人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列精品课后测评

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专题7.3 离散型随机变量及其分布列（重难点题型精讲）


1．随机变量与离散型随机变量
(1)随机变量
①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们
称X为随机变量.
②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
③随机变量与函数的关系
联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于
函数的定义域.
区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非
空数集到非空数集的一一对应.
(2)离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)=
，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列.
(2)分布列的表格表示

分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示.
(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质
①0，i=1，2，，n；
②+++=1.
3．两点分布
(1)两点分布的定义
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=
如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如下表所示.

我们称X服从两点分布或0—1分布.
(2)两点分布理解
两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1.


【题型1 离散型随机变量】
【方法点拨】
根据离散型随机变量的定义来判断所给的随机变量是不是离散型随机变量.
【例1】（2022春·北京·高二期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1；
②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2；
③某同学射击3次，命中的次数X3；
④某电子元件的寿命X4；
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【解答过程】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y=2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；
对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；
故选：C.
【变式1-1】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（    ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【解答过程】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.
故选：C.
【变式1-2】（2022·高二课时练习）①某座大桥一天经过的车辆数为X；
②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X；
③一天之内的温度为X；
④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分.
上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解题思路】根据离散型随机变量的定义：可列举性判断各项描述是否为离散随机变量即可.
【解答过程】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举，
②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举，
③一天之内的温度是连续型变量，
④一次射击中的得分是可一一列举，
由离散随机变量的定义知：①②④.
故选：B.
【变式1-3】（2022春·山东·高二阶段练习）下列X是离散型随机变量的是（    ）
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【解题思路】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可.
【解答过程】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围.不能一一列举出来，
故选：B.
【题型2 离散型随机变量的分布列及其性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合离散型随机变量的分布列的性质，进行转化求解即可.
【例2】（2022春·山西吕梁·高二期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
−1
0
1
P
12
1−2q
q2

则q等于（    ）A．1 B．12 C．1−22 D．1+22
【解题思路】根据分布列的知识列方程来求得q.
【解答过程】依题意，12+1−2q+q2=1,q2−2q+12=0，
解得q=2+4−4×122=1+22（大于1，舍去）或q=2−4−4×122=1−22.
故选：C.
【变式2-1】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二期末）随机变量ξ的分布列如表：则a+b=（    ）
ξ
1
2
3
P
a
b
14

A．14 B．12 C．13 D．34
【解题思路】根据随机变量分布列的性质即可得出答案.
【解答过程】根据随机变量分布列的性质得a+b+14=1，所以a+b=34．
故选：D．
【变式2-2】（2022春·西藏林芝·高二期末）已知随机变量X的分布列如表：（其中a为常数）
X
1
2
3
4
5
6
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1

则P1≤X≤3等于（    ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【解题思路】根据分布列，先求得a，然后求得正确答案.
【解答过程】依题意0.1+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1⇒a=0.2，
所以P1≤X≤3=0.1+0.1+0.2=0.4.
故选：A.
【变式2-3】（2022春·河北唐山·高二期末）若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（      ）
X
1
2
3
P
0.2
a
3a

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解题思路】由概率和为1可得a值．
【解答过程】由题意0.2+a+3a=1，解得a=0.2．
故选：B．
【题型3 求离散型随机变量的分布列】
【方法点拨】
第一步，确定随机变量X的可能取值；
第二步，求出相应的概率P(X=)=；
第三步，写分布列.
【例3】（2022·高二课时练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ）
A．
X
0
1
2
P
0.08
0.14
0.78


B．
X
0
1
2
P
0.06
0.24
0.70


C．
X
0
1
2
P
0.06
0.56
0.38


D．
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56


【解题思路】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列.
【解答过程】易知X的可能取值为0，1，2，PX=0=0.2×0.3=0.06，PX=1=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38，PX=2=0.8×0.7=0.56，
故X的分布列为
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56

故选：D.
【变式3-1】（2022·高二课时练习）下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中0 A．
X
1
2
3
P
p
p−1
2−2p


B．
X
1
2
3
P
p2
p3
p6


C．
X
1
2
3
P
p
p−p2
1−2p+p2


D．
X
1
2
3
P
p
1p
1−p−1p


【解题思路】分析选项ABD不满足离散型随机变量的分布列的性质，选项C满足离散型随机变量的分布列的性质，即得解.
【解答过程】解：选项A中p−1<0，所以选项A不满足题意；
选项B中概率之和为p，事实上p<1，所以选项B不满足题意；
选项D中1p>1，都不符合概率的意义．所以选项D不满足题意；
选项C中，0 故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（    ）
A．
X
0
1
2
P
0.7
0.15
0.15


B．
X
－2
0
2
4
P
0.5
0.2
0.3
0


C．
X
1
2
3
P
－13
12
23


D．
X
1
2
3
P
lg 1
lg 2
lg 5


【解题思路】利用P(X=i)≥0及概率和为1，检验各个选项即可得到结果.
【解答过程】对于ABD，满足P(X=i)≥0，且概率和为0，符合；
对于C，P(X=1)<0不符合P(X=i)≥0，也不符合P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1，所以C项不是随机变量的分布列．
故选：C.
【变式3-3】（2022春·高二课时练习）一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　)
A． B．C． D．
【解题思路】根据题意，逐项求解即可.
【解答过程】随机变量ξ的可能值为1，2，3，
P(ξ=1)=C42C53=35，P(ξ=2)=C32C53=310，P(ξ=3)=C22C53=110，
故选C.
【题型4 两点分布】
【方法点拨】
对于两点分布的分布列问题，根据两点分布的定义及对两点分布的理解，进行转化求解即可.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=1)=p,4−5P(X=0)=p，则p=（    ）
A．23 B．12 C．13 D．14
【解题思路】根据两点分布的特点，得到P(X=0)+P(X=1)=1，从而解方程可得答案.
【解答过程】因为X的分布列服从两点分布，所以P(X=0)+P(X=1)=1，
由P(X=1)=p,4−5P(X=0)=p，
所以4−51−PX=1=p，所以p=14，
故选：D.
【变式4-1】（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=3−4P(X=1)=a，则a=（    ）
A．23 B．12 C．13 D．14
【解题思路】根据两点分布得P(X=0)+P(X=1)=1，与条件联立解得结果.
【解答过程】因为X的分布列服从两点分布，所以P(X=0)+P(X=1)=1，
因为P(X=0)=3−4P(X=1)=a，所以P(X=0)=3−4[1−P(X=0)]，
∴P(X=0)=13,∴a=13，
故选：C.
【变式4-2】（2022·高二课时练习）设随机变量X服从两点分布，若PX=1−PX=0=0.2，则成功概率PX=1=（    ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【解题思路】根据两点分布概率性质可得解.
【解答过程】随机变量X服从两点分布，PX=1−PX=0=0.2，
根据两点分布概率性质可知：PX=1−PX=0=0.2PX=1+PX=0=1，
解得PX=1=0.6，
故选：C.
【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X
C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：{X=1}=“取出白球”，{X=0}=“取出红球”
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
【解题思路】利用两点分布的定义，逐项分析判断即可作答.
【解答过程】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意；
抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意；
某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意．
故选：CD.
【题型5 两个相关的随机变量的分布列问题】
【方法点拨】
已知随机变量X的分布列，求随机变量Y=f(X) 的分布列，其关键是弄清X取每一个值时相对应的Y的值，
若f(X)的取值出现重复，则需要把它们的相应概率相加，所求即为Y的取值概率.
【例5】（2022春·河北唐山·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m

若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（    ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【解题思路】由离散型随机变量分布列的性质计算即可.
【解答过程】由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．
故选：A．
【变式5-1】（2022·高二课时练习）已知X，Y均为离散型随机变量.且X＝2Y，若X的所有可能取值为0，2，4，则Y的所有可能取值为 0，1，2 .
【解题思路】根据X＝2Y，且X∈{0，2，4}求解.
【解答过程】因为X＝2Y，
所以Y＝12X，
又因为X∈{0，2，4}，
所以Y∈{0，1，2}.
故答案为：0，1，2.
【变式5-2】（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量X的分布列PX=k=k15，k=1,2,3,4,5.令Y=2X−2，则PY>0= 1415 .
【解题思路】首先列举Y的取值，再分别求其概率，即可得到PY>0.
【解答过程】由已知Y取值0，2，4，6，8，且PY=0=115，PY=2=215，
PY=4=315=15，PY=6=415，PY=8=515=13，
则PY>0=PY=2+PY=4 =PY=6=PY=8=1415.
故答案为：1415.
【变式5-3】（2022·高二单元测试）已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1

若Y=2X−3，则P(Y=5)的值为 0.2 .
【解题思路】利用Y=2X−3，求出X的值，观察表格即可.
【解答过程】当Y=5时，
由2X−3=5得X=4，
所以P(Y=5)=P(X=4)=0.2.
故答案为：0.2.
【题型6 离散型随机变量的分布列及其综合应用】
【方法点拨】
离散型随机变量的分布列是计数原理、排列组合、概率与其他知识的综合.解决此类问题的关键：
(1)理清随机变量的可能取值；
(2)理清随机变量取某些值时对应的事件是什么；
(3)利用两个计数原理及排列、组合的知识求出试验的样本空间与所求事件所包含的样本点数.
【例6】（2023·全国·高三专题练习）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．
【解题思路】(1)先求出甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14,再计算租车费用相同的概率；
(2) ξ可能取得值为0，2，4，6，8，分别计算对应的概率，再写出分布列.
【解答过程】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14．
记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A，则P(A)=14×12+12×14+14×14=516．
所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为516．
（2）设甲、乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可能取得值为0，2，4，6，8
P(ξ=0)=18,P(ξ=2)=14⋅14+12⋅12=516,P(ξ=4)=14⋅14+12⋅14+12⋅14=516，
P(ξ=6)=14⋅14+12⋅14=316，P(ξ=8)=14⋅14=116，
分布列
ξ
0
2
4
6
8
P
18
516
516
316
116
【变式6-1】（2023·全国·高三对口高考）为了解某校学生上个月A、B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A、B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下表：
支付方式
支付金额（元）
(0,1000]
(1000,2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人

(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A、B两种支付方式都使用的概率；
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？并说明理由.
【解题思路】（1）根据数表求出两种支付方式都使用的人数，再求出频率即可作答.
（2）求出仅使用A和仅使用B且上个月支付金额大于1000元的概率，再求出X的可能值及各个值对应概率，列出分布列作答.
（3）求出从样本仅使用A的学生中随机抽查3人的概率，再结合小概率事件的意义回答即可.
【解答过程】（1）依题意，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30（人），仅使用B的学生有10+14+1=25（人），
A、B两种支付方式都不使用的学生有5人，所以样本中A、B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40（人），
从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A、B两种支付方式都使用的概率估计值为40100=0.4.
（2）依题意，X的所有可能值为0，1，2，
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，
事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，
显然事件C与D相互独立，且P(C)=9+330=0.4，PD=14+125=0.6，则
PX=0=PCD=PCPD=(1−0.4)×(1−0.6)=0.24；
PX=1=P(CD∪CD)=PCPD+PCPD =0.4×1−0.6+1−0.4×0.6=0.52；
PX=2=PCD=PCPD=0.6×0.4=0.24，
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24

（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”，
从样本仅使用A的学生中随机抽取3人，本月支付金额大于2000元的人数与上月没有变化，
而由上个月的样本数据可得P(E)=C33C303=14060，
结论1：可以认为有变化，
因为P(E)很小，概率很小的事件一般不容易发生，一旦发生，
就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化；
结论2：无法确定有没有变化，
因为事件E是随机事件，P(E)很小，一般不容易发生，但还是有发生的可能，所以无法确定有没有变化.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）首届以进口为主题的国家级博览会在中国拉开大幕，本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展．其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：
展区类型
智能及高端装备
消费电子及家电
汽车
服装服饰及日用消费品
食品及农产品
医疗器械及医药保健
服务贸易
展区的企业数（家）
400
60
70
650
1670
300
450
备受关注百分比
25％
20％
10％
23％
18％
8％
24％

备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．
(1)从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；
(2)从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布列．
【解题思路】(1)根据表格分别7个展区企业总数和备受关注的智能及高端装备企业数，进而即可求解；
(2)根据题意求出X的可能取值，并求出每个变量对应的概率，列出分布列即可.
【解答过程】（1）7个展区企业数共有400+60+70+650+1670+300+450=3600家，
其中备受关注的智能及高端装备企业共400×25%=100家，
设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A，
所以P(A)=1003600=136.
（2）由表格可知：消费电子及家电备受关注的企业有60×20%=12家，
医疗器械及医药保健备受关注的企业有300×8%=24家，共36家.
所以X的可能取值为0,1,2.
则P(X=0)=C242C362=46105；P(X=1)=C241C121C362=1635；P(X=2)=C122C362=11105.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P
46105
1635
11105
【变式6-3】（2022秋·北京·高三阶段练习）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度．

第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
甲地
54%
39%
46%
54%
56%
67%
64%
66%
78%
72%
72%
59%
乙地
38%
34%
31%
42%
54%
66%
69%
65%
62%
70%
a%
b%

(1)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
(2)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；
(3)若a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）
【解题思路】（1）设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用Ai表示事件抽取的月份为第i月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．
（2）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，X所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．
（3）由a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，应用中位数的定义结合分类讨论求出M的最大值，最小值．
【解答过程】（1）设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．
用Ai表示事件抽取的月份为第i月，
∴Ω={A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12}共12个基本事件，
且A={A2，A6，A8，A9，A10，A11}共6个基本事件，
所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率P(A)=612=12；
（2）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，
∴X所有可能的取值为0，1，2．
P(X=0)=C42C62=615=25，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C22C62=115，
随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P
25
815
115
（3）由表格已知数据：乙地数据从小到大为31%,34%,38%,42%,54%,62%,65%,66%,69%,70%，
又a+b=108，不妨假设a≤b，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，
当a=b=54时，则M=54%；
当a<54，即b>54时，若54 ∴M的最大值为58%，最小值为54%．