数学第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式练习题

第7章　7.1.1

A级——基础过关练

1．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　)

A． B．

C． D．1

【答案】B　【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.

3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C　【解析】由题意事件A包含的基本事件是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，在A发生的条件下，事件B包含的基本事件是{1,3}，{3,1}共2个，所以P(B|A)＝.

4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于(　　)

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C　【解析】P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.

5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B　【解析】P(A)＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝.

6．若P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________.

【答案】　【解析】P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝.

7．某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝________.

【答案】　【解析】由题意知P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝.

8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．

【答案】0.72　【解析】记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72.

9．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为.

(1)求白球的个数；

(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．

解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球有x个，则P(A)＝1－＝，解得x＝5，即白球的个数为5.

(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则P(BC)＝＝＝，P(B)＝＝＝.故P(C|B)＝＝＝.

10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．

(1)求选到的是第一组的学生的概率；

(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．

解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．

(1)由题意，P(A)＝＝.

(2)方法一　要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.

方法二　P(B)＝＝，P(AB)＝＝，

∴P(A|B)＝＝.

B级——能力提升练

11．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C　【解析】在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴p＝＝.

12．将三颗骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数都不相同”，B表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A　【解析】因为P(A|B)＝，P(AB)＝＝＝，P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝.所以P(A|B)＝＝＝.

13．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D　【解析】设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，所以“抽到第2张也是假钞”为P(A|B). 而P(AB)＝P(A)＝＝，P(B)＝＝.∴P(A|B)＝＝.

14．有5瓶墨水，其中红色1瓶，蓝色、黑色各2瓶，某同学从中随机任取2瓶，若取得的2瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B　【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥，又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.

15．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率为________．

【答案】　【解析】在第一次抽到次品的情况下，第二次抽取时有99件产品，其中次品4件，正品95件，故第二次抽取正品的概率为.

16．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为________．

【答案】　【解析】设第一支是好晶体管为事件A，第二支是好晶体管为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝，则P(B|A)＝＝.

17．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB．

(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.

(2)因为n(AB)＝A＝12，

于是P(AB)＝＝＝.

(3)方法一　由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝.

方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，

所以P(B|A)＝＝＝.

C级——探究创新练

18．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．

解：由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7，又P(300≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝＝＝.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.