题时，一定要注意模型中的自变量取值范围符合实际情况，切勿忘记对端点值与极值大小的比较．
1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤第一步：建立实际问题的数学模型；第二步：求函数的导数f′(x)，令f′(x)＝0，求出极值点；第三步：比较函数在区间端点和极值点处的取值大小，确定其最大值或最小值；第四步：将数学模型的答案还原为实际问题的答案．
2．解决生活中的优化问题时应当注意的问题(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点处有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．
2．(题型3)某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产(　　)A．9千台　B．8千台C．7千台　D．6千台【答案】D
【解析】由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x＞0)．y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6或x＝0(舍去)．又因为x＞0，所以当x∈(0，6)时，y′＞0，当x∈(6，＋∞)时，y′＜0.所以函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数，则当x＝6(千台)时，y有最大值．
3．(题型2)(2021年重庆期中)不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉．有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，要使航行1海里所需的费用总和最小，轮船的速度应是(　　)A．15海里/时B．20海里/时C．25海里/时D．30海里/时【答案】B