高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列当堂检测题

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考点一： 随机变量的基本概念
①随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母、等表示．
②离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
③连续型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．
考点二： 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列．
注：分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
①，； ②，．
【题型目录】
题型一：随机变量概念
题型二：离散型随机变量与连续型随机变量
题型三：离散型随机变量分布列
题型四：离散型随机变量分布列的性质
【典型例题】
题型一：随机变量概念
【例1】甲､乙两队在一次对抗赛的某一轮中有个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得分，抢到题并回答正确的得分，抢到题但回答错误的扣分（即得分）.若是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则的所有可能取值之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过分析所有甲获胜可能的情况来确定所有可能的取值，加和即可得到结果.
【详解】若甲抢到一题但答错，乙抢到两题都答错，则；
若甲没抢到题，乙抢到三题但答错两题或全错、甲抢到两题，一对一错，乙抢到一题但答错，则；
若甲抢到一题并答对，乙抢到两题一对一错或全错、甲抢到三题，两对一错，则；
若甲抢到两题且答对，则；
若甲抢到三题且答对，则；
所有可能取值之和为.
故选：C.
【例2】袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）．
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
【答案】B
【分析】根据随机变量的定义进行求解.
【详解】根据随机变量的定义，选项B是随机变量，其可能取值为0,1,2,
其他三个选项均不能作为随机变量.
故选：B
【例3】甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（ ）．
A．甲赢三场B．甲赢一场、输两场
C．甲、乙平局三次D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】表示甲队得分为3分这个事件，可以直接列举情况即可.
【详解】由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，
所以可以分成两种情况，即或，
即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．
故选：D．
【例4】袋中装有除颜色外，质地大小完全相同的4个小球，其中有1个红球、3个白球，从中任意取出1个观察颜色，取后不放回，如果取出的球的颜色是红色，则停止取球，如果是白色，则继续取球，直到取到红球时停止，记停止时的取球次数为，则所有可能取值的集合为______，的意义为______．
【答案】 第一次取到白球，第二次取到红球, 并且停止取球.
【分析】根据取球的过程和随机变量的意义可得答案.
【详解】若第一次取到红球，则停止取球，此时，
若第一次取到白球，第二次取到红球，则停止取球，此时；
若第一次和第二次都取到白球，第三次取到红球，则停止取球，此时；
若前次都取到白球，则第四次必取到红球，则停止取球，此时；
综上所述：所有可能取值的集合为.
的意义为第一次取到白球，第二次取到红球，并且停止取球.
故答案为：；第一次取到白球，第二次取到红球，并且停止取球.
【题型专练】
1．先后抛掷一个骰子两次，记随机变量ξ为两次掷出的点数之和，则ξ的取值集合是（ ）
A．｛1，2，3，4，5，6｝B．{2，3，4，5，6，7}
C．{2，4，6，8，10，12}D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}
【答案】D
【分析】根据随机变量ξ的确定其可能取值即可.
【详解】因为随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，
所以ξ的取值可能为：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，
故ξ的取值集合是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，
故选：D.
2．袋中装有5个红球、10个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球后则另外换1个红球放回袋中，直到取得红球为止.若抽取的次数为，则表示事件“放回3个红球”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到“放回3个红球”表示的含义，由此即可得到答案.
【详解】因为“放回3个红球”表示前3次摸到的都是黑球，第4次摸到红球，
所以X=4.
故选：C
3．（多选题）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ）
A．所取牌数B．所取正牌和大王的总数
C．这副牌中正牌数D．取出的副牌的个数
【答案】BD
【分析】根据随机变量的定义分析判断即可.
【详解】对于A，所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误，
对于B，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确，
对于C，这副牌中正牌数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误，
对于D，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量，所以D正确，
故选：BD
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示______.
【答案】所选3人中至多有1名女生
【分析】根据包含或，结合题意分析即可.
【详解】包含两种情况：或.
故表示所选3人中至多有1名女生.
故答案为：所选3人中至多有1名女生.
题型二：离散型随机变量与连续型随机变量
【例1】下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；
②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；
③某同学射击3次，命中的次数；
④某电子元件的寿命；
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；
对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；
对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；
故选：C.
【例2】下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.
故选：C
【题型专练】
1．下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
【答案】B
【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可.
【详解】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.
故选：B.
2．（多选题）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X
D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
【答案】AC
【分析】根据离散型随机变量的定义知，离散型随机变量是可以列举的；连续型随机变量
不能一一列举。
【详解】电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；
体重无法一一列举，选项B不正确；
人数可以列举，选项C正确；
数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量；选项D不正确；
故选AC.
3．（多选题）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某景点一天的游客数X
B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X
C．水文站观测到江水的水位数X
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X
【答案】ABD
【分析】根据离散型随机变量的定义，结合选项，即可判断和选择.
【详解】对四个选项，游客数、寻呼次数、汽车车辆数的取值都是随机的整数，满足题意；
但水位数是实数，不是离散型随机变量，不满足题意.
故选：ABD.
题型三：离散型随机变量分布列
【例1】从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：___________．
【答案】见解析
【分析】离散型随机变量的分布列根据等可能事件的概率计算即可.
【详解】根据题意由等可能事件的概率计算公式可知：
，
故答案为：
【例2】袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个，，标号为号的球个.现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______.
【答案】9
【分析】本题为古典概型，求出袋中求的总数量，即可表示出，根据即可计算出n的值﹒
【详解】由题意可知，所有球的个数为，
由古典概型的概率公式可得，解得n＝9．
故答案为：9．
【例3】在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析
【分析】（1）先由频率直方图中频率之和为求得，从而求得不低于70分与不低于90分的人数，由此求得这名学生成绩是优秀的概率；
（2）结合（1）中结论，求得成绩在，与内的人数，从而利用分层抽样比例相同求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望．
【详解】（1）依题意，得，解得，
则不低于70分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为；
（2）成绩在内的有（人）；
成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；
故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，
所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
【题型专练】
1．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式、组合数计算公式求得.
（2）根据古典概型的概率计算公式、组合数计算公式求得的分布列.
【详解】（1），
所以.
（2）的可能取值为，
，
，
.
所以的分布列为：
2．某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式求解.
（2）利用相互独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式计算概率，再按步骤写出离散型随机变量的分布列.
（1）
由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，
租车费相同，即两人都在同一时间段还车，
标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．
（2）
由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且
；
；
；
；
．
所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为
3．某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．
【答案】(1)10；(2)答案见解析.
【分析】(1)结合图形知，求出健康上网天数未超过20天的频率，从而可求健康上网天数超过20天的频率，从而可求健康上网天数超过20天的人数；
(2)随机变量Y的所有可能取值为0，1，2．分别求出P(Y＝0)，P(Y＝1)，P(Y＝2)，能够得到Y的分布列．
（1）
解：由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为，
∴健康上网天数超过20天的学生人数是；
所以健康上网天数超过20天的学生人数是10.
（2）
解：随机变量Y的所有可能取值为0，1，2．
P(Y＝0)，P(Y＝1)，P(Y＝2)，
∴Y的分布列为：
4．学校组织解题能力大赛，比赛规则如下：依次解答一道解析几何题和两道立体几何题，解析几何正确得2分，错误得0分；两道立体几何全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分；总分是两部分得分之和．小明同学准备参赛，他目前的水平是：解析几何解答正确的概率是；每道立体几何解答正确的概率均为．假设小明同学每道题的解答相互独立，
(1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率；
(2)求小明同学获得的总分X的分布列．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；
（2）分析的可能取值，求出对应概率后即可得分布列；
（1）
解：由题意解析几何题解答正确的概率是，立体几何题解答正确的概率为，
所以小明同学恰好有两道题解答正确的概率；
（2）
解：由题意得的可能取值为0，1，2，3，5，
所以，
，，
，
则的分布列为
题型四：离散型随机变量分布列的性质
【例1】设随机变量的分布为，则______．
【答案】
【分析】利用题意得到的分布，然后利用概率之和为1得到，即可求出答案
【详解】解：由题意知，的分布为，
所以，解得，
所以，
故答案为：．
【例2】已知随机变量的分布列是：
则（ ）A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据概率之和为1即可得解.
【详解】解：因为，
所以，所以.
故选：A.
【例3】已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质概率和为可求出，再根据即可解出．
【详解】因为，即，解得：，所以，．
故选：A．
【例4】随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
【答案】1024
【分析】由分布列的概率之和为1即可求得答案.
【详解】由题意.
故答案为：1024.
【例5】两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的分布列计算概率即可.
【详解】4人排成一排共有种不同的排法，
的所有可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以.
故选：B.
【题型专练】
1．随机变量X的分布列如下表，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据概率之和为1，即可求解，进而可求.
【详解】由分布列可知，故，
故选：C
2．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【分析】先由各个概率和为1可求出，再由可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：C.
3．已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1可求解，进而根据概率公式即可求解.
【详解】，所以；
故
故选：B
4．若离散型随机变量X的分布列为，，则a的值为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】B
【分析】由概率和为1直接求解即可.
【详解】由解得.
故选：B.
5．设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则 ______ ．
【答案】
【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解.
【详解】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，
即，
则，
由等比数列的求和公式，得，
所以，得.
故答案为：
6．某同学参加门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二､第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：
则的值为___________；则的值为___________.
【答案】 ##
【分析】结合概率和为，可得的值，由列方程，从而求得.
【详解】由分布列的性质有，解得；
依表中的可知，，
解得.
所以.
故答案为：；
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
0
1
2
0
1
2
X
0
1
2
P
X
0
2
4
6
8
P
Y
0
1
2
P
0
1
2
3
5
1
2
3
X
0
1
P
a
c
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3