数学选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列课后作业题

这是一份数学选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列课后作业题，共7页。


1．(多选题)下列随机变量X是离散型随机变量的是( )
A．某市每天查到违章驾车的车辆数X
B．某网站中的歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X
C．一天内的温度X
D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分
2．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X>4”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
3．袋中装有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，且不放回，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1，2，…，6B．1，2，…，7
C．1，2，…，11D．1，2，3，…，8
4．已知随机变量ξ的分布列如下，则p的值是( )
A.0B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,6)
5．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(i,2a)(i＝1，2，3)，则P(X≥2)＝( )
A．eq \f(1,6)B．eq \f(5,6)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(2,3)
6．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3
7．某同学在某考试中需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________________．
8．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq \f(1,2k)，k＝1，2，3，…，n，则P(2<ξ≤4)＝________．
9．一个袋子中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.在袋子中同时取出3个球，用X表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．
10．设随机变量X的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1，2，3，4，5).
(1)求常数a的值；
(2)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))的值；
(3)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)[提能力]
11．若随机变量η的分布列为
则当P(ηA．x≤2B．1≤x≤2
C．112．随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(5,6)
13．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
则P(ξ≤0)＝________．
14．一批产品分为四级，其中抽到一级产品的概率是二级产品概率的两倍，抽到三级产品的概率是二级产品概率的一半，抽到四级产品的概率与三级产品的概率相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ>1)＝________．
15．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．
分别从甲、乙两组数据中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
[战疑难]
16．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝csx，f6(x)＝2.
(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新的函数，求所得函数是奇函数的概率；
(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列．
课时作业(八)
1．解析：A、B、D的结果均可以一一列出，而C不能一一列出．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是一个随机变量X，则“X>4”表示的试验结果只能是X＝5，即第一枚6点，第二枚1点，故选D.
答案：D
3．解析：第一次取到白球，符合题意，终止取球；第一次取到红球，第二次取到白球，符合题意，终止取球；……；前六次取到红球，第七次取到白球，符合题意，终止取球．而袋中只有6个红球，所以最多取7次．故选B.
答案：B
4．解析：根据随机变量的分布列的性质可知， eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＋p＝1，解得p＝ eq \f(1,6) ，故选D.
答案：D
5．解析：由概率和为1可知， eq \f(1,2a) ＋ eq \f(2,2a) ＋ eq \f(3,2a) ＝1，解得a＝3，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ eq \f(2,6) ＋ eq \f(3,6) ＝ eq \f(5,6) ，故选B.
答案：B
6．解析：由分布列的性质可得a＝0.1，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.4＋0.2＋0.1＝0.7，
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，
故A、B、D正确，C错误．
答案：ABD
7．解析：都回答不正确得－300分；答对1个问题得－100分；答对2个问题得100分；问题全答对得300分．故答案为－300，－100，100，300.
答案：－300，－100，100，300
8．解析：P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝ eq \f(1,8) ＋ eq \f(1,16) ＝ eq \f(3,16) .
答案： eq \f(3,16)
9．解析：随机变量X的可能取值为1，2，3.
当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2，3，4，5的4个球中取，故有P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(6,10) ＝ eq \f(3,5) ；
当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3，4，5的3个球中取，故有P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(3,10) ；
当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4，5的2个球，故有P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(1,10) .
因此，X的分布列为
10.解析：(1)由分布列的性质可知，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝ eq \f(1,15) .
(2)∵P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(k,5))) ＝ eq \f(1,15) k(k＝1，2，3，4，5)，
∴P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5))) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(3,5))) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(4,5))) ＋P(X＝1)＝ eq \f(3,15) ＋ eq \f(4,15) ＋ eq \f(5,15) ＝ eq \f(4,5) .
(3)当 eq \f(1,10) 11．解析：根据随机变量η的分布列知，实数η的所有可能取值是－2，－1，0，1，2，3，且P(η≥2)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.1＋0.1＝0.2，则P(η<2)＝1－0.2＝0.8，
又P(η≤1)＝P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)＝0.8，
则当P(η答案：C
12．解析：由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，)) 解得b＝ eq \f(1,3) .
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，∴P(ξ＝1)＝ eq \f(1,3) .故选B.
答案：B
13．解析：由离散型随机变量的分布列的性质，得1－2q≥0， eq \f(1,2) ＋(1－2q)＋q2＝1，
解得q＝1－ eq \f(\r(2),2) 或q＝1＋ eq \f(\r(2),2) (舍去).
所以P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝ eq \f(1,2) ＋1－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2))) ＝ eq \r(2) － eq \f(1,2) .
答案： eq \r(2) － eq \f(1,2)
14．解析：依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝ eq \f(1,2) P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列的性质得，1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)，∴4P(ξ＝2)＝1，解得P(ξ＝2)＝ eq \f(1,4) ，∴P(ξ＝3)＝ eq \f(1,8) ，P(ξ＝4)＝ eq \f(1,8) .∴P(ξ>1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝ eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
15．解析：由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数分别是9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21.
事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，
因此P(Y＝17)＝ eq \f(2,16) ＝ eq \f(1,8) .
同理可得P(Y＝18)＝ eq \f(1,4) ；
P(Y＝19)＝ eq \f(1,4) ；
P(Y＝20)＝ eq \f(1,4) ；P(Y＝21)＝ eq \f(1,8) .
所以随机变量Y的分布列为
16.解析：(1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知，P(A)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,5) .
(2)由题意知，ξ的所有可能取值为1，2，3，4.
P(ξ＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,2) ，
P(ξ＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ) · eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(3,10) ，
P(ξ＝3)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ) · eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) )· eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) )＝ eq \f(3,20) ，
P(ξ＝4)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ) · eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) )· eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) )· eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) )＝ eq \f(1,20) .
故ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
p
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
ξ
0
1
2
P
a
b
c
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－2q
q2
甲组
乙组
9
9
0
9
8
9
1
1
1
0
X
1
2
3
P
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)
Y
17
18
19
20
21
P
eq \f(1,8)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,8)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(3,20)
eq \f(1,20)